问述重题 对产总业工析分的值
摘要：随着社会的发展，对工业的投入也逐渐增加。从而使工业得到迅速的发展。某地的工业也受到影响。于是有必要对工业总产值进行研究，以下是我们对该地区工业总产值的研究。分析该地区1990年1月到1997年12月工业总产值数据，建立时间序列模型分析该地区工业总产值变化特征并且用该模型预测1997年以后该地区工业总产值。 关键字：时间 季节因子 差分 自相关与偏相关 ARIMA模型
模型假设：
某地区的工业生产总值在一段时间内保持稳步发展；
符号说明：
x：表示原时间序列；
ilx：表示时间序列x的一阶对数差分； silx：表示序列ilx的一阶季节差分；
dx,n,s：表示对序列x做差分计算。
问题重述：
下表是某地的工业总产值数据表. 年月 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月
1990 1421.4 1367.4 1719.7 1759.6 1795.7 1848.1 1637.3 1637.6 1637.6 1637.6 1637.6
1991 1757.8 1485.7 1893.9 1969.8 2033.7 2103 1836.3 1914.7 2022.2 2045.1 2069.2
1992 1984.2 1812.4 2274.7 2328.9 2373.1 2515.8 2288 2321 2441.1 2502.6 2608.8
1993 2179.1 2408.7 2869.4 2916.7 3022.1 3274.5 2862.9 2864.2 2908 2911.8 3101.3
1994 2903.3 2513.8 3409 3499.5 3642.6 3871.4 3373 3463.4 3663.74 3753.38 3973.17
1995 2996.7 2740.3 3580.9 3746.3 3817.9 4046.6 3483.9 3510.6 3703.1 3810.7 4091 4650.799
1996 3476.6 2970.3 3942.6 4067.6 4746.899 4417.299 3806.8 3746.3 4011.1 4129.6 4372.199 4991.5
1997 3843.84 3181.26 4404.49 4520.18 4638.99 4969.93 4146.899 4198.7 4536.839 4783.91 5034.939 5545.74
12月 1637.6 2136 2823.8 3664.3 4469.02 要求:1.根据数据分析当地工业总产值的变化特征.
2.根据变化特征试建立合理的模型描绘这种特征..
3.若有季节性变化,试分离出季节性变化因子,求出季节性因子. 4.对残差进行白噪声检验. 5.预测1998年的工业总产值.
问题分析：
这是一个有关时间序列的问题，我们对数据分析得到数据有明显的增长趋势且改时间序列有季节性变化，于是需要利用Eviews软件对该时间序列进行差分变换后建立平稳的时间序列模型求解及预测。
模型的的建立、求解与选择：
1.时间序列特征分析：
将数据绘制成折线图，如图1所示，序列具有明显的增长趋势，并包含有周期为12个月的季节波动。即有季节因子存在。
图2是序列自相关图。由图1和图2可知，改时间序列为非平稳时间序列。因此需要对其进行调整使之变成平稳系列在进行求解。
图1 工业生产值折线图
图2 序列自相关图
为消除趋势同时减少序列的波动，即使之变成平稳时间序列。对原序列做一阶对数差分。差分后序列名为ilx，其自相关与偏向关分析图如图3所示。
图3 序列ilx自相关-偏相关分析图
图4 序列ilx折线图
由图3，图4可见，序列的趋势基本消除，但是当k=12时，由图3知，样本的自相关系数和偏相关系数显著不为0。表明季节性还存在。因此对序列ilx做季节差分，得到新序列silx。为检验模型的预测的效果，我们这将1997年的12个观测值留出，作为评价预测的精度的参照对象。建模的样本期为1990年1月至1996年12月。绘制silx自相关和偏相关分析图，如图5所示。
图5 序列silx自相关-偏相关分析图
由图5可知，序列样本自相关与偏相关系数很快落入随即区间，故序列趋势已基本消除，并且当k=12时，自相关与偏相关系数也明显减小。偏相关系数与0无显著差别。
图5中自相关系数与0有显著性差别。我们对序列做二阶差分。查分后的得到新序列ssilx。如图6所示。
图6 序列ssilx自相关-偏相关分析图
由图6可见, 序列样本自相关与偏相关系数很快落入随即区间，故序列趋势已基本消除，并且当k=12时，自相关与偏相关系数没有减小,反而增大。对序列进行二阶差分，序列季节性没有得到明显改善。故对该序列只需要
做阶一差分即可。
对系列silx进行0均值检验的结果如下：
得到该系列样本的平均数是m=-0.[1**********]463，均值标准误差s=0.[1**********]182，系列均值与0无显著性的差异，表明系列可以直接建立ARMA模型。
2.模型识别
因为经过一阶逐期差分，序列趋势消除，故d=1；经过一阶季节差分，季节性基本消除，故D=1.所以选用ARIMAM模型。取自然对术后的工业总产值序列为ilx。观察序列silx的偏相关图，如图4所示，p=2或3比较合适；自相关图显示q=1。考虑到AR模型是线性方程估计你，相对于MA和ARMA模型的非线性估计容易，参数意义也便于解释。故实际建模时用高阶AR模型替换相应的MA和ARMA模型。综上考虑，可供选择的（p ,q）组合有：（2，1），（3，0），（3，1），（4，0）。由于k=12时，样本的自相关和偏相关系数都不为0，所以，P=Q=1。 3.模型的建立
为了方便直接对原序列x进行预测，Eviews提供了差分算子 d（x，n，s）=（1-B）^n（1-B^S）x
表明序列x做n次一阶逐期差分和一次步长为s的季节差分后的新序列。采用菜单式建立ARIMA(2,1,1) (1,1,1)^12模型。Eviews软件计算的结果如下：其中，sar(s)和sma(s)分别表示季节自回归部分和季节移动平均部分变量。
表1 模型参数估计与相关检验的结果
Dependent Variable: D(LOG(X),1,12)
Method: Least Squares Sample (adjusted): 1992M04 1997M12 Included observations: 69 after adjustments Convergence achieved after 29 iterations MA Backcast: 1991M03 1992M03 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic AR(1) 0.132083 0.263084 0.502057 AR(2) -0.027591 0.171315 -0.161056 SAR(12) 0.123424 0.112501 1.097092 MA(1) -0.634183 0.230928 -2.746236 SMA(12) -0.899465 0.035052 -25.66094
R-squared 0.580257 Mean dependent var
Adjusted R-squared 0.554023 S.D. dependent var S.E. of regression 0.044841 Akaike info criterion Sum squared resid 0.128683 Schwarz criterion Log likelihood 118.9088 Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat 2.022334
Inverted AR Roots .84 .73+.42i .73-.42i .42+.73i .07+.15i .07-.15i -.00-.84i -.42-.73i -.42+.73i -.73+.42i -.84
Inverted MA Roots .99 .86+.50i .86-.50i
.50+.86i .50-.86i -.00-.99i
Prob. 0.6174 0.8726 0.2767 0.0078 0.0000
-0.001129 0.067145 -3.301705 -3.139814 -3.237477
.42-.73i .00+.84i -.73-.42i
.63 -.00+.99i
-.50-.86i -.50+.86i
-.99 -.86+.50i
-.86-.50i
由表1可见，各滞后多项式的倒数根都在单位圆内，说明这个过程既是平稳的，也是可逆的。为了检验的预测效果，现在用ARIMA(2,1,1) (1,1,1)^12模型对我国1997年工业总产值进行预测，预测的结果如下：
图7 预测值与真实值对比图
图7 预测值与真实值对比图，预测精度MAPE为6. 375371.同理可建立ARIMA(3,1,1) (1 1 1 )模型。 计算及预测的结果如下：
表2 模型参数估计与相关检验的结果
Dependent Variable: D(LOG(X),1,12)
Method: Least Squares Sample (adjusted): 1992M05 1997M12 Included observations: 68 after adjustments Convergence achieved after 52 iterations MA Backcast: 1991M04 1992M04
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) -0.032683 0.362563 -0.090143 0.9285 AR(2) -0.111936 0.200025 -0.559610 0.5778 AR(3) -0.149563 0.164816 -0.907458 0.3677 SAR(12) 0.092274 0.116291 0.793479 0.4305 MA(1) -0.462060 0.355712 -1.298971 0.1988 SMA(12) -0.898063 0.035640 -25.19800 0.0000
R-squared 0.584722 Mean dependent var -0.000914
Adjusted R-squared 0.551232 S.D. dependent var 0.067620 S.E. of regression 0.045299 Akaike info criterion -3.266967 Sum squared resid 0.127224 Schwarz criterion -3.071129
预测
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Inverted AR Roots
Inverted MA Roots
117.0769 Hannan-Quinn criter. 2.028336 .82 .71+.41i .71-.41i
.41-.71i .22-.52i .22+.52i -.00+.82i -.41+.71i -.41-.71i -.71-.41i -.71+.41i -.82 .99 .86+.50i .86-.50i .50-.86i .46 -.00-.99i -.50-.86i -.50+.86i -.86+.50i -.99
-3.189370
.41+.71i .00-.82i -.47 .50+.86i -.00+.99i -.86-.50i
图8 预测值与真实值对比图
用ls命令建立ARMA(4,1,0) (1 1 1 )模型。计算结果如下表：
表3 模型参数估计与相关检验的结果
Dependent Variable: D(LOG(X),1,12) Method: Least Squares Included observations: 67 after adjustments Convergence achieved after 16 iterations MA Backcast: 1991M06 1992M05
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) -0.489781 0.129874 -3.771211 0.0004 AR(2) -0.341285 0.136957 -2.491916 0.0154 AR(3) -0.306174 0.136660 -2.240414 0.0287 AR(4) -0.156441 0.126458 -1.237096 0.2208 SAR(12) 0.074175 0.117133 0.633252 0.5289 MA(12) -0.897866 0.037401 -24.00618 0.0000
R-squared 0.583091 Mean dependent var -0.000732
Adjusted R-squared 0.548918 S.D. dependent var 0.068114
S.E. of regression 0.045747 Akaike info criterion -3.246091 Sum squared resid 0.127661 Schwarz criterion -3.048656 Log likelihood 114.7440 Hannan-Quinn criter. -3.167965 Durbin-Watson stat 2.042395
Inverted AR Roots .81 .70+.40i .70-.40i .40-.70i .40+.70i .24+.65i .24-.65i .00+.81i -.00-.81i -.40+.70i -.40-.70i -.48-.30i -.48+.30i -.70-.40i -.70+.40i -.81
Inverted MA Roots .99 .86-.50i .86+.50i .50-.86i
.50+.86i .00+.99i -.00-.99i -.50+.86i -.50-.86i -.86+.50i -.86-.50i -.99 由表3可见，各滞后多项式的倒数根都在单位圆内，说明这个过程既是平稳的，也是可逆的。为了检验的预测效果，现在用ARIMA(4,1,0) (1,1,1)^12模型对我国1997年工业总产值进行预测，预测的结果如下：
图9 预测值与真实值对比图
图9 预测值与真实值对比图，预测精度MAPE为6.030994.同理。我们建立ARIMA(3,1,0) (1,1,1)^12
模型并对其进行预测。
Dependent Variable: D(LOG(X),1,12)
Method: Least Squares Sample (adjusted): 1992M05 1997M12 Included observations: 68 after adjustments Convergence achieved after 16 iterations MA Backcast: 1991M05 1992M04
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) -0.464949 0.126085 -3.687597 0.0005 AR(2) -0.283987 0.132992 -2.135366 0.0366 AR(3) -0.221553 0.123615 -1.792280 0.0779 SAR(12) 0.117548 0.117145 1.003439 0.3195 MA(12) -0.893729 0.037936 -23.55881 0.0000
R-squared 0.571049 Mean dependent var -0.000914
Adjusted R-squared 0.543814 S.D. dependent var 0.067620
S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood
Durbin-Watson stat
Inverted AR Roots
Inverted MA Roots
0.045672 Akaike info criterion 0.131413 Schwarz criterion 115.9755 Hannan-Quinn criter. 2.101170 .84 .72+.42i .72-.42i
.42+.72i .07+.60i .07-.60i -.00+.84i -.42+.72i -.42-.72i -.72-.42i -.72+.42i -.84 .99 .86+.50i .86-.50i .50+.86i .00-.99i -.00+.99i -.50+.86i -.86-.50i -.86+.50i
-3.263985
-3.100785 -3.199320
.42-.72i .00-.84i -.60 .50-.86i -.50-.86i -.99
计算的结果显示ARIMA(2,1,1) (1,1,1)^12模型拟合的结果明显不如其他三个模型，故不予考虑。我们利用ARIMA(3,1,0) (1,1,1)^12模型进行预测。结果如下：
图10 预测值与真实值对比图
图10 预测值与真实值对比图，预测精度MAPE为5.90187. 4.模型的选择
三个模型的参数估计和相关检验汇总列入表4和表5.
表4 各种模型的参数估计
表5 各模型检验的结果
与俩个模型相比，第三个模型的AIC和SC值较小，预测的MAPE值显示其预测的精度最高。（MAPE的取值范围在0-5之间精度极高，在10以内说明预测精度高）。虽然调整后的样本决定系数略小于前两个模型，胆预测模型的选择应力求简洁、有效，因而选择第三个模型即
ARIMA(3,1,0) (1,1,1)^12模型比较合适。
模型的检验：
残差序列自相关的LM检验：
我们建立的ARIMA(3,1,0) (1,1,1)^12模型虽然是适宜的。一般地，当非条件残差t存在自相关时，有可能使得一期提前误差t成为白噪声。因此我们需要对序列进行自相关检验。 检验假设为：
H0：残差序列不存在小（等）于2阶的自相关
H1：存在ARMA(r，0)形式的误差项
检验的结果如下：
表6 模型残差二阶自相关检验的结果
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic 1.520463 Prob. F(2,61)
Obs*R-squared 3.128650 Prob. Chi-Square(2)
0.2268 0.2092
由于LM统计量的取值为3.13，检验的相伴概率为0.21大于置信度0.05.所以不能拒接原假设，故残差序列不存在二阶自相关。故期提前吴差t不会成为白噪声。即模型的建立是比较合理的。我们可以用该模型对1997年以后的工业生产总值进行预测。
模型的预测与评价： 模型预测：
综上所述，我们可以用ARIMA(3,1,0) (1,1,1)^12模型对1998年工业生产总值进行预测。其预测的结
果如下：
表7 我国工业生产总值预测的结果
我们建立、选择的模型ARIMA(3,1,0) (1,1,1)^12总体来说还是比价合理的。但由于数据量不是很大可
能导致拟合效果不是很好，从而导致用该模型作预测是误差大，预测的精度不是很高。总体来说该模型还是不错的。
参考文献
【1】姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社 2003
【2】 易丹辉, 数据分析与Eviews应用，中国人民大学出版社