第4讲 倍数问题
一. 常见的倍数问题
1. 和倍问题:已知两数的和以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数。
2. 差倍问题:已知两数的差以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数。
二．怎么解决倍数问题
1．和倍问题的解决要点
和÷（倍数+1）=小数
小数×倍数=大数
2．差倍问题的解决要点
差÷（倍数－1）=小数
小数×倍数=大数
注意：此处的小数是指较小的数。
三．例题与解答
例1：甲乙两人做机器零件，甲和乙共做800个零件，且甲做的零件个数是乙的3倍。问：甲、乙两人各做多少个零件？
分析：甲做的零件个数是乙做的3倍，所以两人所做零件个数的和是乙做的零件个数的（3+1）倍，即4倍。从而乙做的零件个数是800÷4个。
解：乙做的零件个数是
800÷（3+1）=800÷4=200
甲做的零件个数是
200×3=600
答：甲做了600个零件，乙做了200个零件。
例2：甲乙两人做机器零件，甲比乙多做400个零件，且甲做的零件个数是乙的3倍。问：甲、乙两人各做多少个零件？
分析：甲做的零件个数是乙做的3倍，所以两人所做零件个数的差是乙做的零件个数的（3-1）倍，即2倍。从而乙做的零件个数是400÷2个。
解：乙做的零件个数是
400÷（3-1）=400÷2=200
甲做的零件个数是
200×3=600
答：甲做了600个零件，乙做了200个零件。
练习1：哥哥、弟弟共种了52棵树，哥哥种的树是弟弟的3倍。问：兄弟两人各种多少棵树？
练习2：哥哥比弟弟多种了26棵树，哥哥种的树是弟弟的3倍。问：兄弟两人各种多少棵树？
例3：甲比乙多存140元。如果乙取出60元，甲存入60元，那么甲的存款为乙的3倍。问：甲、乙两人原有存款各是多少元？
分析：甲原来比乙多140元，如果乙取出60元，甲存入60元后，那么甲比乙多140+60+60=260元。这时，甲的存款为乙存款的3倍，问题转化为差倍问题。
解：乙原有存款数为
（140+60+60）÷（3-1）+60=190（元）
甲原有的存款为
190+140=330（元）
答：甲原有存款330元，乙原有存款190元。
练习3：某班级的同学参加活动小组，已知参加语文小组的同学比参加数学小组的多26人，且语文小组的人数比数学小组人数的3倍少14人。问：参加两类兴趣小组的同学各有多少人？
例4：甲、乙两人分别带150元、70元去买东西。两人买了同样的东西之后，剩下的钱数甲是乙的5倍。问：甲、乙两人身上各剩多少钱？
解：乙身上还剩
（150-70）÷（5-1）=20（元）
甲身上还剩
20×5=100（元）
答：甲身上还剩100元，乙身上还剩20元。
练习4：小明的爸爸办了一个养鸡场。今年比去年多养了4000只小鸡，且今年的小鸡数比去年的三倍少2000只。问：今年、去年各养了多少只小鸡？
例5：小华在读一本童话选。第一天比第二天多读了30页。第三天比第一天多读了45页。第三天是第一天的2倍。问:三天各读了多少页？
解：第一天读的页数为
（30+45）÷（2-1）=75
第二天读的页数为
75+30=105
第三天读的页数为
105+45=150
答：小华第一天读了75页，第二天读了105页，第三天读了150页。
练习5：有两袋米，甲袋比乙袋少18千克。如果再从甲袋倒入乙袋6千克，那么甲袋的米是乙袋的一半，两袋原来各有米多少千克？
家庭作业
1．有两缸金鱼。如果从第一缸取出15条放入第二缸，那么第二缸的金鱼正好是第一缸的2倍。已知第二缸原有金鱼35条。第一缸原有金
鱼多少条？
2．有甲、乙两桶汽油甲桶比乙桶重16千克。从甲桶中倒一半给乙桶，这时乙桶重80千克。原来甲桶和乙桶各有多少千克汽油？
3. 大桶装水是小桶的3倍。如果从大桶倒出85千克，从小桶倒出5千克，那么剩下的水是一样多的。问：两个桶原有多少千克水?
4. 甲比乙多做了5个零件。如果甲给了乙100个零件之后，甲的零件个数就是乙的一半，问: 甲、乙两人原来各做了多少零件？
5. 三个队植树，第一对比第二队多植了20棵。第二队比第三队少植了5棵。第一队植树是第三队的2倍。问：三队各植了多少棵树？
6. 两根同样长的铁丝，第一根用去65厘米，第二根用去9厘米。剩下的铁丝，第二根的长是第一根长的3倍。问：每根铁丝原来有多长？
7. 甲、乙、丙三人年龄之和是94岁，且甲的2倍比丙多5岁，乙的二倍比丙多19岁。问：甲、乙、丙三人各多大？
平均数的应用家庭作业
1. 某次考试，21位女生平均分数是82分，19位男生平均分数是87分。问全体同学平均分是多少？
2．5位同学按身高由高到低从左到右排成一行，左起三位同学的平均身高是150厘米，右起三位同学的平均身高是147厘米，5位同学的平均身高是148.5厘米。小明站在中间，小明身高多少厘米？
3. 五年级1班52人，2班48人，某次算术考试中，两班全体同学平均分为78分。2班的平均分比一班的平均分高5分问两班的平均分各是多少？
4. 去年前5个月，张敏家每月平均储蓄420元。从6月份起每月储蓄600元，那么从哪月起，他家每月平均储蓄不少于500元？
5.A 、B 、C 、D4个数，每次去掉一个数，求其余3个数的平均数，这样算了4次，得到以下4个数:45、60、65、70。问原来4个数的平均数是多少？
第5讲 年龄问题
年龄问题是日常生活中一种常见的问题。例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等。要正确分析解答这类问题，首先要明白：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变。所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点，运用“和差”、“差倍”等知识来分析解答有关年龄问题。
年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
例题与方法
例1． 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后，爸爸比妈妈大6岁。今年爸
爸、妈妈各多少岁？
分析 爸爸和妈妈的年龄差始终不变，现在爸爸比妈妈仍大6岁。问题转化为和差问题。
解：今年妈妈的年龄为
（82-6）÷2=38（岁）
今年爸爸的年龄为
38+6=44(岁)
答：今年爸爸和妈妈的年龄各为44岁、38岁。
练习1 强强今年11岁，军军今年7岁。当两人的年龄的是38岁时，两人各是多少岁？
例2． 小红今年7岁，妈妈今年35岁。小红几岁时，妈妈的年龄正好是小红的
3倍？
分析 今年妈妈与小红年龄的差是（35-7）=28（岁），这个年龄差是不变的。在妈妈年龄正好是小红的3倍时，年龄差仍为28岁。问题转化为差倍问题，利用差倍公式解决问题。
解：小红的年龄为
（35-7）÷（3-1）=14
答：小红年龄为14岁时，妈妈的年龄正好是小红的3倍。
练习2 明明今年3岁，妈妈今年27岁。明明几岁时，妈妈的年龄正好是明明的5倍？
例3． 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是76岁。问：母亲
今年多少岁？
分析 六年前母子年龄和为（78-6-6）=66（岁），6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。转化为和倍问题。
解：六年前儿子的年龄为
（78-6-6）÷（5+1）=11（岁）
六年前母亲的年龄为
11×5=55（岁）
今年母亲的年龄为
55+6=61（岁）
答：母亲今年61岁。
练习3 父子两人今年的年龄和是40岁。儿子年龄的5倍比父亲的年龄大2岁。父子两人3年后各是多少岁？
例4． 甲的年龄比乙的年龄的4倍少3，甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。
问：甲、乙现在各为多少岁？
分析 “甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。”表明甲比乙大6岁。甲如果再增加三岁，那么就是乙的年龄的4倍，问题转化为差倍问题。
解：现在乙的年龄为
（6+3）÷（4-1）=3（岁）
现在甲的年龄为
3+6=9（岁）
答：甲、乙现在各为9岁、3岁。
练习4 甲的年龄比乙的年龄的3倍少4，甲5年前的年龄比乙3年后的年龄大2岁。问：甲、乙现在各为多少岁？
例5． 小象对大象说：“妈妈，我到你现在这么大时，你就31岁了。”大象说“我
像你这么大时，你只有1岁。”问：大、小象现在各为多少岁？
分析 由小象的话可知 （大象的年龄）+（大、小象的年龄差）=31
有大象的话可知（小象的年龄）-（大、小象的年龄差）=1
因此，1岁时的小象曾加一个大、小象的年龄差，就成为现在小象的年龄，增加两个大、小象的年龄差就成为现在大象的年龄，增加三个大、小象的年龄差就成为31岁。
解：大、小象的年龄差是
（31-1）÷3=10
小象现在的年龄是
1+10=11（岁）
大象现在的年龄是
11+10=21（岁）
答：大、小象现在各为21、11岁。
练习5 小熊对老熊说：“妈妈，我到你现在这么大时，你就36岁了。”大象说“我像你这么大时，你只有3岁。”问：现在老熊、小熊各为多少岁？ 例6． 一位老翁有三个孙子，年龄分别是22、20、15岁。25年后，这三个孙子
的年龄的和比老翁那时的年龄的2倍少60岁。问：老翁现在多少岁？ 解：25年后，三个孙子的年龄的和是
22+20+15+25×3=132（岁）
老翁那时的年龄是
（132+60）÷2=96（岁）
所以老翁现在的年龄是
96-25=71（岁）
答：老翁现在71岁。
练习6 一位老翁有三个孙子，年龄分别是15、12、10岁。10年后，这三个孙子的年龄的和比老翁那时的年龄的2倍少30岁。问：老翁现在多少岁？
家庭作业
1．小强今年13岁，小军今年9岁。当两人的年龄和是40岁时。两人各是多少岁？
2．爷爷今年72岁，孙子今年12岁。几年后爷爷的年龄是孙子的5倍？几年前爷爷的年龄是孙子是的13倍？
3．小勇5年前的年龄等于小辉7年后的年龄，小勇4年后的年龄与小辉3年前的年龄和是35岁。小勇、小辉今年各多少岁？
4．一家三口，母亲比父亲小两岁，父亲比儿子大27岁，5年后全家的年龄的是82岁。现在每个人的年龄分别是多少岁？
5．当师傅的年龄与徒弟今年的年龄相等时，徒弟的年龄为10岁。当徒弟的年龄与师傅今年的年龄相等时，师傅已经37岁。今年师傅两人各多少岁？
第6讲 鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。
法二：列方程，解题时，首先要根据题目中所给出的两个未知数的关系，用一个未知数代替另一个未知数，从而将两个未知数转换成一个未知数，从而解出答案。 例题与方法
例1． 鸡兔同笼，共有45个头，146只脚，笼中鸡兔各有多少只？
解：设笼中有鸡x 只，则有兔（45-x ）只。由题意得：
2x+4×（45-x ）=146
2x+180-4x=146
2x=34
x=17
兔有45-17=28（只）
答：笼中有鸡兔各17、28只。
1．练习1一个饲养组养鸡、兔 共80只，共有脚220只。那么，饲养组养鸡和兔各多少只？
例2． 一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。
这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？
解：设买了x 张10分的邮票，则买了（100-x ）张20分的邮票。由题意得： 10x+20×(100-x)= 18×100+8×10
10x+2000-20x=1800+80
10x=120
x=12
20分的邮票有100-12=88（张）
答：两种邮票各买了12、88张。
练习2 用6元钱买2角的邮票和5角的邮票共18张。问这两种邮票各多少张？
例3． 学校买来3个排球和2个足球，共花去111元。每个足球比每个排球
贵3元。每个排球、每个足球各多少元？
解：设每个排球为x 元，则每个足球为（x+3）元。由题意得：
3x+2×(x+3)=111
3x+2x+6=111
5x=105
X=21
每个足球的价格为21+3=24（元）
答：每个排球、足球各为21、24元。
练习3 买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔的5支圆珠笔共花了17元，问两种笔每支各多少元？
例4．数学竞赛题共25道。每做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，若不做，不得分也不扣分。小华得了78分。问：他做对了几道题，做错了几题，没做有几题？
解：由于78÷4=19.5>19，这说明小华至少做对20题。
假设做对20题，则做对题的总分为20×4=80
因为 80-78=2
所以有2题做错，3题没做。
假设做对21题，则做对题的总分为21×4=84
因为 84-78=6
要使总分为78分，还需扣6分，而剩下只有4题。所以假设不成立。 答：他做对了20题，做错了2题，没做3题。
家庭作业
1鸡兔共100只，鸡的脚比兔的脚一共少70只。问鸡、兔各有多少只？
2．王师傅到家具厂买了桌子和椅子共19件。每张桌子35元，每把椅子20元，共付款440元。买桌子的椅子各多少件？
3．100个和尚吃100个馒头。大和尚每人吃4个，小和尚每4人吃一个。问：大和尚与小和尚各有多少人？
4．操场上停放39辆车，有三轮车和自行车，两种车轮子的总和为96个，。问三轮车和自行车各多少辆？
5．数学竞赛题共20道。每做对一道题得8分，做错一道题倒扣4分。小丽得了100分。问：她做对了几道题？
第7讲 盈亏问题
盈亏问题
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于
分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
“老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨？”
这道应用题是已知两种分配的方法，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的数量及被分配的总量。这样的应用题，通常叫做盈亏问题（有余时称盈，不足时称亏）。
解盈亏问题，常常采用比较的方法。找到等量关系，建立等量关系式。 例题与方法
例1． 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只
小猴子分7个梨，就少11个梨。用几只小猴子和多少个梨？
解：设一共有x 只小猴子，由题意得：
6x+12=7x-11
x=23
所以一共有梨6×23+12=150（个）
答：有23只小猴子，150个梨。
练习1 若干个同学去划船。他们租了一些船，如果每船坐4人，则多5人。如果每船坐5人，则船上有4个空位。有多少个同学？多少条船？
例2． 丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分3个，多16个；如果
每人分5个，那么就差4个。有多少小朋友？有多少个苹果？
解：设一共有x 个小朋友，由题意得：
3x+16=5x-4
2x=20
x=10
所以一共有苹果3×10+16=46（个）
答：有10个小朋友，46个苹果。
练习2 把一袋糖分给小朋友们。如果每人分10粒糖，正好分完。如果每人分16粒糖，就有3个小朋友分不到糖。这袋糖共有多少粒？
例3． 北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果每车坐65人，则有
15人不乘车。如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。一共有几辆
汽车？有多少学生？
解：设一共有x 辆汽车，由题意得：
65x+15=70×(x-1)
5x=85
x=17
所以一共有学生70×（17-1）=1120(人)
答：一共有17辆汽车，1120个学生。
练习3 全班同学去划船。如果减少一条船，每条船正好坐9人。如果增加一条船，每条船正好坐6人。全班共有多少人？
例4． 小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小明和小妹每人分4个梨，
其余每人分2个梨，还多出4个梨。如果小明1人分6个梨，其余每
人分4个梨，又差12个梨。小明家有多少人？这筐梨子有多少个？
解：设小明家一共有x 人，由题意得：
2×4+（x-2）×2+4=6+(x-1) ×4-12
8+2x-4+4=6+4x-4-12
2x+8=4x-10
X=9
所以这筐梨子有2×4+（9-2）×2+4=8+14+4=26(个)
答：小明家一共有9人，这筐梨子有26个。
练习4 把一笔奖金分发给获奖学生。若每人分11元，差8元。若每人分16元，差8元。求学生人数与奖金总数。
家庭作业
1．少先队员去植树。如果每人各挖5个树坑，还有3个树坑没人挖。如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖全部的树坑。少先队员一共挖了多少个树坑？
2．奥林匹克学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了多少新生？
3．用一根绳子绕树三圈，余三米。如果绕树4圈，则差4米。树周长有几米？绳长几米？
4．一个学生从家到学校上课。他先用每分钟80米的速度走了3分钟，照这样的速度，则要迟到3分钟。如果改为每分钟走110米，结果提前3分钟到达，这个学生的家离学校有多远？
第8讲 还原问题
还原问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果，要求原来的数的问题，解答这一类问题时，要根据题意，从所给的结果出发，抓拄逆运算关系，由后向前一步步逆推（倒推法、还原法），做相反的运算，逐步靠拢已知条件，直到问题得到解决。在解答还原问题时，如果列综合算式，要注意括号的正确使用。 例题与方法
例1． 三（1）班小图书箱第1天借出了存书的一半，第2天又借出43本，
还剩32本。小图书箱原有图书多少本？
解法一：倒推法，根据结果列算式
小图书箱原有图书为（32+43）×2=150（本）
解法二：设未知数列方程解答
设小图书箱原有图书为x 本，由题意得：
x÷2-43=32
x÷2=32+43
x=150
答：小图书箱原有图书150本。
练习1 四（1）班学生进行大扫除。一半学生去支援一年级，剩余下的一半去扫清洁区，最后还有10人留下扫教室。四（1）班共有多少人？
例2． 某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果等于5。求这个数。 解法一：列算式
（ 5×5+5）÷5-5=1
解法二：列方程
这个数为x ，由题意得：
[ （x+5）×5-5] ÷5=5
(5x+25-5) ÷5=5
5x+20=25
X=1
答：这个数为1。
练习2 某数加上3，乘以5，再减去8，等于12。求某数。
例3． 小明在做一道加法式题时，由于粗心，将这个位上的5看作9，把十
位上的8看作3，结果所得的和是123。正确的答案应是多少？ 分析 将个位上的5看作9，相当于结果增加4；把十位上的8看作3，相当于结果减少50。
解：设正确的答案为x, 由题意得：
x-(8-3) ×10+(9-5)=123
x-50+4=123
x=123-4+50
x=169
答：正确的答案是169。
练习3 在做一道加法计算题时，把个位上的4看作7，十位上的8看作2，结果和是306。正确的答案应该是多少？
例4． 一个人沿着大堤走了全长的一半后，又走了剩下路程的一半，还剩下
1千米，问：大堤全长多少米?
解：设大堤全长x 米，由题意得：
x-x÷2-x ÷2÷2=1
x-1/2x-1/4x=1
1/4x=1
X=4
答：大堤全长是4米。
练习4 将一根绳子一半一半地减下去，剪了4次，第4次剩下的绳子正好是一米。这根绳子原来有多长？
家庭作业
1．一根铁管，第1次截去2米，第2次截去剩下了一半，还剩下5米。这根铁管原来有长是多少米？
2．操场上放了一些花盆，第1次搬走了全部的一半多8盆，第2次搬走了余下的一半少4盆，将剩下的放成6排，每排恰好放2盆。原来有多少花盆？
3．有一捆线，第1次用去全长的一半多3米，第2次用去余下的一半少5米，还剩下17米。这捆线原来有多少米？
4．小丽到商店去买文具。买文具盒用去了所带钱的一半，买圆珠笔用了2元钱，买钢笔用了剩余钱的一半，这时还剩下5元钱。小丽一共带了多少钱？