2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A , B , C , D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的. 将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，把x -[x ]称为x 的小数部分.
已知t =的小数部分，b 是-t 的小数部分，则
，a 是t 11
-= （ ） 2b a
A .
1 B
. C . 1 D
. 2 2. 三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书
30本，那么不同的购书方案有 （ ）
A . 9种 B . 10种 C . 11种 D . 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”. 如：2=13-(-1) 3,26=33-13, 2和26均为“和谐数”. 那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）
A . 6858 B . 6860 C . 9260 D . 9262 3(B）. 已知二次函数y =ax +bx +1(a ≠0) 的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0). 当
2
a -b 为整数时，ab = （ ）
13
A . 0 B . C . - D . -2
44
4. 已知 O 的半径OD 垂直于弦AB , 交AB 于点C ，连接AO 并延长交 O 于点E , 若
AB =8, CD =2, 则∆BCE 的面积为 （ ） A . 12 B . 15 C . 16 D . 18
5. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAC =∠BDC =
90，AB =AC =CD =1, 对角
线的交点为M ，则DM = ( )
A .
B
. 1 D .
22
C .
6. 设实数x , y , z 满足x +y +z =1, 则M =xy +2yz +3xz 的最大值为 ( )
A .
123
B . C . D . 1 234
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
（x >0）的图象x
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1. 【1(A)、2（B ）】 已知∆ABC 的顶点A 、C
在反比例函数y =
上，∠ACB =90, ∠ABC =30, AB ⊥x 轴，点B 在点A 的上方，且AB =6, 则点C 的坐标为 .
1(B). 已知∆ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把∠
BAC 三等分，
AD =则AM = 2(A). 在四边形A B C D 中，BC ∥AD , CA 平分∠B C D , O 为对角线的交点，
CD =AO , BC =OD , 则∠ABC =3. 【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .
3(B). 若质数p 、q 满足：3q -p -4=0, p +q
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知a , b 为正整数，求M =3a -ab -2b -4能取到的最小正整数值.
2
2
二、（本题满分25分）
(A ). 如图，点C 在以AB 为直径的 O 上，CD ⊥AB 于点D , 点E 在BD 上，AE =AC , 四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与 O 交于点N . 证明:FN =DE .
(B ). 已知：a +b +c =5, a 2+b 2+c 2=15, a +b +c =47. 求(a 2+ab +b 2)(b 2+bc +c 2)(c 2+ca +a 2) 的值.
3
3
3
三、（本题满分25分）
(A ). 已知正实数x , y , z 满足：xy +yz +zx ≠1 ,且
(x 2-1)(y 2-1) (y 2-1)(z 2-1) (z 2-1)(x 2-1)
++=4 .
xy yz zx
(1) 求
111
++的值. xy yz zx
(2) 证明:9(x +y )(y +z )(z +x ) ≥8xyz (xy +yz +zx ) .
(B ). 如图，在等腰∆ABC 中
, AB =AC =D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线
AD 的对称点为点E , EB 的延长线与AD 的延长线交于点F , 求AD ⋅AF 的值.
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A , B , C , D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的. 将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，把x -[x ]称为x 的小数部分.
已知t =
，a 是
t 的小数部分，b 是-t 的小数部分，则
A .
11
-= （ ） 2b a
1 B
. C . 1 D
. 2【答案】A .
【解析】 t =
=2
4,
又
∴a =t -3=1. -t =-2-2
-1, ∴-4
3,
∴b =-t -(-4) =
2111-===, 故选A . 2b a 2 2. 三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图
书30本，那么不同的购书方案有 （ ）
A . 9种 B . 10种 C . 11种 D . 12种 【答案】C .
【解析】设购买三种图书的数量分别为x , y , z , 则⎨
⎧x +y +z =30
，
10x +15y +20z =500⎩
即⎨
⎧y +z =30-x ⎧y =20-2x
，解得⎨ 依题意得，x , y , z 为自然数（非负整数），
⎩3y +4z =100-2x ⎩z =10+x
故0≤x ≤10, x 有11种可能的取值（分别为0,1,2, ,9,10) ，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C . 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”. 如：2=1-(-1) ,26=3-1, 2和26均为“和谐数”. 那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） A . 6858 B . 6860 C . 9260 D . 9262
3
3
3
3
【答案】B .
3322
⎤(2k +1) +(2k +1)(2k -1) +(2k -1) 【解析】(2k +1) -(2k -1) =[(2k +1) -(2k -1) ]⎡⎣⎦
，由2(12k 2+1) ≤2016得，k ≤9 =2(12k 2+1) （其中k 为非负整数）
∴k =0,1,2, ,8,9，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为
[1**********]
⎡⎤1-(-1) +(3-1) +(5-3) + +(17-15) +(19-17) =19+1=6860. 故选B . ⎣⎦
3(B）. 已知二次函数y =ax 2+bx +1(a ≠0) 的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).
ab = 当a -b 为整数时，（ ）
A . 0 B .
【答案】B .
13
C . - D . -2 44
b
【解析】依题意知a
a -b =a -(-a -1) =2a +1，于是-1
又a -b 为整数，∴2a +1=0, 故a =-
11
=b , ab =，故选B . 24
4. 已知 O 的半径OD 垂直于弦AB , 交AB 于点C ，连接AO 并延长交 O 于点E ,
若AB =8, CD =2, 则∆BCE 的面积为（ ）
A . 12 B . 15 C . 16 D . 18
【解析】设OC =x , 则OA =OD =x +2,
OD ⊥AB 于C , ∴AC =CB =
2
2
1
AB =4, 2
2
在Rt ∆OAC 中，OC +AC =OA ,
222
即x +4=(x +2) , 解得x =3，即OC =3 （第4题答案图）
OC 为∆ABE 的中位线，∴BE =2OC =6. AE 是 O 的直径，∴∠B =90 ,
11
∴S ∆BCE =CB ⋅BE =⨯4⨯6=12. 故选A .
22
5. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAC =∠BDC =
90，AB =AC CD =1, 对角线
的交点为M ，则DM = ( )
A .
B
. 23
C .
1 D .
22
（第5题答案图）
【答案】D . 【解析】过点A 作AH ⊥BD 于点H , 则∆AMH ～∆CMD , ∴
AH AM
=, CD =1, CD CM
∴AH =
AM CM , 设AM =x ,
则CM =x , ∴AH =在Rt ∆
ABM 中，BM ==
则AH =
AB ⋅AM
=BM
≠
0，化简整理得=
显然x 2x 2-+10=0
解得x =
2
（x =，故
CM =
1在Rt ∆
CDM 中，DM ==2, 故选D .
6. 设实数x , y , z 满足x +y +z =1, 则M =xy +2yz +3xz 的最大值为 ( )
A .
12 B . 23 C . 3
4
D . 1 【答案】C .
【解析】
M =xy +(2y +3x ) z =xy +(2y +3x )(1-x -y ) =-3x 2-4xy -2y 2+3x +2y =-2⎡⎢⎢y +2⎛⎣ ⎝x -⎫2⎪⎭y +⎛ ⎝x -1⎫2⎤2⎪⎭⎥⎥-3x 2+3x +2⎛1⎫2
21⎦
⎝x -2⎪⎭
222
=-2⎛ ⎝y +x -1⎫2⎪⎭-x 2+x +12=-2⎛
⎝
y +x -1⎫⎛1⎫332⎪⎭- ⎝x -2⎪⎭+4≤4
当且仅当x =12
, y =0时，M
取等号，故M max =
3
4
，故选C . 二、填空题（本题满分
28分，每小题7分）
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1. 【1(A)、2（B ）】 已知∆ABC 的顶点A 、C
在反比例函数y =
（x >0）的图象x
上，∠ACB =90, ∠ABC =30, AB ⊥x 轴，点B 在点A 的上方，且AB =6, 则点C 的坐标为 .
【答案】⎫2⎪⎪. ⎝⎭
【解析】如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D . 在Rt ∆
ACB 中，BC =AB ⋅cos ∠ABC =
在Rt ∆
BCD 中，CD =BC ⋅sin B =
（第1题答案图） 2
⎛93⎛BD =BC ⋅cos B =, ∴AD =AB -BD =,
设C m , m , A n , n ， 22⎝⎭⎝⎭
依题意知n >m >
0, 故CD =n -m , AD =
⎧⎧n -m =⎪⎛⎫m =⎪⎪2
解得
，故点C
的坐标为 ⎨ 2, 2⎪⎪.
⎝⎭⎪n ==3
⎩21(B). 已知∆ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把∠
BAC 三等分，
AD =则AM =【答案】2.
【解析】
（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）
依题意得∠BAD =∠DAM =∠MAC , ∠ADB =∠ADC =90, 故∠ABC ≠∠ACB .
(1) 若∠ABC >∠ACB 时，如答案图1所示，∆ADM ≌∆ADB , ∴BD =DM =又AM 平分∠DAC , ∴
1
CM , 2
AD DM 11
==, 在Rt ∆DAC 中，即cos ∠DAC =, AC CM 22
∴∠DAC =600, 从而∠BAC =900, ∠ACD =300.
在Rt ∆
ADC 中，CD =AD ⋅tan ∠DAC tan60 =3, DM =1. 在Rt ∆
ADM 中，AM =
=2.
(2) 若∠ABC
CD =AO , BC =OD , 则∠ABC = 【答案】126.
【解析】设∠OCD =α, ∠ADO =β,
CA 平分∠BCD , ∴∠OCD =∠OCB =α,
BC ∥AD , ∴∠ADO =∠OBC =β, ∠DAO =∠OCB =α, (第2题答案图) ∴∠OCD =∠DAO =α, ∴AD =CD , CD =AO , ∴AD =AO ,
∴∠ADO =∠AOD =∠BOC =∠OBC =β, ∴OC =BC ,
BC =OD , ∴OC =OD , ∴∠ODC =∠OCD =α
∠BOC =∠ODC +∠OCD , ∠BOC +∠OBC +∠OCB =180
∴β=2α, α+2β=180, 解得α=36, β=72，∴∠DBC =∠BCD =72,
180 -β
=54 , ∴BD =CD =AD , ∴∠ABD =∠BAD =
2
故∠ABC =∠ABD +∠DBC =126.
3. 【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.
【解析】设两个三位数分别为x , y ，则1000x +y =3xy ，①
∴y =3xy -1000x =(3y -1000) x , 故y 是x 的正整数倍，不妨设y =tx （t 为正整数），
代入①得1000+t =3tx , ∴x =
1000+t 1000+t
, x 是三位数，∴x =≥100，解得 3t 3t
t ≤
1000
, t 为正整数，∴t 的可能取值为1,2,3. 验证可知，只有t =2符合，此时 299
x =167, y =334. 故所求的六位数为167334.
3(B). 若质数p 、q 满足：3q -p -4=0, p +q
【答案】1007.
2⎫4⎛
【解析】由3q -p -4=0得，p =3q -4, ∴pq =q (3q -4) =3q 2-4q =3 q -⎪-,
3⎭3⎝
因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值.
又p +q
2
3
，因q 为质数，故q 的可能取值为 4
23,19,17,13,11,7,5,3,2，但q =23时，p =3q -4=65=5⨯13不是质数，舍去.
当q =19时, p =3q -4=53恰为质数. 故q max =19,(pq ) max =53⨯19=1007.
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2. 考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M , 则M 的最大值为【答案】10.
【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论, 确定M 的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则M =5；
(2) 若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2M ≤5⨯1+5⨯3=20, 故M ≤10;
(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 3M ≤5⨯1+5⨯2+5⨯3=30, 故M ≤10;
(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，M ≤10.
另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10. 故M 的最大值为10.
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知a , b 为正整数，求M =3a -ab -2b -4能取到的最小正整数值.
【解析】解：因a , b 为正整数，要使得M =3a -ab -2b -4的值为正整数，则有
2
2
2
2
a ≥2.
当a =2时，b 只能为1，此时M =4. 故M 能取到的最小正整数值不超过4.
当a =3时，b 只能为1或2. 若b =1, M =18; 若b =2，则M =7.
b 只能为1或2或3. 若b =1, M =38; 若b =2, M =24; 若b =3, 则M =2. 当a =4时，
(下面考虑：M =3a -ab -2b -4的值能否为1？)
2222（反证法）假设M =1，则3a -ab -2b -4=1，即3a -ab =2b +5， 22
a (3a -b 2) =2b +5 ①
因b 为正整数，故2b +5为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，
不妨设a =2m +1, b =2n ，其中m , n 均为正整数，则
2222a (3a -b 2) =(2m +1) ⎡⎣3(2m +1) -(2n ) ⎤⎦=4(3m +3m -2mn -n ) +3
n +1=4n +1即a (3a -b 2) 被4除所得余数为3，而2b +5=2(2) 被4除所得余数为1，
故①式不可能成立，故M ≠1. 因此，M 能取到的最小正整数值为2.
二、（本题满分25分）
(A ). 如图，点C 在以AB 为直径的 O 上，CD ⊥AB 于点D , 点E 在BD 上，
AE =AC , 四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与 O 交于点N . 证明:FN =DE .
(第2(A)题答案图)
【证明】：连接BC 、BN . AB 为 O 的直径，CD ⊥AB 于点D
∴∠ACB =∠ANB =∠ADC =90
∠CAB =∠DAC , ∠ACB =∠ADC , ∴∆ACB ∽∆ADC ,
∴AC AB =, ∴AC 2=AD ⋅AB AD AC
由四边形DEFM 是正方形及CD ⊥AB 于点D 可知:
点M 在CD 上，DE =DM =EF =MF
∠NAB =∠DAM , ∠ANB =∠ADM , ∴∆ANB ∽∆ADM ,
∴AN AB =, ∴AD ⋅AB =AM ⋅AN , ∴AC 2=AM ⋅AN , AD AM
AE =AC , ∴AE 2=AM ⋅AN
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 11 页
FE 为半径作 F , 与直线AM 交于另一点P , 则 F 与AB 切于点E , 以点F 为圆心、
2即AE 是 F 的切线，直线AMP 是 F 的割线，故由切割线定理得AE =AM ⋅AP
∴AN =AP , 即点N 与点P 重合，点N 在 F 上，∴FN =FE =DE .
(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)
(B ). 已知：a +b +c =5, a 2+b 2+c 2=15, a +b +c =47.
求(a 2+ab +b 2)(b 2+bc +c 2)(c 2+ca +a 2) 的值. 【解析】由已知得ab +bc +ca =33312222⎡(a +b +c ) -(a +b +c ) ⎤=5 ⎣⎦2
由恒等式a 3+b 3+c 3-3abc =(a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca ) 得，
47-3abc =5⨯(15-5), ∴abc =-1
又a 2+ab +b 2=(a +b +c )(a +b ) -(ab +bc +ca ) =5(5-c ) -5=5(c -1)
同理可得b 2+bc +c 2=5(4-a ), c 2+ca +a 2=5(4-b )
∴原式=5(4-a )(4-b )(4-c ) =125[64-16(a +b +c ) +4(ab +bc +ca ) -abc ] 3
=125⨯[64-16⨯5+4⨯5-(-1)]=625.
【注：恒等式(t -a )(t -b )(t -c ) =t -(a +b +c ) t +(ab +bc +ca ) t -abc 】
三、（本题满分25分）
(A ). 已知正实数x , y , z 满足：xy +yz +zx ≠1 ,且 32
(x 2-1)(y 2-1) (y 2-1)(z 2-1) (z 2-1)(x 2-1) ++=4 . xy yz zx
(3) 求111++的值. xy yz zx
(4) 证明:9(x +y )(y +z )(z +x ) ≥8xyz (xy +yz +zx ) .
(x 2-1)(y 2-1) (y 2-1)(z 2-1) (z 2-1)(x 2-1) 【解析】（1）解：由等式++=4， xy yz zx
去分母得z (x -1)(y -1) +x (y -1((z -1) +y (z -1)(x -1) =4xyz ，
222222x 2y 2z +xy 2z 2+x 2yz 2-⎡x (y +z ) +y (z +x ) +z (x +y ) +3xyz ⎤⎣⎦+(x +y +z ) -xyz =0, 222222
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 12 页
xyz (xy +yz +zx ) -(x +y +z )(xy +yz +zx ) +(x +y +z ) -xyz =0，
∴[xyz -(x +y +z )](xy +yz +zx -1) =0， xy +yz +zx ≠1, ∴xy +yz +zx -1≠0， ∴xyz -(x +y +z ) =0, ∴xyz =x +y +z ，∴原式=x +y +z =1. xyz
（2）证明：由（1）得计算过程知∴xyz =x +y +z ，又 x , y , z 为正实数,
∴9(x +y )(y +z )(z +x ) -8xyz (xy +yz +zx )
=9(x +y )(y +z )(z +x ) -8(x +y +z )(xy +yz +zx )
=x (y 2+z 2) +y (z 2+x 2) +z (x 2+y 2) -6xyz
=x (y -z ) 2+y (z -x ) 2+z (x -y ) 2≥0.
∴9(x +y )(y +z )(z +x ) ≥8xyz (xy +yz +zx ) .
【注：(x +y )(y +z )(z +x ) =x 2y +xy 2+y 2z +yz 2+z 2x +zx 2+2xyz
=x (y 2+z 2) +y (z 2+x 2) +z (x 2+y 2) +2xyz
(x +y +z )(xy +yz +zx ) =x 2y +xy 2+y 2z +yz 2+z 2x +zx 2+3xyz
=x (y 2+z 2) +y (z 2+x 2) +z (x 2+y 2) +3xyz 】
(B ). 如图，在等腰∆ABC 中
, AB =AC =D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E , EB 的延长线与AD 的延长线交于点F , 求AD ⋅AF 的值.
（第3（B ）题答案图）
【解析】如图，连接AE , ED , CF , 则 AB =AC , ∴∠ABD =∠ACB
点C 关于直线AD 的对称点为点E , ∴∠BED =∠BCF , ∠AED =∠ACD =∠ACB ∴∠ABD =∠AED , ∴A , E , B , D 四点共圆, ∴∠BED =∠BAD (同弧所对得圆周角相等) 2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 13 页
∴∠BAD =∠BCF , ∴A , B , F , C 四点共圆，∴∠AFB =∠ACB =∠ABD
∴∆AFB ∽∆ABD , ∴
AB AF =, ∴AD ⋅AF =AB 2=AD AB 2=5.
（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）
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