第三章 条件概率的独立性
习题3 一．填空题
1. 设A.B 为两个互相独立事件，若P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，则P (A ⋃B )=
2. 在一次实验中A 发生的概率为p ，现在进行n 次独立重复试验，那么事件A 至少发生1次的概率为
3. 设A.B.C 构成一完备事件组，且P(A)=0.4，P(B )=0.7，则P （C ）= ,p(AB)= 4. 若P(A)=
112
,P(B)=，P(B A )=, 则P(B )= 233
5. 某人向同一目标重复独立射击，每次命中目标的概率为P(0
2次命中目标的概率为 二．选择题
1. 同一目标进行5次射击，每次命中的概率为0.8，则恰好命中两次的概率为（ ） (A) 0.00512 (B) 0.64 (C) 0.256 (D) 0.0512
2. 5人以摸彩的方式决定谁从五张彩票中摸的一张电影票，设Ai 表示“第i 次个人摸到电影票”(i=1,2,3,4,5),则下列结果不正确的是（ ） (A) P(A 1A 2)=
1413 (B) P(A 2)= (C) P(A 2)= (D) P (A 1A 2) = 4555
3 袋中有5个球（3个新球，2个旧球），现每次取一个，无放回的抽取两次，则第二次取
到新球的概率为（ )
(A )
3323(B ) (c ) (D ) 54410
4, 对于任意两个事件A 与B ，下面结论正确的是（ ） (A)若P(A)=0，则A 是不可能事件
(B)若P(A)=0，P(B)≥0，则事件B 包含事件A
(C)若P(A)=0，则P(B)=1，则事件A 与事件B 对立 (D)若P(A)=0，则事件A 与B 独立 三，计算题
1. 设A 与B 是两个随机事件，且P(A)=
111
, P (B A ) =, P (B ) =, 试求P(A ⋃B ). 432
2. 设A 与B 是两个随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.6，P (A ) =0. 4，试求P(A ⋃B ).
3. 如果每次试验成功的概率都是P ，并且已知在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为
19
，试求P 的值. 27
4. 设随机事件A 与B 互相独立，P(A)=P(B)=a-1，P(A ⋃B ) =四．应用题
1. 三人独立的同时解答一道题，他们每人能够解出的概率为
7
, 求a 的值. 9
111
，，求此题能破解出的234
概率.
2. 设在全部产品中有2％是废品，而合格产品中有85％是一级品，求随机抽出一个产品是一
级品的概率.
3. 汽车保险公司得到投保人资料如表3-1所示：
5. 设10个考签中4个难签，今有3人按甲先，乙次，丙最后的次序参加抽签(不放回），求： （1）甲没有抽到难签而乙抽到难签的概率； （2）甲，乙，丙都抽到难签的概率.
6. 设有4个独立工作的原件1,2,3,4 他们的可靠性都是p, 将他们按图3.2的方式联接，求整个系统的可靠性.
7. 甲，乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被击中，求他是甲击中的概率。
8. 假设一个年级甲乙丙三个班学生参加一项技能测试，三个班级学生依次占全年级总人数的20％，45％，35％，测试后各个班级的不及格率分别为5％，4％，2％. （1）求该年级学生技能测试的不及格率；
（2）若在全年级学生中随机抽查发现一个学生不及格，试判断他是甲班学生的概率。 9. 已知男子有5％是色盲患者，女子有0.25％是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机的挑选一人，恰好是色盲患者，求此人是男性的概率. 五．证明题
1、设随机事件A 与B 互斥，且0
P (B ) =
P (A )
1-P (B )
2. 若P (A ) =P (A ), 证明；A 与B 互相独立。
六．综合题
1. 甲盒中有3只正品，乙盒中有3只正品，3只次品，从乙盒中任取3只放入甲盒，再从甲盒中任取一只，求该只只为次品的概率. 2. 为消防的需要，某商场内同时安装甲乙两套报警系统，每套系统单独使用时其有效的概率，系统甲为0.92，系统乙为0.93，在甲系统失灵的条件下，乙系统仍有效的概率为0.85，求（1）发生火警时，这两个系统至少有一个有效的概率；（2）在乙系统失灵的条件下，甲系统仍有效的概率.
(B)
一．填空题
1. 设随机事件A 与B 互相独立，若P(A)=0.3，P(A⋃B )=0.7，则P(B)= 2.A 与B 是两个随机事件，P(A)=0.8，P(B)=0.4，若A ⊃B , 则P(A )=
3. 设Ａ．Ｂ为两个事件，若概率Ｐ（Ｂ）＝０．９，Ｐ（ＡＢ）＝０．６，则P (A B ) = 4. 设两个相互独立事件Ａ和Ｂ发生的概率分别为Ｐ１，Ｐ２，则其中之一发生的概率为 二．选择题
１，若一批产品为一，二等品及不及格品，其比例为４：３:１，从中任取一件，检验合格，则该产品为一等品的概率为
A .
1244
B . C . D . 2379
２．设Ａ与Ｂ是两个随机事件，已知P (A ⋃B ) =0. 7，P (A ⋃B ) =0. 9, 则P (A ) 为 Ａ０. ２ Ｂ０．３ Ｃ０．４ Ｄ０．６
３．设Ａ，Ｂ，Ｃ是两个两两相互独立且三件事不能同时发生的事件，Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｃ）＝Ｘ，则使P (A ⋃B ⋃C ) 取最大值的X 为
A
111
. B 1. C . D 234
４．设随机事件Ａ与Ｂ互不相容，且Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，则下列结论中一定成立
的有
Ａ Ａ，Ｂ为对立事件 Ｂ A , B 互不相容 Ｃ Ａ，Ｂ不对立 Ｄ Ａ，Ｂ互相独立
三．计算题
１设Ａ，Ｂ，Ｃ是随机事件，Ａ，Ｃ互不相容，Ｐ（ＡＢ）＝
11
P (C ) =, 试求P (AB ) 的值 ，23
２已知事件Ａ与Ｂ相互独立，Ａ与Ｃ互不相容，且Ｐ（Ａ）＝０．４，Ｐ（Ｂ）＝０．３，Ｐ（Ｃ）＝０．４，P (C B ) =0. 2，求P [C (A ⋃B )].P (C )
四．应用题
１，独立的连接进行Ｎ次射击，已知第Ｉ次命中目标的概率为Ｐｉ（Ｉ＝１，２，．．．，Ｎ），
求至少两次命中的目标的概率。
２. 桥式电路系统由五个元件组成（如图３．３所示），每个元件的可靠性为Ｐ，且每个元件是否正常工作是相互独立的，求系统的可靠性。
３. 在１－１００这一百个整数中任取一个数，求所取的数能被２或３或５整除的概率。 ４. 甲乙两射手轮流对同一目标进行射击，甲每枪命中的概率为Ｐ，乙每枪命中的概率为Ｒ，彼此独立，甲先射，试求甲先命中的概率。
５. 某批产品优等品率为８０％有３个检验员对其检验，每个检验员对优等品的判对率为０．９７，对非优等品的判对率为０．９８，并以３个检验员的多数人的判断为最后的判断。求：（１）一个产品最后被判断为优等品的概率；（２）在一个产品最后被判断为优等品的条件下，的却是优等品的概率。 习题4 一、填空题
1. 若函数∫(x)=Kx， 0 ,0≤ X ≤2是一随机变量的密度函数，则K= 2. 设随机变量X 的分布规律为P （X=K)=c/k+1,k=o,1,2,3,则常数c
3. 设连续型随机变量X 的分布函数为F （x)=0,x＜0或AX ²，0≤x ＜1或1，x ＞1 则A= P （-1＜x ＜1/2)=
4. 设随机变量X 的分布函数为F(X)=1/2,0≤x ≤1则p （x)= 二．选择题
1. 函数∫（x ）=sinx，x ∈1或0 其他可作随机变量X 的密度函数，下列区间中只有（ ）可取为I
A. ［0，π/2］ B. ［0，π］ C. ［0，3π/2］ D. ［0，2π］ 2. 设服从正态分布N （0,1）的随机变量X ，其密度函数为∂（x ），则∂（0）=（ ）
C. 1 D. A. O
1
2
3. 设f1(X)为标准正态分布规律的概率密度函数，f2(X)为（-1,3）上均匀分布的概率密度函数，若f(x)=af1(x),x≤0或bf2（x ），x ＞0，（a ＞0，b ＞0）为概率密度函数，则a ，b 应满足（ ）
A.2a+3b=4 B.3a+2b=4 C.a+b=1
D.a+b=2
4. 当随机变量X 的分布函数为F(X),在下列概率中可表示为F （a ）-F(a-0）的是 （ ) A.P(x≤a) B. P(X＞a ） C. P（x ＝a ） D.P(X≥a) 三．计算题
1. 设随机变量X~N（10，0.022），已知∅(2.5)=0.9938,其中∅（x ）为标准正态分布的分布函数，试求P(9.95＜X ＜10.05) 的值。
2. 设随机变量X 的分布函数为FX=0，X 《0 FX=1-(1+X ) e -x ，x>0 求X 得密度函数，并计算P （X ≤1）和P(X>2)
20.2设随机变量X~N(1,) 求：（1）P(X＞1);(2)！P(∣X ∣＜1);(3)P(X＜2) 3
4. 已知随机变量X-N （μ, θ2），且关于未知数Y 的一元二次方程y 2+4y +X =0无实根的概率为1/2，试求μ的值。 5. 试确定常数c ，使P(X=i)=≤2）和P （1/2
四．应用题
1. 设某运动员投篮命中率是0.8，试求在一次投篮时投中次数的分布规及分布函数。
律2. 一袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从袋中同时任取3只，以X 表示取出的三支球的最小号码，试求随机变量X 的分布律。
3. 一箱中装有6个产品，其中有2个是二等品，现从中随机的取出3个，试求取出的二等品个数X 的分布律。
4. 某人从家到工厂去上班，路上所需时间X （单位，min) 的密度函数为FX=
-1e 2π
(x -50) 2
32
c
（i=0,1,2,3,4）成为某个随机变量X 的分布律，并求P （X i 2
,X>50 FX=0, X≤0
他每天早晨八点上班，七点离家，求此人每天迟到的概率 φ（2,5）=0.938
9
5. 在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2假设电源电压服从正态分布N （220，252）。试求1 该
电子元件损坏的概率 2 该电子元件损坏时，电压在200-240V 的概率。 五，证明题
设随机变量X,Y 均服从正态分布X-N(μ，16) ，Y-N(μ，25) ，记：P1=P(X《μ-4) ，P2=P(Y≥μ=5)，试证明对任何实数μ，都有P1=P2. 六，综合题
1. 设随机变量X 在（1,4）上服从均匀分布，现在对X 进行3次独立试验，试求至少有两次观察值大于2的概率。
2. 若随机变量X 在区间（1.6）上服从均匀分布，试求方程t 2+Xt+1=0有实数根的概率。
1-5
3. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X 服从指数分布，其密度函数为FX=e ，x>0
5
FX=0,其他
某顾客在窗口等待服务，若超过10min 他就离开。
1 设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
2 设某顾客一个月去银行5次，求他五次中至多有一次未等到服务就离开的概率。 4某企业招聘330人，按考试成绩从高分到低分依次录取，共有1000人报名，而报名者考试成绩服从正态分布X-N(μ，σ2) ，已知90分以上有36人，60分以下有115人，问被录取者最低分数是多少？ B 一，填空题
1，设随机变量X 的密度函数为FX=
x
Ax
, X >0 FX=0， X 《0 ，则常数A=
(1+X ) 2
2，设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于0，则P （Y ≤a+1\Y>a）= 二，选择题1， 随机变量
X-N(μ1, σ12),Y-N(μ2, σ22), 其中σ1>0，σ2>0
且
，则 p (x -μp (Y -μ2
A σ1σ2 C μ1μ2
2，设随机变量X 服从正态分布N （0.1），对给定的a(0μa ）=a，若p (X
2
1-a
2
C μ1-a D μ1-a
2
3, 设X1，X2，X3是随机变量，且X1-N(0，1),X2-N(0，4),X3-N(5，9),Pj=P（-2≤Xj ≤2）（j=1,2,3,）, 则
A P1>P2>P3 B P2>P1>P3 C P3>P1>P2 D P1>P3>P2
4, 设F1X 与F2X 是两个分布函数，其相应的概率密度函数f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度函数的是
A f1(x)f2(x) B 2f2(x)F1(x) C f1(x)F2(x) D f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)
三，计算题
1. 设X 是连续型随机变量，其分布函数为F(X)=0， Xb 又知P （X 《1/2）=1/4，试确定常数a,b,c 的值。
2. 设连续性随机变量X 的分布函数为FX=0，X 《-a FX=A+Barcsin1 常数A ，B 2 P(-A/2-λx
2
2
x
,-a，x>0 F(X)=0, x≤0 其中λ>0，求：1 常
数A,B 的值；2 P（-1
四，应用题
1，公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下设计的，设男子身高服从正态分布N （170，36），问车门高度应为多少？
2，一盒中有4只球，球上分别标有号码0,1,1,2，有放回的取两次，每次取一球，以G 表示两次取出球的号码的乘积，求G 得分布律。
3，一汽车沿一条街道行驶，需要通过3个均没有红绿信号灯的路口，每个路口信号灯为红或绿与其他路口信号灯为红或绿相互独立，且红，绿两种信号显示的时间相等，以X 表示该汽车首次遇到红灯前以通过的路口的个数，求X 得分布律。
4，假设新生入学外语考试的成绩服从正态分布N （72，, σ），而且96分以上的考生占2.3%，求随意臭鱼一份外语试卷的成绩介于60分到84分之间的概率。 五，综合题 1，从数1,2,3,4，中任取一数，记为X, 再从1,2，....X 中任取一个数，记为Y , 求P （Y=2）的值。
2
2，设随机变量X-N(1，σ)(σ>0), 当σ取何值时，P （2
2