第三章 分式
§3.1 分式（一）
教学目标
（一）知识认知要求
1. 在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.
2. 了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.
3. 掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.
（二）能力训练要求
1. 能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养符号感.
2. 培养学生认识特殊与一般的辩证关系.
（三）情感与价值观要求
通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心.
教学重点
1. 了解分式的形式（A 、B 是整式），并理解分式概念中的一个特点：分母中含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零.
2. 掌握分式基本性质的内容，并有意识地运用它化简分式.
教学难点
1. 分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不能为零.
2. 分子分母进行约分.
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
我们先试着解答下面的问题：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务. 原计划每月固沙造林多少公顷？
这一问题中有哪些等量关系？
如果原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月.
根据题意，可得方程____________.
根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间. （1）这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数. （2）如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？
因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间. 题中的工作量是已知的. 因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x 公顷.
（教师可巡视同学们回答问题情况）. 原计划完成一期工程需
实际完成一期工程需c A B 2400个月， x 2400个月， x -30
根据等量关系（1）可列出方程：
24002400+4=. x -30x
思考：如何用等量关系（2）设未知数，列方程呢？
因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间. 不妨设原计划x 个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x －4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为[**************]0公顷，实际每月固沙造林公顷，根据题意可得方程. +30=x x -4x x -4
同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？ 像[1**********]0, , 这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出x x -4x -30
现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.
从现在开始我们就来研究分式，相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性，不久的将来，一定会很迅速准确解出上面两个方程.
二．讲授新课
1. 通过实例理解分式的意义及分式与整式的区别.
下面我们再来看几个问题：做一做
（1）正n 边形的每个内角为__________度.
（2）一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m k g ，箱子的质量为n k g ，则每千克苹果的售价是多少元？
（3）有两块棉田，有一块x 公顷，收棉花m 千克，第二块y 公顷，收棉花n 千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？
（4）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a 元，现降价x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b 元. 降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？
(n -2) ⋅180︒a ; （2）元； m -n n
mx +ny b （3）千克；（4）册 x +y a -x （1）
我们再来看议一议 上面问题中出现了代数式[1**********]0(n -2) ⋅180︒a mx +ny b , , , , , , ，它们有什么共x x +30x -4n m -n x +y a -x
同特征？它们与整式有什么不同？（分组讨论后回答）
上面的几个代数式的共同特征：
（1）它们都是由分子、分母与分数线构成；（2）分母中都含有字母.
它们与整式的不同点就在于它们的分母中都含有字母，而整式的分母中不含有字母. 例如：x x -2y 它们都含有分母，但分母中不含字母，所以它们是整式. , 904
A A 的形式. 如果除式B 中含有字母，那么称为分式，B B 下面我们给出这种代数式即分式的概念： 整式A 除以整式B ，可以表示成
其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母.
分式中，字母可以取任意实数吗？
不可以. 因为分式中分母含有字母，而分母是除式，不能为零. 字母的取值就受到制约即字母的取值不能使分母为零，否则，分式就会无意义.
2. 例题讲解
想一想
（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？5x －7,3x 2－1, b -3m (n +p ) , , －2a +17
4x 2-xy +y 225, , , . 75b +c 2x -1
（2）①当a =1，2时，分别求分式
②当a 为何值时，分式a +1的值. 2a a +1有意义？ 2a
a +1③当a 为何值时，分式的值为零？ 2a
m (n +p ) 2b -3x 2-xy +y 2
（1）中5x －7,3x －1, , －5, 是整式；, , 772a +12x -12
4是分式. 5b +c
a +11+1==1; 2a 2⨯1
a +12+13当a =2时，==. 2a 2⨯24（2）解：①当a =1时，
②当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
由分母2a =0，得a =0.
所以，当a 取零以外的任何实数时，分式a +1有意义. 2a
③分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零. 因此a 的取值
⎧2a ≠0有两个要求：⎨ a +1=0⎩
所以，当a =－1时，分母不为零，分子为零，分式
三、随堂练习
巩固分式的概念，讨论分式有意义的条件限制.
1. 当x 取什么值时，下列分式有意义？
（1）a +1为零. 2a 812；（2）2; （3）2 x -1x -9x +1
分析：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
2. 把甲、乙两种饮料按质量比x ∶y 混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制1 kg 这种混合饮料需多少甲种饮料？
四. 课时小结
通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）
五. 课后作业 习题3.1. 第1、2、3题.
六. 活动与探究
+1x 3+x +1已知x =, 求的值 x 52
直接代入求值，显然很麻烦，由已知 x =
所以（2x －1）2=5,x 2－x －1=0即x 2=x +1. 5+1，得2x =+1,2x －1=. 2
x 3+x +1我们利用x =x +1可以使降次从而求出它的值. ［结果］ 5x 2
x 3+x +1x 3+(x +1) x 3+x 2x 2(x +1) x +1x 212-1=======. =3532553x x x x ⋅x x x x +12