非
平
稳
时
间
序
列
的
建
模
方
法
研
究
林
卉
武
汉
理
工
大
学
（申请理学硕士学位论文） 非平稳时间序列的建模方法研究 培养单位 ：理学院 学科专业 ：应用数学 研 究 生 ：林 卉 指导教师 ：童恒庆 教授
2005年5月
分类号
UDC 密 级 学校代码
学 位 论 文
题 目 非平稳时间序列的建模方法研究 英 文 The Research on the Method of the Modeling
题 目 研究生姓名 林 卉
姓名 职称 学位指导教师
单位名称 邮编申请学位级别 硕 士 学科专业名称 应用数学 论文提交日期 2005年5月 论文答辩日期 2005年6月 学位授予单位 武汉理工大学 日期 答辩委员会主席 评阅人
2005年5月
武汉理工大学硕士学位论文
中文摘要
时间序列分析是概率统计学中一个内容十分丰富的重要分支，近年来它在理论与应用两方面都得到了蓬勃发展。时间序列分析按时间序列的统计特性可以分为平稳时间序列和非平稳时间序列两类。在实际问题中，我们经常遇到的序列，特别是反映社会、经济现象的序列，大多数并不平稳，并且呈现出明显的趋势性或周期性，因此研究非平稳时间序列的建模具有很重要的现实意义。本文的重点是对非平稳时间序列的建模方法进行研究。
首先，本文介绍非平稳时间序列的一些传统的建模方法，主要对ARIMA模型法、季节性模型法、X-11法、回归方法、灰色模型法等方法加以研究分析。
然后，本文对非平稳时间序列的状态空间建模方法进行重点研究，主要有如下的研究工作：
（1）在建模方面，参照Kitagawa和顾岚教授关于时间序列状态空间建模思路，把非平稳时间序列趋势项、循环项和季节项这三项分别建立非平稳时间序列趋势项状态空间模型、非平稳时间序列循环项状态空间模型和非平稳时间序列季节项状态空间模型，最后建立非平稳时间序列的总体的状态空间模型。
（2）在状态估计方面，介绍卡尔曼滤波递推公式的理论依据，采用卡尔曼滤波与固定区间平滑融为一体的算法，对状态空间模型中的状态向量及其误差方差阵进行估计，并用Matlab编写出相应的程序。
（3）介绍改进的EM算法，对改进的EM算法的收敛性给出证明。
（4）在参数估计方面，提出采用卡尔曼滤波、固定区间平滑以及改进的EM算法融为一体的方法进行估计。
（5）把传统的ARIMA建模方法和本文介绍的状态空间建模方法分别用于我国第三产业总值的预测中，比较两种模型的预测效果。用实例验证使用卡尔曼滤波与固定区间平滑相结合的算法优于单独使用卡尔曼滤波，以及卡尔曼滤波、卡尔曼滤波与固定区间平滑相结合的算法都具有算法稳定性。
关键词：非平稳时间序列，ARIMA模型，状态空间模型
. I
武汉理工大学硕士学位论文
Abstract
Time series analysis is one of important branch in probability and statistics. Recently, the theory and application of time series is developed quickly. According to the characteristic of statistics, time series is divided into two classes. One is stationary time series, the other is nonstationary time series. In daily time we usually observe time series which is almost nonstationary especially in the phenomena of society and economic. The nonstationary time series presents obvious tendency and periodicity. The research of the modeling of nonstationary time series is very important in practice. The study narrates mainly about the method of the modeling of nonstationary time series.
Firstly, some traditional research methods of the modeling of nonstationary time series are introduced in the study. For example, ARIMA model, season model, X-11 model, grey model and so on.
The emphasis of the study is the research of the state space modeling of nonstationary time series, it includes the five points:
(i) In modeling phase, according to the method of Kitagawa and Gulan on the state space modeling of nonstationary time series, time series is decomposed into four items which are trend item, cycle item, season item and random item. Then the study establishes the state space modeling of four items separatly which constitute the total state space modeling of nonstationary time series.
(ii) In the estimate of state vector, the study introduces the academic gist of the Kalman filtering and uses the arithmetic of the Kalman filtering and optimal fixed interval smoothing.
(iii) The study introduces the improved EM algorithm, and it proves the convergent property.
(iv) In the estimate of the parameter, the study uses the arithmetic of the Kalman filtering, optimal fixed interval smoothing and improved EM algorithm.
(v) The study uses the ARIMA model and state space model to forecast the total value of the three industry in our country. It compares the impact of the two model. And it testifies that the arithmetic of the Kalman filtering and optimal fixed interval smoothing is better than the Kalman filtering. And the Kalman filtering and the arithmetic of the Kalman filtering and optimal fixed interval smoothing are steady in arithmetic.
Keywords: nonstationary time series, ARIMA model, state space model
. II
武汉理工大学硕士学位论文
目 录
第1章 引言...............................................................................................................1
1.1 时间序列概述...............................................................................................1
1.2 平稳时间序列...............................................................................................3
1.3 非平稳时间序列...........................................................................................4
1.3.1 国外关于非平稳时间序列建模的主要研究成果.............................5
1.3.2 国内关于非平稳时间序列建模的主要研究成果.............................6
1.4 本文所要解决的问题...................................................................................7
第2章 非平稳时间序列的若干传统建模方法.......................................................9
2.1 ARIMA模型法.............................................................................................9
2.2 季节性模型法.............................................................................................11
2.3 X-11方法....................................................................................................12
2.4 回归方法.....................................................................................................14
2.5 灰色模型法.................................................................................................17
第3章 非平稳时间序列的状态空间建模方法.....................................................20
3.1 非平稳时间序列的分解.............................................................................20
3.2 状态空间模型的介绍.................................................................................21
3.3 非平稳时间序列的状态空间模型的建立.................................................22
3.3.1 非平稳时间序列趋势项状态空间建模...........................................23
3.3.2 非平稳时间序列循环项状态空间建模...........................................25
3.3.3 非平稳时间序列季节项状态空间建模...........................................27
3.3.4 非平稳时间序列总体状态空间模型的建立...................................28
3.3.5 非平稳时间序列的最佳状态空间模型的确定...............................29
3.4 非平稳时间序列状态空间模型的状态估计.............................................30
3.4.1 无偏最小方差估计...........................................................................30 . i
武汉理工大学硕士学位论文
3.4.2 卡尔曼滤波.......................................................................................32
3.4.3 固定区间平滑...................................................................................35
3.4.4 卡尔曼滤波与固定区间平滑相结合方法.......................................37
3.5 非平稳时间序列状态空间模型的参数估计.............................................39
3.5.1 参数的极大似然估计.......................................................................39
3.5.3 EM算法及其改进算法....................................................................41
3.6 非平稳时间序列状态空间模型的预测.....................................................43
第4章 ARIMA模型与状态空间模型的预测的实例...........................................44
4.1 ARIMA建模法在全国第三产业总值预测中的应用...............................44
4.2 状态空间建模法在全国第三产业总值预测中的应用.............................47
第5章 本文的结论.................................................................................................51
5.1 传统建模方法的优点及其不足.................................................................51
5.2 非平稳时间序列状态空间模型的建模方法的优点及其不足........................52
5.3 本文研究的内容和进一步研究的重点.....................................................53
5.3.1 本文研究的内容...............................................................................53
5.3.1 本文进一步研究的重点...................................................................54
参考文献.....................................................................................................................56
致 谢.....................................................................................................................59
附录1 攻读硕士学位期间发表的论文..................................................................60
附录2 卡尔曼滤波与固定区间平滑方法的Matlab程序.........................................61
. ii
武汉理工大学硕士学位论文
第1章 引言
1.1 时间序列概述
随着科学技术的进步和社会经济的发展，在许多领域，人们日益重视对各种现象的定量观测和有关数据的收集和分析。这些数据一般按时间顺序排列，由于受到多种偶然因素的影响，往往表现出某种随机性，且观测值之间存在着相互依赖关系。对这种按时间顺序排列的动态数据进行研究，构成了数理统计的一个重要分支——时间序列分析[2]。
自从1970年Box和Jenkins提出自回归滑动平均模型及其一套完整的建模、估计、检验、预测和控制方法以来，时间序列分析这一领域吸引了大批科技人员在理论和方法上的进一步研究，其应用遍及气象、生物、电力、机械、化工、交通、经济以及土建等领域。
从统计意义上讲，所谓时间序列就是将某一个指标在不同时间上的不同数值,按照时间的先后顺序排列而成的数列。这些时间序列由于受到各种偶然因素的影响，往往表现出随机性，彼此之间存在着统计上的依赖关系。而时间序列中的“时间”可以具有不同的物理意义，可以小到生活琐事，如一天内的体温变化、情绪波动规律等，也可以大到国家、世界大事，如世界森林面积的变化、
[3]地球空气污染的变化、股市行情变化以及国民生产值的变化等等。
从数学意义上讲，如果对某一过程中的某一个变量或一组变量X(t)进行观察测量，在一系列时刻t1,t2,L,tN(ti(i=1,2,L,N)为自变量，且t1
从系统意义上讲，时间序列就是某一系统在不同时间（地点、条件等）的响应。这个定义从系统运行的观点出发，指出时间序列是按一定顺序排列而成的；这里的“一定顺序”既可以是时间顺序，也可以是具有各种不同意义的物理量（如代表温度，速度或其它单调递增取值的物理量）。可见，时间序列只是. 1
武汉理工大学硕士学位论文
强调顺序的重要性，而并非强调必须以时间顺序排列[7]。
时间序列根据所研究的依据不同，有不同的分类[3]。
1．按所研究对象的多少来分，有一元时间序列和多元时间序列。如果所研究的对象是一个变量，例如某种商品销售量，则称为一元时间序列；如果所研究的对象是多个变量，例如按年或月顺序排列的气温、气压、雨量数据，这种序列每个时刻t对应着多个变量，则称为多元时间序列。多元时间序列不仅描述了各个变量的变化规律，而且揭示了各变量间相互依存关系的动态规律性。
2．按时间的连续性来分，有离散时间序列和连续时间序列。如果某一序列中的每一个序列值所对应的时间参数为间断点，那么该序列就是一个离散时间序列；如果某一序列中的每一个序列值所对应的时间参数为连续函数，则该序列就是一个连续时间序列。本文研究的是离散时间序列。
3．按时间序列的统计特性来分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。如果一个时间序列的概率分布与时间t无关，则称该时间序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。如果时间序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t满足：（1）均
则称该时间序列为宽平稳时间序列，值为常数，（2）协方差为时间间隔τ的函数，
也叫广义平稳时间序列。反之，把不具有平稳性的时间序列（即时间序列的均值或协方差是与时间有关的序列）称之为非平稳序列。
4．按时间序列的分布规律来分，有高斯型（Gaussian）时间序列和非高斯型（non-Gaussian）时间序列。服从高斯分布（正态分布）的时间序列叫做高斯型时间序列，否则叫做非高斯型时间序列。对于一些非高斯序列，往往通过适当变换，则可近似地看成是高斯型时间序列。
时间序列的一个重要的基本特征就是相邻观测值之间具有依赖性，这种依赖特征具有很大的实际意义。时间序列分析所论及的就是对这种依赖性进行分析的技巧，即根据已有的动态数据来揭示系统动态结构和规律。时间序列分析的基本思想是寻找系统的当前值与其过去的运行记录（观察数据）的关系（是一种纵向关系），建立能够比较精确地反映时间序列中动态依存关系的数学模型，并借此对系统的未来行为进行预报。
时间序列分析有时域分析、统计分析和频域分析，如果时间序列数据图像的横轴表示时间，纵轴表示函数值，那么时间序列沿时间轴表现出来的性质是时域性质，对其分析称为时域分析；时间序列沿函数值轴表现出来的性质（一. 2
武汉理工大学硕士学位论文
般是概率意义上的随机值，是概率性质），对其分析称为统计分析；如果时间序列数据表现出来的波动性，既有振幅也有频率，对其分析称为频域分析或频谱分析。本文主要介绍时域分析。
1.2 平稳时间序列
平稳时间序列的直观含义就是时间序列中不存在任何趋势性和周期性，其统计意义就是一阶矩为常数，二阶矩存在且为时间间隔τ的函数。这里讲的时间序列的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间的变化而变化，即均值和协方差不随时间变化而变化。
对平稳时间序列建模，如果是要寻找序列变量之间或者序列变量前后之间的联系，就考虑建立自回归模型（Auto Regressive model 简称AR模型）；如果是要寻找序列变量与白噪声之间的联系，就考虑建立移动平均模型（Moving Average model简称MA模型）；如果既要寻找序列变量前后之间的联系又要寻找序列变量与白噪声之间的联系，就考虑建立自回归移动平均模型（Auto Regressive Moving Average model 简称ARMA模型）。将三种模型表示如下：
AR(n)即n阶自回归模型为：
Xt=ϕ1Xt−1+ϕ2Xt−2+L+ϕnXt−n+at
MA(m)即m阶移动平均模型为：
Xt=at−θ1at−1−θ2at−2−L−θmat−m
ARMA(n,m)即n阶自回归m阶移动平均模型为：
Xt−ϕ1Xt−1−ϕ2Xt−2−L−ϕnXt−n=at−θ1at−1−θ2at−2−L−θmat−m
对平稳时间序列建立模型的方法有很多，如Box-Jenkins方法、Pandit－Wu方法以及长阶自回归法等等[2,3,7]。
Box－Jenkins方法是以自相关函数、偏自相关函数的统计特征为依据的方法，其基本步骤有四步：（1）模型识别，即对一个观察序列，用其相关图和偏相关图来从各种模型族中选择一个与其实际过程相吻合的模型结构，找到合适的p,d和q的值。（2）参数估计，估计模型中所含自回归和移动平均项的参数。
（3）诊断，看所选的模型对数据拟合是否够好。（4）预测，利用所选模型对时间序列进行一步或多步预测。
. 3
武汉理工大学硕士学位论文
Pandit－Wu方法是Pandit－Wu在1977年提出一种系统建模的新方法。这种方法是在Box－Jenkins方法的基础上，经过实践和进一步发展得出的。它认为任何一个平稳时间序列总可以用一个ARMA(n,n−1)模型来表示。而AR(n)、MA(m)以及ARMA(n,m)(m≠n−1)模型都是ARMA(n,n−1)模型的特例。这种方法的思想为：逐渐增加模型的阶数，拟合较高阶ARMA(n,n−1)模型，直到再增加模型的阶数而剩余平方和不再显著减小为止。主要建模步骤：（1）零均值化，使时间序列的均值为零。（2）从n=1开始，逐渐增加模型阶数，拟合ARMA(2n,2n−1)模型。（3）模型适应性检验。（4）求最优模型。
长阶自回归法的理论依据是：任一个时间序列都可以用一个足够高阶的AR(n)模型来逼近到所要求的精度。其建模的基本步骤为：（1）零均值化，这与
（3）Pandit－Wu方法一致。（2）建立AR(2n)模型，直至达到所要求的精度为止。
根据拟合的AR模型求ARMA(n,n−1)。（4）ARMA(n,n−1)的可逆性检验。
1.3 非平稳时间序列
前面叙述了平稳时间序列及如何用有限阶AR(n)、MA(m)和ARMA(n,m)模型对平稳时间序列的观测数据进行建模拟合。但是在实际问题中，我们常常遇到的序列，特别是反映社会、经济现象的序列，大多数并不平稳，而是具有明显的增长或减少趋势，或者含有依时间周期变化的趋势。例如国际航线客票数据、太阳黑子数据以及证券交易所每日收盘的综合指数等等。这就需要我们对非平稳时间序列进行研究。
判断时间序列是否非平稳，常见的方法有：数据图检验法、自相关或偏相关函数检验法、特征根检验法、参数检验法、逆序检验法、游程检验法[8]。
对于非平稳时间序列的分析研究，其主要思路是将其转化为平稳时间序列来进行研究。转化的办法可以是将它与一个普通函数相减（时序分解）、自己与自己前后项相减（滤波或单位根过程）、自己与另外一些时序相减（Co-Integration，一般翻译成协整）。
对于非平稳时间序列的建模方法有ARIMA模型法、季节性模型法、X-11法等传统方法[2,3,7]。国内外关于非平稳时间序列的建模方法也有不同的研究成果。 . 4
武汉理工大学硕士学位论文
1.3.1 国外关于非平稳时间序列建模的主要研究成果
早在1920年，G.U.Yule就提出了自回归模型的概念，但这一工作在当时对预测并没有产生多大的影响。直到70年代，由于Box和Jenkins的开拓性工作，ARIMA模型才成了人们研究的热门课题[2]。Box和Jenkins提出的ARIMA模型是国际上流行的一种时间序列预测模型。Box－Jenkins方法是迄今为止理论上最完善的预测方法，通过预测技术的普及和计算机的广泛应用，它引起了越来越多的重视，目前已经有很多人进行了ARIMA模型的自动建模及预测的研究工作。在建立ARIMA模型时，Box－Jenkins方法是用差分方法来做平稳化处理，Parzen认为这样的差分处理是粗略的，为此，他提出了ARARMA模型法[9,10]，即首先用一个AR模型进行变换，使序列从非平稳变成平稳；然后再用一个ARMA模型进行变换，使序列从平稳变成白噪声。同时与ARIMA模型相比，ARARMA模型要估计参数较多，但是精度要高一些。70年代中期，由Box和Tiao首先提出干预分析模型，它可以看成多变量时间序列模型中传递函数模型的一种推广[14]。干预分析模型能够对时间序列中的动态特征进行合理的描述，甚至可以对未来做出主观的估计，把先验知识反映进模型中来。其成功用于交通、经济等领域，但是对于干预发生后没有足够观测数据的情况，可能无法建立干预模型。
对于季节性的时间序列的研究，运用较多的是X-12方法和BV4方法。X-12方法和BV4方法是从原始序列中分离出趋势（Trend）——也就是剔除季节因素。加拿大统计局将美国普查局的X-12方法改进为X-12-ARIMA方法，以消除原方法在序列两端不对称的影响。除此之外，一些国家或部门也继续尝试在不同方面的改进，例如韩国人根据本国的国情引入哑元以反映韩国的特定节假日因素，开发出了BOK-X-12-ARIMA方法；Box和Tiao将干预事件引入到X-12-ARIMA之中，形成带有干预分析的X-12-ARIMA模型，它在经济时间序列的研究和运用中越来越流行。
同时针对传统的差分回归的处理方法，美国经济学家、纽约大学金融学教授罗伯特.恩格尔（Engle）和英国经济学家、美国加利福尼亚大学荣誉教授克莱夫.格兰杰（C.Granger）于1987年正式提出协整理论和误差修正模型[16]。如果两个或两个以上同阶单整的非平稳时间序列的线性组合是平稳时间序列，那么就说这些变量之间的关系就是协整的。针对金融经济学研究的核心问题——. 5
武汉理工大学硕士学位论文
波动性，恩格尔（Engle）教授于1982年创造性地引入自回归条件异方差模型即ARCH模型来刻画金融资产的价格波动行为。自恩格尔提出ARCH模型以来，虽然只有近20多年的历史，但是ARCH模型迄今为止已发展成为一系列模型，其主要形式有：ARCH模型、GARCH模型、ARCH－M模型、EGARCH模型以及TARCH模型等等。如果将非平稳时间序列通过差分、滤波等方法平稳化后，就能够运用ARCH族模型、GARCH族等模型来研究。
近年来，许多以状态空间模型为框架的时间序列预测方法应运而生。1987年日本的Masanao Aok出版了有关状态空间建模的专著State Space Modeling of Time Series，开始了时间序列状态空间分析的新纪元[15]，但是有关篇幅很少，缺乏系统的理论性。对于以状态空间模型为框架的时间序列预测方法，具有代表性还有Kitagawa、Shumway以及Young P.C.等人对此方法的研究[1,3,6]。Kitagawa （1984）对时间序列的建模过程采用了向状态空间模型的转化技巧，但是无法实现对时变过程建模[1]。对于状态空间模型的参数估计，Shumway（1988）提出针对状态空间模型的参数估计方法—EM 算法（Expectation－maximination Algorithm）[2]。Young（1990）对模型的每一步都实现了完全递推形式，但是没有给出模型参数的新的估计方法[3]。状态空间模型的研究和应用还有待进一步发展。
1.3.2 国内关于非平稳时间序列建模的主要研究成果
随着统计学的发展，时间序列分析方法也得到了广泛的应用和发展，其理论也逐渐成熟起来。但是当前在国内以研究动态数据为特征的非平稳时间序列建模的研究，一直局限于传统的研究方法中。传统的非平稳时间序列建模的研究是以概率论、数理统计和频谱分析等数学方法为工具，由Box和Jenkins在1970年提出的ARIMA方法在国内已被广泛使用；对于季节调整，一般还是采用X-11方法及其改进的方法来处理；对于非平稳时间序列采用回归的方法，用线性函数、幂函数、指数函数、周期函数等函数提取时间序列的趋势项；有的研究者将灰色模型与时间序列相结合提取趋势项，然后采用组合模型的形式对非平稳时间序列进行预测；同时有关非平稳时间序列的协整理论在我国也得到了研究者们广泛的重视，特别是经济领域得到广泛应用；有的研究者将非平稳. 6
武汉理工大学硕士学位论文
时间序列转化为平稳时间序列以后，将有异方差现象的时间序列用ARCH、GARCH族来建模，在预测上也取得了较好的结果[35]。
有关非平稳时间序列的状态空间的研究方法的还很少见。中国人民大学的顾岚教授曾在自己的著作和文章中提到时间序列的状态空间的研究方法[23,25]。 2000年，大连海事大学的任光和张均东教授正式将现代控制理论的状态空间技术和时间序列分析相结合的时间序列状态空间技术引入我国[27]。他们从离散系统出发，从空间映射的角度系统地论述了整个建模过程，形成了比较完整和系统的时间序列的状态空间建模理论，归纳出了多种有效的算法，得出了许多自己的结论，并且将论述的方法应用到工程控制系统、轮机工程系统和社会经济系统等多种系统的建模之中。当前，用状态空间研究时间序列的方法正在我国统计界日益得到广泛的关注。有的研究者将时间序列状态空间方法用于时间序列的季节调整[41]，用于研究生活中的各个领域。
1.4 本文所要解决的问题
本文所要解决的问题主要有以下六个方面：
（1）对非平稳时间序列的一些传统建模方法进行分析和研究，叙述其优点和不足。
（2）用状态空间模型对非平稳时间序列建模时，首先将非平稳时间序列分解为趋势项、循环项、季节项和不规则项。参照Kitagawa和顾岚教授关于时间序列状态空间建模思路，分别建立非平稳时间序列趋势项状态空间模型、非平稳时间序列循环项状态空间模型和非平稳时间序列季节项状态空间模型，然后建立非平稳时间序列总体的状态空间模型。
（3）在模型状态估计方面，介绍卡尔曼滤波递推公式的理论依据，采用卡尔曼滤波和固定区间平滑相结合的方法对状态空间模型中的状态向量及其误差方差阵进行递推计算，并用Matlab编写出相应的程序。
（4）介绍改进的EM算法，对改进的EM算法的收敛性给出证明。
（5）在参数估计方面，提出可以采用卡尔曼滤波、固定区间平滑方法以及改进的EM算法融为一体的方法对模型参数进行迭代估计。
（6）用实例比较传统的ARIMA建模方法和本文介绍的状态空间建模方法. 7
武汉理工大学硕士学位论文
的预测效果。
本文以下部分的结构如下：第二章介绍非平稳时间序列的若干传统建模方法；第三章介绍非平稳时间序列的状态空间建模方法；第四章将传统的非平稳时间序列中的ARIMA建模方法和本文介绍的非平稳时间序列的状态空间建模方法用于我国第三产业总值的预测之中；第五章本文的结论。
. 8
武汉理工大学硕士学位论文
第2章 非平稳时间序列的若干传统建模方法
在传统的时间序列分析和回归分析中，为了保证统计推断的有效性，通常假定所给时间序列是平稳的。但大量的经验证据表明，大多数时间序列是非平稳的，往往会呈现出明显的趋势性或周期性。因此，研究非平稳时间序列建模有着重要的现实意义。下面介绍非平稳时间序列的若干传统建模方法，如ARIMA模型法、季节性模型法、X-11方法等方法。
2.1 ARIMA模型法
ARIMA模型法在国际上被誉为时间序列预测方法中一种最复杂最高级的模型方法。随着计算机的发展，ARIMA建模方法计算复杂、繁琐的难题迎刃而解，其应用范围越来越广。
ARIMA模型意为求和自回归滑动平均模型（Integrated Auto-regressive Moving Average Model），简记为ARIMA(p,d,q)，p,q分别为自回归、滑动平均部分的阶次，d为差分运算阶次，对于某些非平稳时间序列{y(t)}，其一般形式为：
ϕ(B)(1−B)dy(t)=θ(B)a(t) (2-1)
若将(1−B)dy(t)记为z(t)，则上式就是ARMA模型。
Box发现，可通过差分方法求出增量序列：
∇y(t)=y(t)−y(t−1)(t=2,3,L,N)
经过一次差分后，如果此增量序列{∇y(t)}是平稳的，那么对{∇y(t)}建立ARMA模型，表示为：
ϕ(B)∇y(t)=θ(B)a(t) (2-2)
根据差分算子∇与后移算子B的关系（∇=1−B），有
ϕ(B)(1−B)y(t)=θ(B)a(t) (2-3)
即还原得到{y(t)}的ARIMA模型。
以上对非平稳时间序列{y(t)}作一次差分称为一阶差分。将这种思路推广，当采用一阶差分还不能使{∇y(t)}成为平稳时间序列时，还可采用高阶（d阶）. 9
武汉理工大学硕士学位论文
差分，以使{∇dy(t)}成为平稳时间序列，再对{∇dy(t)}建立ARMA模型，然后根据差分算子∇与后移算子B的关系（∇=1−B），得到非平稳时间序列{y(t)}的ARIMA模型，这就是ARIMA模型法的基本思路。
一般而言，若某时间序列具有线性的趋势，则可以对其进行一次差分而将线性趋势剔除掉；若某时间序列具有指数的趋势，则可以取对数将指数趋势化为线性趋势，然后再进行差分以消除线性趋势，接着对差分后的序列拟合ARMA模型进行分析与预测，最后再通过差分的反运算得到{y(t)}的ARIMA模型。
ARIMA模型法的流程图如图2-1所示。
图2-1 ARIMA 模型法流程图
. 10