勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之 一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之 一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有 400 种证明方法，是数 学定理中证明方法最多的定理之一。
文字表述： 在任何一 中， 两条直角边的长 的平方 （也可以理解 最短边的平方相等） 。 数学表达： 如果直角 为 a， b， 斜边长为 c，
个的直角三角形（Rt△） 度的平方和等于斜边长度 成两个长边的平方相减与 三角形的两直角边长分别 那么 。
某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图 5 所示， ∠ACB＝90°，AC＝80 米，BC＝60 米，若线段 CD 是一条小渠，且 D 点 在边 AB 上，已知水渠的造价为 10 元/米，问 D 点在距 A 点多远处时，
水渠的造价最低？最低造价是多少？ 解：当 CD 为斜边上的高时，CD 最短，从而水渠造价最低.因为 CD·AB ＝AC·BC ，所以 CD＝48 米，所以 AD＝64 米.所以，D 点在距 A 点 64 米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为 480 元.
常见的勾股数有： 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 13 84 85 15112113 8，15，17 12，35，37 20，21，29 48，55，73 60，91，109 20，99，101
画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中 a、b 为直角 边，c 为斜边。这两个正方形全等， 故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等 的三角形， 左右四个三角形面积之和必相等。 从左右两图 中都把四个三角形去掉， 图形剩下部分的面积必相等。 左 图剩下两个正方形，分别以 a、b 为边。右图剩下以 c 为 边的正方形。于是 a2+b2=c2。