§2 第二型曲线积分
教学目的 掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学要求
(1)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别．
(2)了解两类曲线积分的联系． 教学建议
(1) 要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式．
(2) 两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方面习题. 教学程序
一、第二型曲线积分的定义:
（一）、力场(x , y ) =(P (x , y ) , Q (x , y ) )沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功:
一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C 运动, 当质点从C 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力F(x,y)所做功W.
大家知道, 如果质点受常力 F的作用沿直线运动, 位移为s. 那末这个常力所做功为 W=||F||||s||cosθ, 其中||F||.||s||分别表示向量(矢量) 的长度, θ为F 与S 的夹角.
现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲. 怎么办呢? 还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法).
为此, 我们对有向曲线C 作分割T ={A 0, A 1,....., A n -1, A n }, 即在AB 内插入
n-1个分点M 1, M 2,....., M n -1, 与A=M 0, B =M n 一起把曲线分成n 个有向小曲线段
∇Si }. M i -1M i (i=1,2,……,n), 以∆Si 记为小曲线段M i -1M i 的弧长. λ=max{
设力F(x,y)在x 轴和y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与Q(x,y),即
F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j,
由于M i -1(x i -1, y i -1). M i (x i , y i ), 记∆x i =x i -x i -1, ∆y i =y i -y i -1和C m i -1=((∆x , ∆y ) )
i
从而力F(x,y)在小曲线段M i -1M i 上所作的功
W i ≈F (ξ, ηi ) C m i -1= P(ξi , ηj ) ∆x i +Q (ξi , ηj ) ∆y i ,
i
其中(ξi , ηj ) 为小曲线段M i -1M i 上任一点, 于是力F 沿C(AB)所作的功可近似
W i =∑W i ≈∑(P (S i , ηi )) ∆x i +∑Q (s i , ηi ) ∆y i
i =1
i =1
i =1
n n n
当λ→0时, 右端积分和式的极限就是所求的功, 这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限, 得
W =⎰⋂⋅(dx , dy ) , 即 W =⎰⋅.
AB
L
（二）、稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).
设有流速场(x , y ) =(P (x , y ) , Q (x , y ) ). 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的流量E . 通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为
⎰
AB
dE =⎰P (x , y ) dy -Q (x , y ) dx .
AB
（三）、第二型曲线积分的定义: 设P,Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线C 上的函数, 对任一分割T, 它把C 分成n 个小弧段M i -1M i ,I=1,2,3,……,n;
∇Si }, ∆x i =x i -x i -1, ∆y i =y i -y i -1 , 记M i (x i , y i ) , M i -1M i 弧长为∆s i , λ=max{
I=1,2,3,……,n. 又设 (ξi , ηj ) ∈ M i -1M i , 若极限
lim ∑p (ξi , ηi ) . ∆xi +lim∑Q (ξi , ηi ) . ∆yi
i =1
i =1
n
n
存在且与分割T 与界点(ξi , ηj ) 的取法无关, 则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分, 记为⎰Pds +Qdy 或
c c
c
AB
⎰
Pds +Qdy , 也可以记为
⎰Pdx +⎰Qdy 或 ⎰
Pds +
AB AB
⎰
Qdy .
注:(1)若记f(x,y)= (P(x,y),Q(x,y)) ,ds=(dx,dy)
则上述记号可写成向量形式:⎰fds
c
(2)倘若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的
函数, 则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分, 并记为
⎰fds =⎰
c
c
P (x , y , z ) dx +Q (x , y , z ) dy +R (x , y , z ) dz .
按这一定义 , 有力场(x , y ) =(P (x , y ) , Q (x , y ) )沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为W =⎰Pdx +Qdy . 流速场(x , y ) =(P (x , y ) , Q (x , y ) )在单位时间内
AB
通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为E =⎰Pdy -Qdx .
AB
第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有
⎰
AB
=-⎰
BA
,
因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.
可类似地考虑空间力场F (x , y , z ) =(P (x , y , z ) , Q (x , y , z ) , R (x , y , z ) )沿空间曲线AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分
⎰
AB
P (x , y , z ) dx +Q (x , y , z ) dy +R (x , y , z ) dz .
（四）、第二型曲线积分的性质:
第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R ) 积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.
(1)线性性 设C 为有向曲线, ⎰fds , ⎰gds 存在, 则
c
c
∀α, β∈R , 则⎰(αf +βf ) ds 存在, 且⎰(αf +βf ) ds =α⎰fds +β⎰gds .
c
c
c
c
(2)可加性:设⎰fds 存在, C =C 1⋃C 2, ⇒⎰fds , ⎰fds 存在, 且
c
c 1
c 2
⎰fds =⎰
c
c 1
fds +⎰fds .
c 2
注: (1)平面上光滑闭曲线如何规定方向呢? 此时无所谓”起点””终点”, 若为封闭有向线段, 则记为fds
c
(2) 设C -是C 的反向曲线(即C -和C 方向相反), 则⎰fds =-⎰fds
c
c
即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关(注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘机, 它与曲线C 的方向无关), 这是两种类型曲线积分的一个重要差别.
二、第二型曲线积分的计算:
曲线的自然方向: 设曲线L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.
α≤t ≤β. 设L 为光滑或按段光滑曲线 , L : x =ϕ(t ) , y =ψ(t ) ,
A (ϕ(α) , ψ(α) ), B (ϕ(β) , ψ(β) ); 函数P (x , y ) 和Q (x , y ) 在L 上连续, 则沿L 的自然方向( 即从点A 到点B 的方向) 有
⎰
L
P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =⎰[P (ϕ(t ) , ψ(t ) )ϕ'(t ) +Q (ϕ(t ) , ψ(t ) )ψ'(t ) ]dt .
α
β
(证略)
注：起点参数值作下限，终点参数值作上限． 例1 计算L
⎰xydx +(y -x )dy
, 其中L 分别沿以下路线从点A (1, 1)到点B (2, 3),
ⅰ）直线AB ；
ⅱ）抛物线ACB ：y =2(x -1)+1；
2
ⅲ）三角形周界ADBA ． 解
⎧x =1+t ,
t ∈[0, 1]⎨
ⅰ）直线AB :⎩y =1+2t , ，
1
故AB
⎰xydx +(y -x )dy ⎰[(1+t )(1+2t )+2t ]dt
=0
2
25=6．
ⅱ）抛物线ACB ：y =2(x -1)+1，1≤x ≤2，
ACB
⎰xydx +(y -x )dy
=0
⎰{x [2(x -1)+1]+[2(x -1)
2
1
2
+1-x 4(x -1)dx 10
=3．
]}
ⅲ）三角形周界ADBA ：
ADBA 2
⎰xydx +(y -x )dy ⎰xydx +(y -x )dy ⎰xydx +(y -x )dy ⎰xydx +(y -x )dy
=AD
+DB +Ba
=1
⎰xdx
+1
⎰(y -2)dy ⎰[(1+t )(1+2t )+2t ]dt
+1
3
3-258+0+-
6=3． =2
注：这里沿不同路径积分值不同，而沿封闭曲线的值不为0．
例2计算L
O 到B ：
⎰xdy +ydx
，这里L ：ⅰ）沿抛物线从
I ） 沿抛物线y =2x 2； ⅱ）沿直线段O B ：y =2x ； ⅲ）沿封闭曲线OABO ．
解 ⅰ）沿抛物线从O 到B ：L
⎰xdy +ydx
=0
⎰[x (4x )+2x ]dx
2
1
=2．
ⅱ）沿直线段O B ：y =2x ，L 注：这里不同路径积分值相同 ⅲ）沿封闭曲线OABO ：
⎰xdy +ydx ⎰(2x +2x )dx
=0
1
=2．
xdy +ydx ⎰xdy +ydx ⎰xdy +ydx ⎰xdy +ydx
L
=OA +AB +BO
=0+2+(-2)=0．
注：由于这里不同路径积分值相同，造成沿封闭曲线的值为0。 空间曲线时有：
设有空间光滑曲线L ：
⎧x =x (t ), ⎪
⎨y =y (t ), ⎪z =z (t ), ⎩
t ∈[α, β]
起点为(x (α), y (α), z (α))，终点为
(x (β), y (β), z (β))则有：
L
β
⎰Pdx +Qdy +Rzy
=
[P (x (t ), y (t ), z (t ))x '(t )+Q (x (t ), y (t ), z (t ))y '(t )+R (x (t ), y (t ), z (t ))z '(t )]dt ⎰α
2
()xydx +x +y dy +x dz ⎰
．
注：仍为起点参数作下限，终点参数作上限． 例3 计算第二型曲线积分L
，L 是螺旋线：x =a cos t ，
y =a sin t ，z =bt 从t =0到t =π上的一段。
解 L
⎰xydx +(x +y )dy +x dz
2
π
=0
⎰(-a
3
cos t sin 2t +a 2cos 2t -a 2sin t cos t +a 2b cos 2t dt
)
12
a (1+b )π=2．
例4 求力F (y , -x , x +y +z )作用下ⅰ）质点由A 沿螺旋线 L 1 到B 所做的功，其中L 1：x =a cos t ，y =a sin t ，z =bt ，0≤t ≤2π, ⅱ）质点由A 沿直线 L 2 到
B 所做的功.
解 ⅰ）W =L
2π
⎰ydx -xdy +(x +y +z )dz
2
=
⎰(-a
sin 2t -a 2cos 2t +ab cos t +ab sin t +b 2t dt
)
22
=2ππb -a ．
()
ⅱ）W =L
2π
⎰ydx -xdy +(x +y +z )dz
=2πb (a +πb )．
=
⎰(a +t )dt
注：这里不同路径积分值不同． 作业 教材208页: 1—3.