自动控制理论答案(孙扬声版)

T2-1 判断下列方程式所描述的系统的性质：线性或非线性，定常或时变，动态或静态。

1dytd2yt2； （4）sinty(t)3u(t)； ytu(t)ut（1）2yt3t； （3）2

dtdt

2

（7）在图T2-1中去掉一个理想二极管后，情况如何？

解：先区别几组概念（线性和非线性；定常和时变；动态和静态） 线性系统（即系统变量间的关系）：多项式形式，各项变量的幂指数为1； 非线性系统：多项式形式，各项变量的幂指数不全为1； 定常系统：系统参数与时间无关；

时变系统：系统参数与时间有关； 静态系统：输入到输出没有过渡过程； 动态系统：输入到输出有过渡过程。（笔者认为在判断系统静态或动态的时候，我们可以看多项式里面有没

T2-2 已知动态系统对输入信号u(t)的响应，试判断下列三个系统是否为线性的：

（1）y(t)x0u()d；

2

t



0t0

（2）y(t)3x0u()d；



（3）y(t)ex0e

t

t



t

u()d。

解：先分清x0和ut这两个量：x0为状态变量（初始状态或初始条件）；ut为输入变量。 零状态线性和零输入线性的判定方法：

(I) 当x00时，为零状态，对应的输出称为零状态响应，此时看输出yt与输入ut的关系是否满足线性，若满足，则为零状态线性；

(II) 当ut00时，为零输入，对应的输出称为零输入响应，此时看输出yt与初始状态x0的关系是否满足线性，若满足，则为零输入线性；

T2-3 有一线性动态系统，分别用t0时的输入u1t,u2t,u3t,t0,,对其进行试验。它们的初始状态都相同，且x00,三种试验中所得输出若为y1t,y2t,y3t试问下列预测是否正确： 。（1）若u3(t)u1(t)u2(t),则y3(t)y1(t)y2(t)； （2）若u3(t)u1(t)/u2(t),则y3(t)y1(t)/y2(t)； （3）若u1(t)2u2(t),则y1(t)2y2(t)； （4）若u1(t)u2(t),则y1(t)y2(t)。

如果x00,哪些预测是正确的？

解：因为系统为线性动态系统，所以不妨设：y(t)x0u()d

t



T2-8 已知线性动态系统的状态方程为

1x0

0



01

1

00

0u 0x

21

y1

1

0x；x(0)0

1

0

T

试求由单位阶跃u1(t)输入所引起的响应y(t)。

解：依题意，该线性系统的各系数矩阵为

1A0

0

s1

(sIA)0

0

0s1

1

011

00

0；c10；b21

1

0

；0；x01 00s1

1

0s1s2； s2

2

0s10det(sIA)0；s20

(s1)(s2)

adj(sIA)0

0

0(s1)(s2)

(s1)(s2)

(s1)0(s1)20

T

0(s1)(s2)(s1)

00； 1s2



0

；(s1)2

1

s1

adj(sIA)1

(sIA)0

det(sIA)

0

查拉氏（Laplace）变换表得：

状态转移矩阵

01s1

11s2s1

tL1(sIA)1

et00

0ete2tet

010；（其中L为拉氏反变换的函数符号） e2t

y(t)c(t)x(0)c(t)bu()dt

t

1

1

et

000

0ete2tet

00t011

2te0

1

et000

0et

e2(t)et

00001()dt e2(t)1

et0et.

补充：如何求n阶矩阵的伴随矩阵？

第一步：先找出该n阶矩阵中每一元素在其行列式中所对应的代数余子式Aij；第二步：将得到的代数余子式Aij取代其对应元素所在的位置并写成矩阵的形式，并将此矩阵命名为新矩阵；

第三步：将新矩阵转置即得所求伴随矩阵。如何计算Aij：

Aij-1M（j为该元素所在的列数）；iji为该元素所在的行数，

ij

其中Mij为元素的余子式，即在该n阶矩阵的行列式中，划去所取的任一元素所在的行和列之后，剩下的（n1)阶行列式的值。

以本题为例，同学们检验一下，看看自己是否已掌握了伴随矩阵的求法。

T2-11 已知线性动态系统中

0

A0

3

试求系统的传递函数G(s)。

解：依题意：

10

00

0，C21，B21

3

0

0s1

；(sIA)0s1

0s23

det(sIA)s2s23；

s(s2)

adj(sIA)(s2)

1

所求传递函数

3s(s2)s

3ss(s2)

332

s3s

T

(s2)s(s2)3

1

s；s2

G(s)

Cadj(sIA)B

det(sIA)

2



T2-13 已知系统的传递函数为

3

(s2)s(s2)

0s(s2)333s

s2s23

100s2s1

3s2

.

s32s23

G(s)

sa

s37s214s8

求当a等于何值，系统传递函数将是不完全表征的。

解：依题意：

G(s)

Cadj(sIA)Bsa

3.

det(sIA)s7s214s8

系统特征多项式：sdet(sIA)s37s214s8(s1)(s2)(s4)；系统是三阶的：n3；

当a1or2or4时，传递函数的特征多项式s为二阶的：且n2n3此时系统有零、极点对消，系统传递函数是不完全表征的。

T3-1 对图T3-1所示系统，按传递函数方框图变换原则求出下列传递函数：

G1c

Y1Y；G2c2

UU

图T3-1 单输入系统方框图

解：解题之前，先总结一些方框图的变换规则：

1

反（逆）移支路

①、相加点对方框G：G；

前（顺）移支路G

反（逆）移支路G

②、分支点对对方框G：1；

前（顺）移支路 G

③、方框串联相乘，方框并联代数相加；

G

④、单环负反馈：Gc(详细介绍请查阅课本第39页）；

1GH

⑤、注意：相加点、分支点之间不能交叉，也不能相互合并（为避免出现不必要的错误而人为规定的）。

因为原系统简化方式有很多，所以笔者就不一一列举了，下面是笔者的一种解法，请参考。 依题意，将原传递函数方框图简化为下图中的形式：

2

G1c

Y1

U

G1G2G3G4G1G2G3G4



H3H4H21G3G4H4G2G3H3G1G2G3H2G1G2G3G4H1

1G1G2G3G4(H1)

G1G2G1G4G4

G2c

G1G2G3Y2Y11



UUG41G3G4H4G2G3H3G1G2G3H2G1G2G3G4H1

T3-3 求出图T3-3所示四输入系统方框图的输入量Y的表达式。

图T3-3 四输入量的系统方框图

解：依题意，将原四输入量的系统方框图简化为下图中的形式：

Y

G(GRR2G1H1R3R4)G1G2RR4

(R12R3H1)211

H2G11G2H2G1G2H1

1G1G2(H1)

G1

T3-4(b) 已知一个电网络如图T3-4(b)所示。试指出图中最多可划分为几个无负载效应的环节，求出该图的传递函数：

G(s)

并说明负载效应对传递函数的影响。

U0s Uisu0

(b)

解：

先介绍几个概念：

负载效应：信号传递过程的分流效应与损耗。

无负载效应的环节：环节的输出变量仅决定于输入变量及环节自身的结构与参数， 而与环节外部所接负载无关。

隔离放大器的作用：可消除环节间的负载效应。

依题意，图(b)中最多可划分为3个无负载效应的环节：

G(s)

U0sK

K

11UisR(1sC1R1)(1sC2R2)R21

sC1sC2

1sC11sC2

T3-5(b) 已知一个无源网络如图T3-5(b)所示，试求传递函数：G(s)

U0s U

isu0

解：依题意，图(b)的传递函数：

G(s)

U0sRsCR

2

UisRsL1sCRsCLsC

T3-10 试根据图T3-10所示传递函数方框图画出对应的信号流图，并根据信号流图求出下列各个传递函数：

GA(s)

YsEsYs；GB(s)；GC(s)

RsRsEs

图T3-10 传递函数方框图

解：（a）先明确Es表示的意思。

Es表示误差信号，是输入信号与反馈信号的差值。

（b）学会画信号流图。

掌握信号流图的表示方法：在信号流图中只采用两种图形符号，即节点及节点之间的定向线段（两节点之间的定向线段又叫支路）。其中，节点代表变量；支路表示信号的传递；支路上所标示的文字代表传递函数。

根据传递函数方框图画出对应的信号流图的方法：

1、先确定节点的个数：数出传递函数方框图（题中给出的图）中相加点数和分支点数的总和n,再加

1(考虑信号输入处有一个节点)，即信号流图的节点数N=(n+1)；此时就可以画出从输入到输出的一条通路。

2、根据传递函数方框图上的传递函数以及信号传递方向在该通路的基准上正确表示出来。

以本题为例

确定节点数：N=3(相加点)+3（分支点）+1=7（个） 画出从输入到输出的一条通路：

Rs

将传递函数以及信号传递方向在该通路上表示出来:

s

Rs

Ys

用Mason公式（请参考课本第55~57页）求信号流图中的各传递函数： 根据我们所画的信号流图知，从Rs到Ys只有一条通路：P1G1；

L1G1H1；

环路共有三个，它们的环路传输分别为：L2G1；

L3H2.

三个环路中，只有L1与L3不相互接触，特征式：

1(L1L2L3)L1L3；11.

GAs

YsPG1

11； Rs1G1H1G1H2G1H1H2

系统从Rs到Es只有一条通路：P11；11L3；

GBs

EsP1H2

; 11

Rs1G1H1G1H2G1H1H2

YsYsRsG1

GCs.

Es1H2RsT3-11(b) 有一个信号流图如图T3-11(b)所示。试利用Mason公式求总传输。

(b)

图T3-11 信号流图

解：依题意，信号流图中从U到Y共有两条通路：P2G4 1G1G2G3 ；P

L1G1G2H1；

环路共有三个，它们的环路传输分别为：L2G2H1；

L3G2G3H2.1(L1L2L3)；

三个环路间彼此相互接触，特征式：11；

；

21(L1L2L3).

Gs

GGGG4(1G1G2H1G2H1G2G3H2)P11P22

123

1G1G2H1G2H1G2G3H2

Yah1cfdq

U1be1dqcf

其中a、b、c、d、e、f及q各代表一个支路的传输，试绘制出该系统的信号流图。

T3-12 已知某控制系统从源点到汇点的总传输为

解：依题意，

Yah1cfdqah1cfdqP11 U1be1dqcf1dqcfbebedq

绘出该系统的信号流图如下：

T3-13 已知系统方框图如图T3-13所示。试写出x1、x2、x2为状态变量的状态方程与输出方程，画出该系统的状态变量模拟图。

图T3-13 系统方框图

解：依题意，画出该系统的状态变量模拟图如下：

(s)

sX1(s)X2(s)

系统的状态方程： sX2(s)2X2(s)X3(s)

sX(s)KX(s)X(s)KR(s)

133

0

写成矩阵形式：x0

K



12

0x10x0r 121x3K

输出方程：yx11

x1 0x2x3

T3-15 已知控制系统的传递函数

s22s5

G(s)3

3s6s29s15

试求该系统的可控标准形实现及可观测标准形实现。

解：对传递函数略加变换：

12523

s2s5G(s)32

3s6s9s151ss2s3

2

绘制图形：

Us

s

可控标准形

Us

s

可观测标准形

xAcxbcu

（1）、可控标准实现：

yCcx

0

式中：Ac0

5

10

3

00

0；C51；bcc321

2

3

1 3



xA0xb0u

(2)、可观测标准实现：

yC0x

0

式中：A01

0

00

1

53

2；C03；b0023

1.

T4-2 已知二阶系统的传递函数为

随着参数、n的不同，其一对极点在s平面上有如图T4-2所示①~⑥的6种分布。若系统输入单位阶跃信号，试列出与这6对极点相对应的暂态响应曲线的形状特征。

图T4-2 典型二阶系统极点对的分布图

解：首先明确阻尼比在不同取值范围下，暂态响应曲线的是怎样变化的：

极点分布图中①②③④⑤⑥所对应的暂态响应曲线的形状分别如下图所示：

yt

ytn1

n

过阻尼时的极点分布和

响应

临界阻尼的极点分布和响应

yt1

yt101

n

n

欠阻尼时的极点分布和响应

无阻尼时的极点分布和响应

ytyt1

n

-1时的极点分布和响应

n

10时的极点分布和响应

T4-5 设有一典型二阶系统 ：

nY(s)

2 2

U(s)s2nsn

2

为了使系统阶跃输入的响应有5%的过调量和2s的调整时间（允许误差为5%），求阻尼比和自然振荡频率n。

解题之前先熟悉几个公式：



①、过调量：Mpe

2

为阻尼比 ；

3

②、5%误差区的调整时间：ts5%3③、2%误差区的调整时间：ts2%4

解：

n

4

为衰减时间常数，n为自然振荡频率 ；

n

.

2ln0.052

0.695%22

过调量：Mpeln0.05 依题意，由

35%误差区的调整时间：ts5%2sn32.17rad/s

n2

T4-10 一闭环系统的结构如图T4-10所示，若开环传递函数G0(s)与输入信号r(t)为 （1）G0(s)

10

；r(t)10t；

s(4s)

10

；r(t)46t3t2；

s(4s)

10

；r(t)46t3t21.8t3。

s(4s)

（2）G0(s)

（3）G0(s)

试求以上三种情况的稳态误差e。

图T4-10 单位反馈系统方框图

此表表明：系统的型N（其中N为开环传递函数G0s的积分因子数）越高，稳态误差越小。

记忆此表的方法（请参考）：对于输入函数满足rt

1k拉氏变换1tRsk1时， k!s



1

令k1n,由表易知：e

K0

（Nn-1）

. （Nn-1）

（Nn-1）

以本题为例

10

1010开环传递函数G0(s)，系统为N1型，比例因子K2.5s(4s)s(1S)4

4

m

母中含有形如（msks1）的形式，比例因子K怎么求：先把分子和分

k

最后化得的开环传递函数G0s中的系数即为K.

氏变换(1)、rt10t拉Rs

10

,s2

eet

10104；K2.5

466,ss2s3

氏变换

(2)、rt46t3t2拉Rs

6

；K

46610.8氏变换

(3)、rt46t3t21.8t3拉Rs234,

ssss6

ee1etettettt0；

K

ee1etett0

T4-12 某具有扰动输入的反馈控制系统如图T4-12所示，如果其参考输入量和扰动量都是单位阶跃信号，即

r(t)d(t)1(t)

图T4-12 具有扰动的单位反馈系统

试求其频域响应Ys、频域误差Es以及时域的稳态误差e。 解：利用Mason公式知：

K11

YsRsDsK1K1

11

s1s3s1s3

1

r(t)d(t)1(t),RsDsKs1s

s(s1)(s3)Ks

1Ks1

EsRsYs

ss(s1)(s3)Ks

elimsEs1

s0

k12

. k3k3

题后小记

K11

为便于理解：YsRsDsK1K1

11s1s3s1s3

特此作出以下推导：令YsYRsYDs；......（叠加原理）其中：

K1



YRsRs；.....(YRs表示的是Rs单独作用下，输出对输入的响应)

K11

s1s31YDsDs；......(YDs表示的是Ds单独作用下，输出对输入的响应)1

s1s3

T4-13某具有扰动输入的反馈系统如图T4-13所示，设R(s)D(s)1/s。系统中各环节传递函数为

G1(s)

K

0.05s1

1

G2(s)

s5

G3(s)2.5

要求：（1）求出系统的稳态误差及调差率；

（2）在扰动点左侧的前馈通路中串入积分因子1/s后，求系统的稳态误差及调差率； （3）在扰动点右侧的前馈通路中串入积分因子1/s后，求系统的稳态误差及调差率；

（4）在上列（2）的情况下，拟对扰动加装比例型补偿环节，以使调差率s0.04，试画出补偿方框图。

解：依题意，YsYRsYDs

G1sG2sG2sRsDs1G1sG2sG3s1G1sG2sG3s由图知：EsRsG3sYs



G2sG3s1

RsDs

1G1sG2sG3s1G1sG2sG3s

2.5

111s5ss

11(0.05s1)(s5)(0.05s1)(s5)(0.05s1)(s2.5)

s(0.05s1)(s5)2.5Ks

（1）、elimsEs

2.5

；

s052.5KysYsG2s1sDlimDlimlimlim

s0s0s0yRsYRsG1sG2sG1ss0

11

.K(0.05s1)

图T4-13 具有扰动的反馈系统

（2）、由图T413(2)知：

s(0.05s1)(s2.5)

Es2；

s(0.05s1)(s5)2.5KselimsEs0；

s0

s

yDsYsG2s11

limDlimlimlim0.

s0s0yRs0sYRss0G1sG2sG1ssss(0.05s1)

图T4-13 (2)

（3）、由图T413(3)知：

(0.05s1)(s25s2.5)

Es2；

s(0.05s1)(s5)2.5Ks

1

elimsEs；

s0K

1

G2syDsYDs111slimlimlimlim.

s0Gss01KyRs0sYRss0K1G1sG2s

s(0.05s1)

图T4-13 (3)

（4）、由图T413(4)知：

11KG1sG2sG2sKG1s1

ysYs

sDlimDlimlimK0.04；

s0yRs0sYRss0

G1sG2sG1sss

K0.04.

图T4-13 (4)

T5-1 已知系统的闭环传递函数为

G(s)

当下列正弦信号作用于系统时，求系统的稳态响应：

（1）r(t)sin(t30)； （2）r(t)2cos(2t45)；



10

11s

（3）r(t)sin(t30)2cos(2t45)。 解：依题意，频率特性：Gj

10

.

11j

（1）、Gj1

1011-j

0.9055.2

11j12.2

将输入信号rt用正弦相量形式表示：Rj11(t3090)则系统稳态响应：yj1Gj1Rj10.905(t24.890)用正弦函数形式表示：yt0.905sin(t24.8).（2）、Gj2

1011-j2

0.89410.3

11j212.5

将输入信号rt用正弦相量形式表示：Rj22(2t45)则系统稳态响应：yj2Gj2Rj21.788(2t55.3)用正弦函数形式表示：yt1.788cos(2t55.3).

（3）、利用叠加原理以及(1)、(2)知：yt0.905sin(t24.8)1.788cos(2t55.3).

T5-4(3) 画出下列传递函数的频率特性Nyquist图： （3）G(s)

250(1s)

；

s2(s5)(s15)

解：依题意：积分因子数N=2，极点数(n)－零点数(m)=4－1=3

250(1j)250(75192)250(255)分母有理化

G0(j)2j

(j)2(j5)(j15)(252)(2252)(252)(2252)三点成形：

K250

；N2

j075j0b12503

（2）、当时，G0j00；

a0jnmj32（1）、当0时，G0j0

（3）、与实轴交点：令ImG0j0，即2550，7.4rad/s250(75197.42)

考虑正频率(0)特性:ReG0j7.420.23.

7.4(257.42)(2257.42)



绘出该传递函数的正频率特性Nyquist图大致图形如下：

知识点补充：

K(N0)



（1）、当0时，G0j0，其中K为比例因子； 

N(N0)2

b0

(nm)a0

jm、jn的系数（2）、当时，G0j，其中b0、a0分别为.

0nm(nm)2

T5-7 某系统的开环幅频渐近特性如图T5-7所示，已知开环传递函数中的零点、极点均位于左半复平面上，

试写出其开环传传递函数。

G0(ω)(dB)

40

20

1220

图T5-7 幅频渐近特性

解：依题意，由图知：G0s

K

11

s1s112



s

容易看出：1

5

0.5，10

从点1，40到点5，0，纵轴的分贝幅值正好降低40dB，横轴刚好增加10倍频程。

1点1，40的幅值由比例因子K二者共同作用，

s

即：4020lgK-20lg1,解得：K100150；

11点2，-12的幅值由比例因子K三者共同作用，

1s1s

1

即：-1220lgK-20lg2-20lg综上知：G0s

2

，解得：29.981

5011s1s1s

0.59.98

题后小结：

（1）、比例因子K1的对数幅频特性：LmK20lgK

dB；

dB；

11（2的对数幅频特性：LmLm20lg

sj1

（3的对数幅频渐近特性：

1jT

1TdB；1

T1

（422的对数幅频渐近特性：

jTj2T1

0

LmG

20lgT





0

LmG

40lgT

1T1

T



dB.

T5-8 某系统的开环幅频渐近特性如图T5-8所示，已知开环零点、极点均位于左半复平面上，试确定系统的开环2传传递函数。



图T5-8 幅频渐近特性

1

K1s

0.02解：依题意，由图知：G0s

111

s1s1s1s

0.00160.20

.88

1

点0.0016，52的幅值由比例因子K二者共同作用，

s

即：5220lgK-20lg0.0016,解得：K102.60.00160.64；1

0.641s

0.64150s0.02G0s.

111s1625s15s11.14s

s1s1s1s

0.00160.20.88

T6-1 试判断图T6-1（a）、(b)所示两个系统的BIBO稳定性。

(a)

(b)

图T6-1 反馈系统方框图

1

Ys1ss1解：（a2

Usss21

ss1Ys-1j7

令s2s20的特征根：1,2

Us2

Re1,20,系统BIBO稳定；

1

Ys1ss1（b2

ss3Us1

ss1Ys1j令s2-s30的特征根：1,2

Us2

Re1,20,系统BIBO不稳定.

T6-9 应用Routh判据确定下列特征方程的根中带正实部的根数、带零实部的根数及带负实部的根数： （1）s5s2s100；

（3）2ss6s3ss10； （5）ss2s2s8s80。 解：（1）s5s2s100 列出Routh阵列表如下：

4

3

5

4

3

2

5

4

3

2

4

3

第一列改变了两次符号，所以特征根中带正实部的根数为2个；带零实部的根数为0个；带负实部的根数为2个。

（注意：s的最高次方为总根数，再根据Routh阵列，看第一列有几次变号，即含几个带正实部的根，阵列表里面的数是怎么来的，请参考课本第135~136页，要求熟练掌握。）

（3）2ss6s3ss10

5

4

3

2

列出Routh阵列表如下：

第一列改变了两次符号，所以特征根中带正实部的根数为2个；带零实部的根数为0个；带负实部的根数为3个。

（5）ss2s2s8s80 列出Routh阵列表如下：

5

4

3

2

第一列改变了两次符号，所以特征根中带正实部的根数为2个；带零实部的根数为0个；带负实部的根数为3个。

T6-12 有一系统的特征方程为

s3(1)s2(1)s(1)0

试讨论使系统稳定时，的取值范围。

解：列出Routh阵列表如下：

欲使系统稳定，则需满足特征方程的全部系数均为正值且Routh阵列中的第一列各项均为正号。

10



即10且0，解得：0,1.

110



T6-13 给定下列闭环系统的开环传递函数，试应用Nyquist判据判断这些闭环系统的稳定性： （1）G0(s)

2s1

；

2(s1)

10

。

(1s)(12s)(13s)

（2）G0(s)

解：（1）、G0(s)

2s1

，G0(s)在不含虚轴的右半s平面上不含极点，即P002(s1)

j21122j

G0(j),积分因子数为0，极点数零点数110.2

2(j1)21

1

当0时，G0(j0)；当时，G0(j)1.

2

画出G0(j)的Nyquist图，如图(a)所示：





图a

-1，j0，即N0.由图a知，G0j的Nyquist曲线不包围点

NP00,闭环系统是稳定的。

（2）、G0(s)

10

，G0(s)在不含虚轴的右半s平面上不含极点，即P00

(1s)(12s)(13s)

10101112j636G0(j),222

(1j)(12j)(13j)11419积分因子数为0，极点数零点数303.

3

当0

时，G0(j0)10；当时，G0(j)0.

2

令ImG0(j)0得1rad/s,考虑正频率特性，此时：ReG0(j1)1；

1

rad/s0.3rad/s,考虑正频率特性，此时：ImG0(j0.3)6.1.画出G0(j)的Nyquist图，如图(b)所示：令ReG0(j)0得



-1，j0，由图b知，G0j的Nyquist曲线通过点

闭环系统临界稳定，即不稳定。

T6-14 已知系统的开环Nyquist图如图T6-14所示。图中P右代表系统开环传递函数在右半s平面上的极点数，试判断它们的稳定性。

题后小结：右

bP

右

0

cP右0

dP右

0

fP右1

1、在Nyquist曲线中，正频率曲线与负频率曲线关于实轴对称；2、当0时的曲线与坐标轴交于无穷远处时，

应从Nyquist曲线的0处沿顺时针环绕n到0处,其中n为开环传递函数的积分因子数，

在坐标图上怎么看出n的值：应从正实轴开始，顺时针走过角到0处，

”负号是因为规定沿顺时针走过的角度为负；——式中的“

2

3、Nyquist曲线包围点1，j0的次数N怎么算？

n

在Nyquist曲线画正确的前提下，请参考：笔者提供两种方法

法一：注意顺时针包围为N正，逆时针包围N为负；

我们从处开始，沿行进方向，从上一次穿过实轴到下一次穿过实轴计数一次1

（此时Nyquist曲线只走过了180圈，

2

其正负根据顺时针包围还是逆时针包围去判断）；

0就停止；走完一个周期

法二：如果不喜欢数圈，那就“穿越”吧，这样快。

我们定义Nyquist曲线在点1，j0以左穿过负实轴时，称为“穿越”，穿越又有正穿越和负穿越之分（二者的区别请见图A-B)。其中：N负穿越次数正穿越次数

a~图b的N.同学们可以用穿越的方法去计算一下本题中图

N负穿数—正穿数2-20

图AB

请同学们把第七章的例题7-2、7-3、7-4看懂。

例7-2.解：依题意，原系统的开环传递函数：G0(s)

20

.

(15s)(10.5s)(10.05s)

调整开环增益K20至K40，则G0(s)

40

.

(15s)(10.5s)(10.05s)

频率特性：G0(j)

40

.

(1j5)(1j0.5)(1j0.05)

此时，剪切点频率为c，对应的相位裕量为，则

由20lg4020lg5c20lg0.5c0，得c4rad/s,

180(G0(jc)180tg15ctg10.5ctg10.05c18.

采用超前校正，根据和，必须添加的相位超前量：501832.

37，则 预想一个裕量5，则新超前量：max





1sinmax

4.02 1sinmax

根据调整增益后的Bode图，确定 LmG0

1

Lm6.04dB 处的频率max，对应的相位裕量. 2

20lg4020lg5max20lg0.5max6.04得max5.66rad/s,

180(G0(jmax)180tg15maxtg10.5maxtg10.05max6.

44max37. 根据和，必须添加的相位超前量：max

49，说明预想的裕量不足，另选17，重新计算新超前量：max

根据调整增量后的Bode图，确定 LmG0



1sinmax

7.15 1sinmax

1

，对应的相位裕量. Lm8.54dB 处的频率max

2

20lg0.5max8.54得max6.54rad/s, 20lg4020lg5max

)180tg15maxtg10.5maxtg10.05max1. 180(G0(jmax

6.54rad/s，得T249max49.故选7.15,maxmax

1max

0.057s,T20.41s.

所以，校正后的开环传递函数为：G0(s)

40(10.41s)

.

(15s)(10.5s)(10.057s)(10.05s)

解：依题意，原系统的开环传递函数：G0(s)

50

， 2

(15s)(10.05s)

频率特性：G0(j)

50

.

(1j5)(1j0.05)2

此时，剪切点频率为c，对应的相位裕量为，则 由20lg5020lg5c0，得c10rad/s,

180(G0(jc)180tg15c2tg10.05c3850.

处的相位裕量55. 估计一个裕量5，调整开环增益至K，使新剪切点c



则此时，开环传递函数为：G0(s)

K

,

(15s)(10.05s)2

频率特性：G0(j)

K

. 2

(1j5)(1j0.05)

)180tg15c2tg10.05c由180(G0(jc

180902tg10.05c55.6.3rad/s. 得c

0得：K31.5 又由20lgK20lg5c

采用滞后校正，从检查点向右下方作一斜率为40dB/dec的线段交调整后的幅频渐近线于点A， 由20lg10040lg5A20lg31.520lg5A得：A0.63rad/s. 与点、A对应的频率即为该环节在Bode图上的两个转角频率，

即T1

11

5s，T11.6s，0.32. 0.20.63

所以，校正后的开环传递函数为：G0(s)

100(11.6s)

.

(15s)2(10.05s)2

解：原系统的开环传递函数：G0(s)

20

(15s)(10.5s)(10.05s)

频率特性：G0(j)

20

(1j5)(1j0.5)(1j0.05)

此时，剪切点频率为c，对应的相位裕量为，则

由20lg2020lg5c20lg0.5c0，得c2.83rad/s,

180(G0(jc)180tg15ctg10.5ctg10.05c31.

①先采用超前校正，同时调整增益至K，

34， 估计一个裕量5，根据和，必须添加的相位超前量：max

1sinmax

则3.54，

1sinmax



T2

1

c



1

0.19s，T20.66s0.5s.

3.542.83

故由20lgK20lg5c0 得：K14.15. ②再采用滞后校正，v线与LmK线的交点为A，则 由20lg10020lg50A20lg14.15得：A0.14rad/s. 故T1

1150s，T17.14s，0.143. 0.020.14

综上①②知，校正后的开环传递函数为：G0(s)

100(17.14s)(10.66s)

.

(150s)(15s)(10.5s)(10.19s)(10.05s)