2.1-2.2线性系统的微分方程(1)

2 控制系统的数学模型

1

一些基本概念

模型：基于对系统的知识所建立的关于 系统某一方面属性的描述。 数学模型：描述系统内部物理量（或变 量）之间关系的数学表达式。 方法：机理建模法 实验建模法



2

控制系统的分类-按数学模型进 行分类





集中参数系统 分布参数系统 线性系统 非线性系统 线性定常系统 线性时变系统

3

 

 

补充解释--叠加原理



线性系统满足叠加原理

叠加原理有两重含义： 齐次性和可叠加性。

4

x

1、齐次性

system

y

已知 x —> y 如果 ax —> ay (a为常数) 即输入信号的数值增大若干倍，其输出亦相 应增大同样的倍数，则称系统满足齐次性。

2、可叠加性

已知 x1 —> y1，x2 —> y2 如果 x1+x2 —> y1+y2 几个输入信号同时作用于系统所产生的总输 出，等于每个输入信号单独作用于系统时分别产生 的输出之和，则称系统满足可叠加性。

叠加原理的意义和作用

对线性系统进行分析和设计时，根据线性系统的 叠加原理，可以把复杂的问题简单化： 1、如果有几个外作用同时作用于系统时，可以依次求 出各个外作用单独作用于系统时的输出，然后叠加得 到总输出； 2、每个外作用在数值上可以只取单位值； 3、系统的全响应分为零输入响应和零状态响应，可以 分别进行分析和求解；



 

返回

6

线性关系





一般地说，令f代表某种数学操作，如关 系、变换、运算、方程或其他，x为数学 操作的对象，f（x）表示对x施行操作f。 如果f(x)满足加和性与齐次性则称操作f 为线性的。 对于控制系统，x对应于输入，f对应于 系统，f（x）为输出

7

加和性和齐次性



加和性 f ( x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 ) 齐次性

f (kx)  kf ( x)



8

线性系统





能够用线性数学模型(线性的代数方程、 微分方程、差分方程等)描述的系统，称 为线性系统。这类系统的基本特性，即 输出响应特性、状态响应特性、状态转 移特性等均满足线性关系。 对于控制系统而言，由线性元件构成的 系统为线性系统，其运动方程一般为线 性微分方程。若其各项系数为常数，则 称为线性定常系统。

9

10

建立系统或元件的微分方程



列写元件微分方程的基本步骤

确定输入 输出量

根据机理

列写相应微 分方程

消去中间变量

标准形式

整理

微分方程

11

标准形式







  

输出量 及其各阶导数列写在方程式左端； 输出项的系数为1； 输入项及其各阶导数项列写在方程式右 端； 按导数阶数降序排序排列。 一阶导数前面的系数为时间； 二阶导数前面的系数为时间的平方； 三阶导数前面的系数为时间的立

方；

12

例2-1 设一弹簧、质量块、阻尼器组成 的系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时， 系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块 的位移y(t)之间的微分方程。

F(t) m y(t) k

f

13

解：在外力作用下，如果弹簧恢复力和阻尼器阻力与 F(t)不能平衡，则质量块将产生加速运动，其速度和 位移发生变化。根据牛顿定律有:

F (t )  F1 (t )  F2 (t )  m d 2 y (t ) dt 2

式中，F1(t)为阻尼器的阻力，F2(t)为弹簧恢复力， 它们的方向均与位移的方向相反。 由弹簧、阻尼器的特性可得：

dy (t ) F 1 (t )   B dt

F2(t)=–ky(t) 式中 B —阻尼系数, k —弹性系数

由以上所列方程中消去中间变量得：

令T 

T

2

m B 1 ,  , K  则有 k k 2 mk

dy(t )  2T  y (t )  KF (t ) dt

d 2 y (t ) dt

2

式中，T为时间常数，为阻尼比，K为比例系数。



R-L-C电路

R L ur  t  C uc  t 

16



设回路电流为i  t  ,由克希霍夫定律写出回路方 程为：

di t  L  Ri t   uc t   u r t  dt duc t  i t   C dt 消去中间变量i  t  ，得到描述网络输入输出关



系的微分方程为 d 2uc (t ) duc (t ) LC  RC  uc (t )  ur (t ) 2 dt dt

17

例2-2 设RC电路如图所示，若以电压ur为输入， 电压uc为输出，试写出该电路的微分方程。

R1

R2

ur

i1

i2

uc C2

C1

18

解：设回路电流i1、i2如图中所示， 从输入端开始，按信号传递顺序写出各 变量间的微分方程式如下：

ur  R1i1  uc1 duc1 C1  (i1  i2 ) dt uc1  R2 i2  uc C2 duc  i2 dt

19

由所得方程组消去中间变量得：

d 2uc du c R1 C1 R2 C 2 2  ( R1C1  R2 C 2  R1C 2 )  uc  ur dt dt

令 T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2则有：

T1T2 d 2uc dt 2 du c  (T1  T2  T3 )  uc  ur dt

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注意 整个电路虽然是由两个 RC 电路所 组成，但不能把它看作是两个独立的RC 电路的连接。因为第二级电路的 i2要影 响第一级电路的uc1，列写方程式应考虑 这个影响。这种后一级对前一级的影响 叫做负载效应。存在负载效应时，必须 把全部元件作为整体来加以考虑。

21

本例若不考虑负载效应时，有：

第一级 第二级 R1C1 R2 C 2 du c1  u c1  u r dt du c  u c  u c1 dt

消去中间变量得：

或

d 2uc du c R1C1 R2 C 2  ( R C  R C )  uc  ur 1 1 2 2 2 dt dt 2 d uc du c T1T2  (T1  T2 )  uc  ur 2 dt dt

22

显然，与前面得到的结果不同。

例2-3 设电枢控制的他励直流电动机如图所示， 若以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角θm为输出量， 试写出该电动机的微分方程。

La Ra

+

ia

ua Eb

f

m

ML

if

-

解：图中，if为固定的励磁电流，端电压ua ，电枢电流 ia，电磁转矩Mm，电枢反电势Eb，Ra、La 分

别为电枢电 阻和电感，f为电机上的粘性摩擦系数，ML为负载转矩。

由输入端开始，按照信号传递顺序列写方程：

di a u a  R a i a  La  Eb dt d m Eb  K b dt M m  C m ia Mm d m d m J  f  Ml 2 dt dt

2

式中 Kb为电动机反电势系数，Cm为电动机力矩系数， J为电动机转动惯量。

消去中间变量ia，Eb，Mm，可得到表示ua、 θm及ML之间关 系的微分方程：

d 3 m d 2 m d m dM L JLa 3  ( JRa  fLa ) 2  ( fRa  Cm Kb ) Cmua  Ra M L  La dt dt dt dt

d m 若以电机转速   dt

为输出量,则上式可改写为

d 2 d JLa 2  ( JRa  fLa )  ( fRa  Cm K b )  dt dt dM L Cmua  Ra M L  La dt

上式中各量纲是：[La]=亨，[Ra]=欧，[Kb]=伏/ 弧度/秒， []=弧度/秒，[Ua]=伏，[ia]=安，[ML]公斤米， [Cm]=公斤米/安，[f]=公斤米/弧度/秒，[J]= 公斤米秒 以上二式分别是以转角和转速为输出量的电 动机的动态方程。

26

考虑到电机中的La一般较小，可以忽略不计，上两式 可简化为：

JRa d 2 m dt 2 d JRa  ( fR a  C m K b )  C m u a  R a M L dt d m  ( fR a  C m K b )  C m u a  Ra M L dt

若在以上二式中令 Tm=JRa/(fRa+CmKb)[秒]， Km＝Cm/(fRa+CmKb)[弧度/秒伏]，并设ML=0,则

Tm Tm

d m

2

dt 2 d    K mua dt

d m   K mua dt

列写微分方程要注意： 确切反映系统的动态性能，忽略次要因素， 简化分析计算。 在一般情况下，描述线性定常系统的微分方程为

an d n c(t ) dt

n

 a n 1

d n 1c(t ) dt n 1

dc(t )    a1  a 0 c(t ) dt dr (t )    b1  b0 r (t ) dt

 bm

d m r (t ) dt

m

 bm 1

d m 1 r (t ) dt m 1

C(t)为输出量，r(t)为输入量，所有系数为实常数。 对实际系统有nm。

28

例2-4 液位流体过程



如图所示为一液位系统，其中 Q1 为流入 Q2 为流出量，h为液位高度，C为水 量， 箱的截面积。若系统输出为液位高度h， 系统输入为 Q1 ，试写出输入输出的微分 方程。

29

  

系统输入为：Q1 系统输出为：h 按照系统信号流向，可以得到下式：

dV dh Q1  Q2  C dt dt

30



由阀门的物理特性可以得到下式：

Q2   2 gp



k h



力差与液位h成正比，g为重力加速度，  为液体密度，  为流体系数。对于每 一种特定液体，k为常数。

31

p 为阀门2前后的压力差，显然这个压



消去中间变量 Q2 ，则有：

dh C  k h  Q1 dt



上式为一个一阶非线性微分方程。

32

2.2.2 非线性数学模型的线性化

在一定的条件下或在一定 范围内把非线性的数学模型化 为线性模型的处理方法称为非 线性数学模型的线性化。 线性化的方法有很多种， 例如图所示的具

有饱和特性的 放大器，在小信号输入时，输 入与输出的关系是线性的，可 视为线性元件。

(a)饱和

图2-4 非线性特性

33

小偏差法、切线法、小信号法

此外，在工程实践中，控制系统都有一个额 定工作状态和工作点，当变量在工作点附近作 小范围的变化,且变量在给定的区域间有各阶导 数时，便可在给定工作点的邻域将非线性函数 展开为泰勒级数，忽略泰勒级数中高阶无穷小 项后，就可得到只包含偏差的一次项的线性方 程。这种线性化方法称为小偏差法。

34

例如，设非线性函数y=f(x)如图所 示，其输入量为x，输出量为y，如 果在给定工作点y0 =f(x0)处各阶导 数均存在， 则在y0=f(x0)附近将y展开 成泰勒级数：

y  f ( x)

y y0

(

f ) x0 x

y=f(x)

小偏差线性化示意图

x0

x

1   2 f ( x)   f ( x)  2  f ( x0 )   ( x  x )  ( x  x )     0 0  2 2!   x  x0  x  x

0

35

如果偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高 阶无穷小项，上式可写为：

 f ( x)  y  f ( x)  f ( x 0 )   ( x  x0 )   x  x0  f ( x)  y  y  y 0  f ( x)  f ( x 0 )   ( x  x 0 )  Kx   x  x0

 f ( x)  式中 K     x  x0

K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线的斜率。因 此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程 线性化。

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在处理线性化问题时，需要注意以下几点：

1.上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的， 工作点不同，得到的线性化方程的系数也将不同。 因此在线性化时必须确定元件的工作点。

2.在线性化过程中，略去了泰勒级数中二阶以 上的无穷小项，如果实际系统中输入量变化范 围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会 带来较大的误差。

37

3.如果描述非线性特性的函数具有间断点、 折断点或非单值关系而无法作线性化处 理时，则控制系统只能应用非线性理论 来研究。此时的非线性称为本质非线性。

4.线性化后的微分方程通常是增量方程，在实 用上为了简便通常直接采用y和x来表示增量。

38