追及与相遇问题
追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同. 对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景. 借助于v －t 图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了.
知识要点：
一、相遇是指两物体分别从相距S 的两地相向运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的距离之和等于S ，分析时要注意：
（1）、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系；
（2）、两物体各做什么形式的运动；
（3）、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立S=S1+S2方程；
二、追及问题
（1）、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。
若甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离 。 若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离 。
若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离 。
2、追及问题的特征及处理方法：
“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：
⑴ 速度小者匀加速追速度大者, 一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度 ，
即v 甲=v 乙。
⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。
判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。
①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。
②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。
③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。
解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。
⑶ 速度大者匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。
三、分析追及问题的注意点：
⑴ 追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件
⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。
⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v -t 图象的应用。
例题分析：
21．一车处于静止状态, 车后距车S 0=25m处有一个人, 当车以1m/s的加速度开始起动时, 人
以6m/s的速度匀速追车, 能否追上? 若追不上, 人车之间最小距离是多少?
２2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以３m/s的加速度开始行驶，恰好此时一辆自
行车以６m/s速度驶来，从后边超越汽车．试求：
① 汽车从路口开动后，追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？ ② 经过多长时间汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
3．公共汽车从车站开出以4m/s的速度沿平直公路行驶，2s 后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追
赶，加速度为2m/s。试问
（1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？
（2）摩托车追上汽车时，离出发点多远？
（3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？
4、火车以速度v 1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s 处有另一火车沿同方向以速度v2做匀速运动，已知v 1＞v 2司机立即以加速度a 紧急刹车，要使两车不相撞，加速度a 的大小应满足什么条件？
5、某人骑自行车以4m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面７m 处以10m/s的速度同向行驶的汽车
2开始关闭发动机，而以２m/s的加速度减速前进，求：①自行车未追上前，两车的最远距离； ②
自行车需要多长时间才能追上汽车．
课后练习：
1、 一列快车正以20m/s的速度在平直轨道上运动时，发现前方180m 处有一货车正以6m/s速度匀
速同向行驶，快车立即制动，快车作匀减速运动，经40s 才停止，问是否发生碰车事故？（会发生碰车事故）
2、 同一高度有AB 两球，A 球自由下落5米后，B 球以12米/秒竖直投下，问B 球开始运动后经过
2多少时间追上A 球。从B 球投下时算起到追上A 球时，AB 下落的高度各为多少？（g=10m/s）（2.5
秒；61.25米）
3、 如图所示，A 、B 两物体相距ｓ＝7ｍ，物体A 在水平拉力和摩擦力作用下，正以ｖ1＝4m/s的速
度向右运动，而物体B 此时的速度ｖ２＝10ｍ/ｓ，由于摩擦力作用向右匀减速运动，加速度a
2＝－2m/s，求，物体A 追上B 所用的时间。（8s ）
2
参考答案：
1、
22S 人-S 车=S0 ∴ v人t-at /2=S0 即t -12t+50=0
2 Δ=b-4ac=122-4×50=-56
当v 人=v车=at时, 人车距离最小 t=6/1=6s
2 ΔS min =S0+S车-S 人=25+1×6/2-6×6=7m
2、
1．解一：速度关系，位移关系v 汽=at =v 自 t=2s
11∆s =v 自t -at 2=6⨯2-⨯3⨯22=6(m ) 22
解二：极值法
(1)∆s =v 自t -123at =6t -t 2 22
由二次函数的极值条件可知
t =-6=2s 时，∆s 最大 2⨯(-3/2)
3⨯22=6(m ) 2∆s m =6⨯2-
(2)汽车追上自行车时，二车位移相等
v t ' =1' 22v 2⨯6at t ' ===4s 2t 3
v ' =at ' =3⨯4=12m /s
解三：用相对运动求解
选匀速运动的自行车位参照物，则从运动开始到相距最远, 这段时间内, 起初相对此参照物的各个物理量为
初速 v 0=v 汽初-v 自=0-6=-6m /s
末速 v t =v 汽末-v 自=6-6=0
加速度 a =a 汽-a 自=3-0=3m /s 2
2v t 2-v 00-(-6) 2
==-6m (负号表示汽车落后) ∴相距最远 s =2a 2⨯3
解四：图象求解
∆s =v t -(1) t =v 自a =6=2s 3121at =6⨯2-⨯3⨯22=6m 22
(2) t =2t =4s
v ' =2v 自=12m /s
3、
解：开始一段时间内汽车的速度大，摩托车的速度小，汽车和摩托车的距离逐渐增大，当摩托车的速度大于汽车的速度后，汽车和摩托车的距离逐渐减小，直到追上，显然，在上述过程中，摩托车的速度等于汽车速度时，它们间的距离最大。（1）摩托车追上汽车时，两者位移相等，即 v(t+2)=' 12at 2
解得摩托车追上汽车经历的时间为t=5.46s
(2)摩托车追上汽车时通过的位移为
s=12at =29.9m 2
/ (3)摩托车追上汽车前，两车速度相等时相距最远，即v=at
t =/v =2s a /最大距离为△s=v(t+2)- 1/2at =12m 2
小结：求解追及问题要注意明确三个关系：时间关系、位移关系、速度关系，这是我们求解列方程的依据，涉及临界问题时要抓住临界条件。
4、
解法一：由分析运动过程入手
后车刹车后虽做匀减速运动，但在速度减小到和v2相等之前，两车的距离将逐渐减小；当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距离最近。若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车，若后车加速度大小为某一值时，恰能使两车速度相等时后车追上前车，这是两车不相撞的临界条件，其实对应的加速度即为两车不相撞的临界最小加速度。
综合以上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列方程：
v 1t-1a 0t 2= v2t+s vt -a 0t=v2 2
(v 2-v 1) 2(v 2-v 1) 2联立上式可解得：a 0= 所以不 a ≥时时两车即不会相撞。 2s 2s
解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为
v 1t-12at ≤s+ v2t 2
12即at +(v2-v 1)t+s≥0 2
对于位移s 和时间t, 上面不等式都成立的条件为
△=(v2-v 1) 2-2as ≤0 (v 2-v 1) 2
由此得a ≥ 2s
解法三：以前车为参考系，刹车后后车相对于前车做初速度v0=v1-v2、加速度为a 的匀减速直线运动，当后车相对前车的速度为零时，若相对位移s/≤s 时，则不会相撞。
2v 0(v 2-v 1) 2
由s ==≤s 2a 2a /
(v 2-v 1) 2得a ≥ 2s 小结：上述三种解法中，解法一注重了对物体运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次不等到式（一元二次方程）运用数学知识，利用根的判别式△=b2-4ac来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过巧妙选取参考系，使两车的运动变为后车相对于前车的运动，运算简明。 5、
解：①当v 汽＝v 车时，有最远距离
∆s =7+s 汽-s 自=7+
②s 自=s 汽+7 16-1004-10-4⨯=16m 2⨯-2-2
v 1t =v 0t +12at +7 （错解）５s 末汽车已停下 2
t 1=7s 应判断在追上前汽车是否已经停下
＇t 1=－１s(舍)
经５s 汽车停下且走了２５m ，而s 自=20m, 20
∴相遇是在汽车停止后，s 自＝７＋２５＝３２（m ）
t ＝３２／４＝８（s ）
若s 自＝８m/s，∆s ＝８m ，何时相遇，相遇时v 汽＝？
s 自=s 汽+∆s
t=4s
8t=10t－t －2s(舍)
2v 汽＝２m/s