少数题目与第六版不符合，大部分匹配。
《激光原理》习题解答第一章习题解答
1为了使氦氖激光器的相干长度达到1KM，它的单色性∆λ
λ0应为多少？
解答：设相干时间为τ，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即
Lc=τ⋅c
根据相干时间和谱线宽度的关系
∆ν=
1c=τLc=632.8nm
又因为
∆λ∆ν
=λ0γ0∆λ∆ν
=λ0ν0
，ν0
=
c
λ0
，λ0
由以上各关系及数据可以得到如下形式：单色性=
=
λ0632.8nm==6.328×10−10
12
Lc1×10nm
=3000MHZ输出1瓦连续功率，问每秒钟
解答完毕。
2如果激光器和微波激射器分别在10μｍ、500nm和γ
从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少。
解答：功率是单位时间内输出的能量，因此，我们设在dt时间内输出的能量为dE，则功率=dE/dt
激光或微波激射器输出的能量就是电磁波与普朗克常数的乘积，即
dE=nhν，其中n为dt时间内输出的光子数目，这些光子数就等于腔内处在高能级的激发粒子在dt时间辐射跃迁到低能级的数目（能级间的频率为ν）。
由以上分析可以得到如下的形式：
n=
dE功率×dt=hνhν
每秒钟发射的光子数目为：N=n/dt,带入上式，得到：
n功率1()−1每秒钟发射的光子数=N===(s)−34
dthν6.626×10J⋅s×νc3×108ms−113
根据题中给出的数据可知：ν1===3×10Hz
−6
λ110×10m
c3×108ms−115
ν2===1.5×10Hz
λ2500×10−9mν3=3000×106Hz
把三个数据带入，得到如下结果：
N1=5.031×1019，N2=2.5×1018，N3=5.031×1023
3设一对激光能级为E1和E2（f1=f2），相应的频率为ν（波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n2和n1，求
(a)当ν=3000兆赫兹，T=300K的时候，n2/n1=?(b)当λ=1μm，T=300K的时候，n2/n1=?(c)当λ=1μm，n2/n1=0.1时，温度T=？
解答:在热平衡下，能级的粒子数按波尔兹曼统计分布，即：
n2f2−(E2−E1)−hν=exp=exp（统计权重f1=f2）n1f1kbTKbT
−23
其中kb=1.38062×10JK−1为波尔兹曼常数，T为热力学温度。n2−hν−6.626×10−34(J⋅s)×ν(a)=exp=exp=0.99n1kbT1.38062×10−23J⋅k−1×T
(b)
(c)
c
n2−hνλ=1.38×10−21
=exp=expn1kbT1.38062×10−23J⋅k−1×T
c
6.626×10−34(J⋅s)×
hν=6.26×103KT=−=−kb×ln2kb×ln2
n1n1
−6.626×10−34(J⋅s)×
+3
4在红宝石调Q激光器中，有可能将几乎全部Cr宝石棒直径为1cm，长度为7.5cm，Cr
+3
离子激发到激光上能级并产生激光巨脉冲。设红
19
离子浓度为2×10
cm−3，巨脉冲宽度为10ns，求激光的最大
能量输出和脉冲功率。
解答：红宝石调Q激光器在反转能级间可产生两个频率的受激跃迁，这两个跃迁几率分别是47%和53%，其中几率占53%的跃迁在竞争中可以形成694.3nm的激光，因此，我们可以把激发到高能级上的粒子数看成是整个激发到高能级的Cr
+3
+3
粒子数的一半（事实上红宝石激光器只有一半的激发粒子对激光有贡献）。
+3
设红宝石棒长为L，直径为d，体积为V，Cr为τ，则Cr
离子总数为：
总数为N，Cr
+3
粒子的浓度为n，巨脉冲的时间宽度
πd2L
N=n×V=n×
4
根据前面分析部分，只有N/2个粒子能发射激光，因此，整个发出的脉冲能量为：
NπnLd2
E=×hν=×hν=
28
脉冲功率是单位时间内输出的能量，即
EπnLd2hνP===解答完毕。
τ8τ
5试证明，由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命为τs
=
1
A21
。
证明如下：根据自发辐射的定义可以知道，高能级上单位时间粒子数减少的量，等于低能级在单位时间内粒子数的增加。即：
dn2⎛dn⎞
=−⎜21⎟dt⎝dt⎠sp
dn211
×dtn2
---------------①（其中等式左边表示单位时间内高能级上粒子数的变化，
高能级粒子数随时间减少。右边的表示低能级上单位时间内接纳的从高能级上自发辐射下来的粒子数。）
再根据自发辐射跃迁几率公式：
A21=
得到：
，把⎜
⎛dn21⎞
⎟=A21n2代入①式，dt⎝⎠sp
dn2
=−A21n2dt
对时间进行积分，得到：具有的粒子数。）
按照能级寿命的定义，当
n2=n20exp(−A21t)
（其中n2随时间变化，n20为开始时候的高能级
n2
=e−1时，定义能量减少到这个程度的时间为能级寿命，用字母τs表示。n20
τs=
1A21
证明完毕
因此，
A21τs=1，即：
6某一分子的能级E4到三个较低能级E1E2和E3的自发跃迁几率分别为A43=5*107s-1,A42=1*107s-1,A41=3*107s-1，试求该分子E4能级的自发辐射寿命τ4。若τ1=5*10-7s，τ2=6*10-9s，τ3=1*10-8s，在对E4连续激发且达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值n1/n4,n2/n4和n3/n4，并说明这时候在哪两个能级
间实现了集居数
解:(1)由题意可知E4上的粒子向低能级自发跃迁几率A4为:
A4=A41+A42+A43=5×107+1×107+3×107=9×107s-1
则该分子E4能级的自发辐射寿命：
τ4=
11−8
==1.1×10sA49×1071Aui
i
结论:如果能级u发生跃迁的下能级不止1条,能级u向其中第i条自发跃迁的几率为Aui则能级u的自发辐射寿命为:
τN=
(2)对E4连续激发并达到稳态,则有:
∆n1=∆n2=∆n3=∆n4=0111
n1=n4A41,n2=n4A42,n3=n4A43
τ1τ2τ3
（上述三个等式的物理意义是：在只考虑高能级自发辐射和
有受激吸收过程，见图）
宏观上表现为各能级的粒子数没有变化由题意可得:
1n
=n4A41,则1=A41τ1=3×10−7×5×10−7=15τ1n4
n2n同理：=A42τ2=1×10−7×6×10−9=0.06，3=A43τ3=5×10−7×1×10−8=0.5
n4n4
nn
进一步可求得:1=250，2=0.12
n2n3
n1
由以上可知:在E2和E4;E3和E4;E2和E3能级间发生了粒子数反转.
7证明，当每个模式内的平均光子数（光子简并度）大于1时，辐射光中受激辐射占优势。
证明如下：按照普朗克黑体辐射公式，在热平衡条件下，能量平均分配到每一个可以存在的模上，即
E=
hγ
=⋅hγhλexp−1
kbT
E
由上式可以得到：==
hγ
（为频率为γ的模式内的平均光子数）
1hγexp−1
kb⋅T
ργ8πhγ311
又根据黑体辐射公式：ργ=×⇒==3
hγhγc38πhγexp−1exp−1kbTkbTc3
8πhγ3A21
根据爱因斯坦辐射系数之间的关系式=和受激辐射跃迁几率公式W21=B21ργ，则可3
Bc21
以推导出以下公式：
=
ργ
8πhγ3
c3ργB21ργW21===21A21A21B21
如果模内的平均光子数（）大于1，即
=
激辐射占优势。证明完毕
W21
>1，则受激辐射跃迁几率大于自发辐射跃迁几率，即辐射光中受A21
−1
8一质地均匀的材料对光的吸收系数为0.01mm，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几？
如果一束光通过长度为1M地均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。
解答：设进入材料前的光强为
α=−
dI(z)1
×的定义，可以得到：dzIzI(z)=I0exp(−αz)
I0
，经过
z
距离后的光强为
I(z)
，根据损耗系数
则出射光强与入射光强的百分比为：
−1I(z)×100%=(exp−αz)×100%=e−(0.01mm×100mm)×100%=36.8%
I0
dI(z)10
根据小信号增益系数的概念：g=×，在小信号增益的情况下，
dzIzkz=
上式可通过积分得到
I(z)=I0expg0z⇒expg0z=
I(z)I(z)⇒g0z=ln⇒g0=I0I0
解答完毕。
I(z)ln
I0ln2===6.93×10−4mm−1
z1000
《激光原理》习题解答第二章习题解答
1试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.
证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。）
根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
设两个凹镜的曲率半径分别是R1和R2，腔长为L，根据对称共焦腔特点可知：
R1=R2=R=L
因此，一次往返转换矩阵为
⎡⎤⎛2LL⎞
⎜⎟1−2L1−⎢⎥⎜R⎟R2⎡AB⎤⎢2⎠⎝⎥T=⎢=⎥⎡2L⎛2L⎞⎛2L⎞⎤⎥2L⎞⎤⎣CD⎦⎢−⎡2+2⎛⎜⎟⎟⎜⎟1−1−1−⎢⎢⎥−⎢−⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎥⎥RRRRRR⎢2⎝1⎠⎦1⎠⎝2⎠⎦⎥⎣1⎝⎣⎣1⎦
把条件R1=R2=R=L带入到转换矩阵T，得到：
⎡AB⎤⎡−10⎤T=⎢=⎢⎥⎥
⎣CD⎦⎣0−1⎦
1
共轴球面腔的稳定判别式子−1
2
11
如果(A+D)=−1或者(A+D)=1，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中
22
因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。
，
⎡1=⎢⎣0r⎡r2⎤⎡12⎡1⎤坐标转换公式为：⎢⎥=T⎢⎥=⎢
⎣θ2⎦⎣θ1⎦⎣0
经过两个往返的转换矩阵式T，T
2
20⎤
1⎥⎦
0⎤⎡r1⎤⎡r1⎤
=⎢⎥⎢⎥⎥1⎦⎣θ1⎦⎣θ1⎦
其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回
到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。2试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。
12L2L2L2
解答如下：共轴球面腔的(A+D)≡1−−+
2R1R2R1R2
，如果满足−1
1
(A+D)
是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。对于平凹共轴球面腔，所以，如果−1
12L2L2L22L(A+D)=1−−+=1−2R1R2R1R2R2
(R1
→∞)
2L
因此，只要满足
R2R2
类似的分析可以知道，凸凹腔的稳定条件是：R1双凹腔的稳定条件是：R1
R2>L,且R1+R2
>L，R2>L（第一种情况）
R1L（第二种情况）
L
（对称双凹腔）R1=R2=R>
2
求解完毕。
3激光腔的谐振腔由一曲率半径为1M的凸和曲率半径为2M的凹面镜构成，工作物质长度为0.5M，其折射率为1.52，求腔长L1在什么范围内谐振腔是稳定的。解答如下：设腔长为
L1，腔的光学长度为L，已知R1=−IM
，
R2=2M
，
L0=0.5M
，
η1=1，η2=1.52，
12L2L2L2根据(A+D)=1−−+
2R1R2R1R2
，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到：
12L2L2L2(A+D)=1+−−=1+L−L221M2M1M×2M
因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。即L
=
L1−L0L0L1−0.50.5
+=+，代入上式，得到：η1η211.52
2
L−0.50.5⎞1
(A+D)=1+L−L2=1+L1−0.5+0.5−⎛+⎜1⎟211.52⎝11.52⎠
1
要达到稳定腔的条件，必须是−1
2
1.17
5有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30CM，方形孔径边长为d=2a=0.12CM，λ=632.8nm，镜的反射率为r1=1，r2=0.96，其他损耗以每程0.003估计。此激光器能否做单模运转？如果想在共焦镜面附近加
一个方形小孔光阑来选择TEM00模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一大略的估计。氦氖激光器增益由公式e
g0l
=1+3⋅10−4
ld
估算，其中的l是放电管长度。
分析：如果其他损耗包括了衍射损耗，则只考虑反射损耗及其他损耗的和是否小于激光器的增益系数，增益大于损耗，则可产生激光振荡。
如果其他损耗不包括衍射损耗，并且菲涅尔数小于一，则还要考虑衍射损耗，衍射损耗的大小可以根据书中的公式δ00=10.9*10-4.94N来确定，其中的N是菲涅尔数。解答：根据e
g0l
=1+3⋅10−4
ld
，可以知道单程增益g0L=ln(1+0.0003L/d)=0.0723
由于反射不完全引起的损耗可以用公式2.1.24或者2.1.25来衡量根据2.1.24得到：
δr≈-0.5lnr1r2=0.0204
根据题意，总的损耗为反射损+其他损耗，因此单程总损耗系数为δ=0.0204+0.0003
如果考虑到衍射损耗，则还要根据菲涅尔数来确定衍射损系数：
此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅尔数为：N=a2/(Lλ)=7.6，菲涅尔数大于一很多倍，因此可以不考虑衍射损耗的影响。
通过以上分析可以断定，此谐振腔可以产生激光振荡。又根据氦氖激光器的多普勒展宽达到1.6GHZ，而纵模及横模间隔根据计算可知很小，在一个大的展宽范围内可以后很多具有不同模式的光波振荡，因此不采取技术措施不可能得到基模振荡。
为了得到基模振荡，可以在腔内加入光阑，达到基模振荡的作用。在腔镜上，基模光斑半径为：
ωos=
=2.46×10−2cmπ
因此，可以在镜面上放置边长为2ω0s的光阑。解答完毕。
6试求出方形镜共焦腔面上TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布吗？解答如下：
方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为
⎛i−ikL⎞aa''
υmn(x,y)=γmn⎜e⎟∫−a∫−aυmnx,ye
⎝Lλ⎠
()
xx'+yy'
ik
L
dx'dy'
−c
+y2
Lλ经过博伊德—戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数
υ
mn
(x
,y
)=
C
mn
H
m
⎛⎜⎜⎝
2π
Lλ
−x2+y2L⎞x⎟⎟H⎠
n
⎛⎜⎜⎝
2π
Lλ
3
⎞y⎟⎟e⎠
(x
2
)
⎛
υ30(x,y)=C30H3⎝
使υ30
(
⎞⎛⎞2π2πx⎟H0y⎟e⎟⎟Lλ⎠⎝Lλ⎠
)
(x,y)=0就可以求出节线的位置。由上式得到：
(⎛⎛2π⎞⎞⎛⎞2π⎟⎜=C308x⎟−12x⎟e⎟⎟⎜Lλ⎟Lλ⎝⎠⎝⎠⎝⎠
−x2+y2
L)
x1=0,x2,3=±
7
32π
，这些节线是等距的。解答完毕。
2lλ
求圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。
m
2
−
解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式
⎛2r⎞n⎛2r⎞
⎟⎜⎟υmn(r,ϕ)=Cmn⎜⎜ω⎟Lm⎜ω2⎟e
⎝0s⎠⎝0s⎠
r2
2
ω0s
⎧cosmϕ⎨
⎩sinmϕ
（这个场对应于TEMmn，两个三角函数因
子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零）
⎛2r⎞2⎛2r⎞
⎟L0⎜2⎟eυ(r,ϕ)=C20⎜对于TEM20：20⎜ω⎟⎜ω⎟⎝0s⎠⎝0s⎠
2
2
r2−2ω0s
⎧cos2ϕ⎨
⎩sin2ϕ
⎛2r2
并且L⎜2
⎜ω⎝0s
20⎞
⎟=1，代入上式，得到⎟⎠
2
⎛2r⎞−ω02s
⎟eυ20(r,ϕ)=C20⎜⎜ω⎟⎝0s⎠
2
r2
⎧cos2ϕ⎨，我们取余弦项，根据⎩sin2ϕ
r2
⎛2r⎞ω02s⎜⎟ecos2ϕ=0υ(r,ϕ)=C2020题中所要求的结果，我们取，就能求出镜面上⎜ω⎟⎝0s⎠
节线的位置。既
cos2ϕ=0⇒ϕ1=
对于TEM02，可以做类似的分析。
π3π,ϕ2=44
2⎛2r⎞0⎛2r2⎞ω02s⎛⎞ω02s2r0
⎟L2⎜2⎟e=C02L2⎜2⎟eυ02(r,ϕ)=C02⎜⎜ω⎟⎜ω⎟⎜ω⎟
⎝0s⎠⎝0s⎠⎝0s⎠
r2r2
⎛2r2
L⎜⎜ω2
⎝0s
02⎞4r22r4⎟⎟=1−ω2+ω4
0s0s⎠
，代入上式并使光波场为零，得到
⎛2r⎞
⎟υ02(r,ϕ)=C02⎜⎜ω⎟⎝0s⎠
⎛2r2
显然，只要L⎜2
⎜ω⎝0s
02
⎛4r2r⎞ω0s
⎜1−2+4⎟e=0⎜ωω⎟
0s0s⎠⎝
2
4
r2
⎞4r22r4
⎟=1−2+4=0即满足上式⎟ω0sω0s⎠
最后镜面上节线圆的半径分别为：
r1=1+
220s,r2=−0s22
解答完毕。
8今有一球面腔，两个曲率半径分别是R1=1.5M，R2=-1M，L=80CM，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的参数，在图中画出等价共焦腔的具体位置。解：共轴球面腔稳定判别的公式是−1
1
这个公式具有普适性（教材36页中间文字部分），(A+D)
2
对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式0
g1g2
LRi
。
题中
L8L8=1−，g2=1−=1−R115R210
g1g2=0.093，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。
g1=1−
任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦腔，他们的行波
场是相同的。
等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标Z1和Z2，再加上它的共焦腔的镜面焦距F，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。
根据公式（激光原理p66-2.8.4）得到：
L(R2−L)0.8×(1−0.8)==−0.18ML−R1+L−R20.8−1.5+0.8−1−L(R1−L)−0.8×(1.5−0.8)Z2===0.62ML−R1+L−R20.8−1.5+0.8−1L(R2−L)(R1−L)(R1+R2−L)0.8×(1−0.8)×(1.5−0.8)(1.5+1−0.8)F2===0.23522
L−R1+L−R20.8−1.5+0.8−1因此F=0.485M
Z1=
等价共焦腔示意图略。
9某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM，R=2M，2a=1CM，波长λ=10.6μm，试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。
解：此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。根据公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到：
⎡⎤g2
ωs1=ω0s⎢⎣g11−g1g2⎦ωs2
⎡⎤g1
=ω0s⎢⎣g21−g1g2⎦
1/4
⎡⎤g2
=Lλ⎢⎣g11−g1g2⎦
1/4
1/4
=1.687×10−6×1.316=2.22×10−6M
1/4
⎡⎤g1
=Lλπ⎢⎥
⎣g21−g1g2⎦
=1.687×10−6×5.333=8.997×10−6M
其中第一个腰斑半径对应平面镜。上式中ω0S
=Lλ是这个平凹腔的等价共焦腔镜面上的腰斑半径，
并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性质，他们具有同一个束腰。
根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知：
ω0=
ω0S1.687
==1.193µM21.414
作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。
即：
δ=
1N
a120.25×10−4===1.615×106
22πωs13.1416×2.22×10−6a120.25×10−4===9.831×104
22πωs13.1416×8.997×10−6根据公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数
Nef1Nef1
根据衍射损耗定义，可以分别求出：
δ1=
10
11=6.2×10−7，δ2==1.02×10−5
Nef1Nef2
相同而曲率半径R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗
a2证明在所有菲涅尔数N=
Lλ
最低。这里L表示腔长，a是镜面的半径。
证明：
⎫
R1+R2=2L⎪
⎪
在对称共焦腔中，R1=R2⎬
R1R2⎪
⎪f==
22⎭
11今有一平面镜和一个曲率半径为R=1M的凹面镜，问：应该如何构成一个平—凹稳定腔以获得最
小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。
解答：
我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。根据公式2.6.14得到：
θ0=2
λfπ
2
，如果平面镜和凹面镜构成的谐振腔所对应的等价共焦腔焦距最大，则可以获得最小的基模
光束发散角。
f=
L(R2−L)(R1−L)(R1+R2−L)
L−R1+L−R22
⇒fmax=0.25m
代入发散角公式，就得到最小发散角为：
θ0=2
λλλ=2=4fπ0.25ππ
发散角与腔长的关系式：
θ0=2
λ=2fπ
λl1−lπ
13某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面镜的R=2M，腔长L=1M，试给出它所产生的高斯光束的束腰腰斑半径的大小和位置，该高斯光束的焦参数和基模发散角。
解答：
F=ω0=
LR2−LR1−LR1+R2−LR1+R2−2L2
=1M
Fλ10.6
==1.84µMπ3.14162λλθ0==1.128=3.67×10−3rad
πω0F
14某高斯光束束腰光斑半径为1.14MM，波长λ=10.6μM。求与束腰相距30厘米、100厘米、1000
米远处的光斑半径及相应的曲率半径。
解答：根据公式（激光原理p71-2.9.4,2.9.6）
ω(z)=ω0
⎛λz⎞⎛z⎞
⎜2⎟1+⎜⎟=ω+0⎜f⎟⎜πω⎟
⎝⎠⎝0⎠
22
把不同距离的数据代入，得到：
ω(30cm)=1.45MM，ω(10m)=2.97CM
⎡⎛πω2
R(z)=z⎢1+⎜⎜λz⎢⎣⎝
，R
，ω
(1000m)=2.97M
曲率半径
⎞
⎟⎟⎠
2
⎤⎥⎥⎦
与不同距离对应的曲率半径为：
R(30cm)=0.79M(10m)=10.015M，R(1000m)=1000M
15若已知某高斯光束的束腰半径为0.3毫米，波长为632.8纳米。求束腰处的q参数值，与束腰距离
30厘米处的q参数值，与束腰相距无限远处的q值。
解答：
束腰处的q参数值实际上就是书中的公交参量（激光原理p73-2.9.12）：
2πω0
q0=if=i=44.68i
λ
根据公式（激光原理p75-2.10.8）
q(z)=q0+z，可以得到30厘米和无穷远处的q参数值分别为q(30)=q0+30=30+44.68i
无穷远处的参数值为无穷大。
16某高斯光束束腰半径为1.2毫米，波长为10.6微米。现在用焦距F=2cm的锗透镜聚焦，当束腰与透镜距离分别为10米，1米，10厘米和0时，求焦斑大小和位置，并分析结果。
解答：
根据公式（激光原理p78-2.10.17和2.10.18）当束腰与透镜距离10米时
ω0=
'
F2ω02
πω
(F−l)2+⎜⎜
⎛⎞
⎟⎟⎝λ⎠
20
2
=2.4µM
同理可得到：解答完毕
17二氧化碳激光器输出波长为10.6微米的激光，束腰半径为3毫米，用一个焦距为2厘米的凸透镜聚焦，求欲得到焦斑半径为20微米及2.5微米时，透镜应该放在什么位置。
解答：根据公式（激光原理p78-2.10.18）
ω=
2'0
F2ω02
(F−l)2
⎛πω02+⎜⎜λ⎝⎞⎟⎟⎠
2
上式中束腰到透镜的距离l就是我们要求的参数，其他各个参数都为已知，代入题中给出的数据，并对上式进行变换，得到
⎛πω02⎞
l−F=−⎜⎜λ⎟⎟'2
ω0⎝⎠
当焦斑等于20微米时，l=1.395M（透镜距束腰的距离）当焦斑等于2.5微米时，l=23.87M
此提要验证
18如图2.2所示，入射光波厂为10.6微米，求ω0及l3。解答：经过第一个透镜后的焦斑参数为：
'20
F2ω02
2
''
ω=
F12ω02
(F1−l1)2
⎛πω+⎜⎜λ⎝
2
20
⎞⎟⎟⎠
2
l=F1+
'
(l1−F1)F12
(l1−F1)2
⎛πω02+⎜⎜λ⎝−F2F22
⎞⎟⎟⎠
2
经过第二个透镜后的焦参数为：
ω
2''0
=
'
F22ω0
(F
2
−l''
)
2
⎛πω'2+⎜0⎜λ⎝⎞⎟⎟⎠
2
l3=F1+
(l(l
''
''
)
−F2
)
2
⎛πω0'2+⎜⎜λ⎝⎞⎟⎟⎠
2
l'+l''=l2
解方程可以求出题中所求。
19某高斯光束束腰腰斑半径为1.2毫米，波长为10.6微米。现在用一个望远镜将其准直。主镜用曲率半径为1米的镀金反射镜，口径为20厘米；副镜为一个焦距为2.5厘米，口径为1.5厘米的锗透镜；高斯光束束腰与透镜相距1米，如图所示。求该望远镜系统对高斯光束的准直倍率。
解答：
根据公式（激光原理p84-2.11.19）
⎛λl⎞⎛l⎞
⎜M'=M+⎜⎟=M+⎜f⎟⎜πω2⎟⎟
⎝⎠⎝0⎠
已知：
22
，其中
M=
F2
F1
，为望远镜主镜与副镜的焦距比。
题中的反射镜，相当于透镜，且曲率半径的一半就是透镜的焦距。
ω0=1.2MM
，l
，
λ=10.6µM
，
F1=2.5CM
，
F2=
R
=50CM2
，
2a1=1.5CM
2a2=20CM
=1M
（经过验证，光斑在第一个透镜表面形成的光斑半径小于透镜镜面尺寸，衍射效应很小，因此可以用准直倍率公式）
代入准直倍率公式得到：
⎛λl
M'=M+⎜⎜πω2
⎝0
解答完毕。
⎞⎛λl⎞F
⎟=21+⎜2⎟=50.97⎟⎜πω⎟F1⎠⎝0⎠
22
20激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为λ的基模高斯光束，今给定功率计，卷
尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束焦参数f的实验原理及步骤。
设计如下：
首先明确焦参数的构成元素为腰斑半径ω0，波长λ及π参数，根据提供的数据，激光器的波长为已知，我们不可能直接测量腔内的腰斑半径（因为是对称腔，束腰在腔内），只能通过技术手段测量发射出来的光波场的腰斑半径，然后利用ω
(z)=
⎛z⎞fλ
⋅+⎜⎜f⎟⎟π⎝⎠
2
这里的z是由激光器腔中心到光功率计的距
离，用卷尺可以测量。光功率计放置在紧贴小孔光阑的后面，沿着光场横向移动，测量出ω的ω
(z)。把测量
(z)和z代入公式，可以求出焦参数。
设计完毕（以上只是在理论上的分析，实际中的测量要复杂得多，实验室测量中会用透镜扩束及平面
镜反射出射光，增加距离进而增加测量精度）
21二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜构成，两个镜面的曲率半径分别是1米和两米，光腔长度为0.5米。
问：如何选择高斯光束腰斑的大小和位置，才能使它构成该谐振腔的自再现光束。解答：
高斯光束的自再现条件是（激光原理p84-2.12.1及2.12.2）：
'⎧⎪ω0=ω0⎨'⎪⎩l=l
qc(lc=l)=q(0)
根据公式（激光原理p78-2.10.17及2.10.18）
ω=
2'0
F2ω02
(F−l)2
⎛πω02+⎜⎜λ⎝⎞⎟⎟⎠
2
经过曲率半径为1米的反射镜后，为了保证自再现条件成立，腔内的束腰半径应该与经过反射镜的高斯光束的束腰相同，因此得到：
1=
F12
(F
1
−l1
)
2
⎛πω+⎜⎜λ⎝
20
⎞⎟⎟⎠
2
1
同理，经过第二个反射镜面也可以得到：
1=
F22
⎛πω⎞2
⎜−l)+22⎜λ⎟⎟⎝⎠
l1+l2=L
(F
20
2
2
3
根据以上三个式子可以求出l1，l1，ω0
l1=0.375M
解答完毕。
，l2
=0.125M
，ω0
=1.63µM
22（1）用焦距为F的薄透镜对波长为λ、束腰半径为ω0的高斯光束进行变换，并使变换后的高斯
2πω0
光束的束腰半径ωf和F
λ
'0
何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离？（2）在聚焦过程中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离不变，如何选择透镜的焦距F？
解答：（1）根据ω
2'0
=
F2ω02
πω
(F−l)2+⎜⎜
⎛⎞
⎟⎟⎝λ⎠
20
2
=
F2ω02
F−l2+
f
2
可知
ω0'F2
=2
ω0F−l2+f
通过运算可得到：
2
2
0
l>F+F2+f
2
或者l
2
（舍去）
（2）参考《激光原理》p81-2.
'
l一定时，ω0随焦距变化的情况。
23试用自变换公式的定义式qc
2
1⎡⎛πω0
件式F=l⎢1+⎜
2⎢⎜λl⎣⎝
(lc=l)=q0（激光原理p84-2.12.2），利用q参数来推导出自变换条
⎞
⎟⎟⎠
2
⎤⎥⎥⎦
证明：
πω02
设高斯光束腰斑的q参数为q0=if=i，腰斑到透镜的距离为l，透镜前表面和后表面的q参
λ
数分别为q1、q2，经过透镜后的焦斑处q参数用qc表示，焦斑到透镜的距离是lc=l，透镜的焦距为F。
根据q参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的q参数，分别是：透镜前表面：q1
=q0+l111
透镜后表面：=−
q2q1F
焦斑的位置：qc=q2+lc
把经过变换的q2
=
Fq1F−q1
代入到焦斑位置的q参数公式，并根据自再现的条件，得到：
Fq1⎫
+lc⎪F−q1
⎪
2
lc=l⎪1⎡⎛πω0
⎬由此可以推导出F=l⎢1+⎜2
2⎢⎜πω0⎝λl⎪⎣qc=q0=if=i⎪λ
⎪
q1=q0+l⎭qc=q2+lc=
⎞
⎟⎟⎠
2
⎤⎥⎥⎦
证明完毕。
24试证明在一般稳定腔中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径必分别等于各镜面的曲率半径。
证明
设一般稳定腔的曲率半径分别是R1、R2，腔长为L，坐标取在这个稳定腔的等价共焦腔中心上，并且坐标原点到镜面的距离分别是z1和
根据25试从式
z2，等价共焦腔的焦距为f
和
。
B=
2L(L−R2)2L−R1−R2
112
−=l1+Ll2R2
，C
112
−=l2+Ll1R1
导出
l12+Bl1+C=0
，其中的
=
，
LR1(L−R2)2
，并证明对双凸腔B−4C>0
2L−R1−R2L=0.25M
，
解答：略26试计算
R1=1Ma1=2.5CM
，
a2=1CM
的虚共焦腔的
ξ单程和
ξ
往返
.若想保持a1不变并从凹面镜M1端单端输出，应如何选择a2？反之，若想保持a2不
变并从凸面镜M2输出，a1如何选择？在这两种情况下，ξ单程和ξ往返各为多大？
解答：
⎫⎪⎪R1R2
+=L⎪22⎪2g1g2=g1+g2⎪
⎪
a1'⎪
虚共焦腔的特点：m1==1⎬激光原理p91,96
a1
⎪
'a2R1⎪
⎪m2==
a2R2⎪
⎪R1⎪
M=m1m2=
R2⎪⎭1⎫
ξ单程=1−
⎪M⎪
⎬激光原理p97-2.1511,2.15.121⎪
ξ往返=1−2
M⎪⎭
R2⎫1
ξ单程=1−=1−⎪根据MR1⎬⇒ξ单程=50%，
⎪
R2=2L−R1=−0.5m⎭
同理：
ξ往返=1−
1
=75%M2
≥a0，a2≈
单端输出：如果要从虚共焦非稳定腔的凸面镜单端输出平面波，并使腔内振荡光束全部通过激活物质，则凹面镜和凸透镜的选区要满足：a1
a0M
，其中的a分别代表（按角标顺序）工作物质的半
径、凹面镜半径、凸面镜半径
1实施意义上的单面输出（从凸面镜端输出）：按照图（激光原理p96-图2.15.2a）为了保证从凸面镜到凹面镜不发生能量损失，则根据图要满足：
⎛R2⎞⎜⎟
⎝2⎠=R2=a2
R1a1⎛R1⎞
⎜⎟⎝2⎠
为：
因为凸面镜的尺寸不变，所以在曲率半径给定的条件下，凹面镜的半径应该
a1=a2⋅
R1
=2CMR1
2从凹面镜端输出，只要保证有虚焦点发出的光到达凹面镜后的反射光（平行光）正好在凸面镜的限度范围内，则可保证从凹面镜单端输出。
因此，此时只要满足a1
=a2即可，因此a2=2.5CM
这两种情况下的单程和往返损耗略。解答完毕。第三章习题1．试由式（3.3.5）导出式（3.3.7）,说明波导模的传输损耗与哪些因素有关。在其他条件不变时，若
波导半径增大一倍，损耗将如何变化？若λ减小到原来的下才能获得低的传输损耗？
解：由γnm
2，损耗又将如何变化？在什么条件
1u2η
≈k[1−(nm)2(1−in及γnm=βnm+iαnm可得：
2kaka
1u2
βnm=Re{γnm}=k[1−(nm2(1+Im{ηn})]
2kaka1unm2−2unm2λ2
αnm=Im{γnm}=−k()Re{ηn}=()0Re{ηn}3
2kaka2πa
波导模的传输损耗αnm与波导横向尺寸a,波长λ0，波导材料的折射率实部以及不同波导模对应得
不同unm值有关。
（a）波导半径增大一倍，损耗减为原来的
1。8
1。4
（b）波长减小到原来的一半，损耗减为原来的
获得低的传输损耗应增大波导横向尺寸，选择折射率实部小的介质材料和unm小的波导模。2.试证明，当η为实数时，若η
>2.02，最低损耗模为TE01模，而当η
明TE01模的损耗永远比TM01模低。证明：
αnm
⎧1⎪,对TE0m模
2
⎪−1⎪2
unm2λ0⎪η2=(),对TM0m模⎨
2πa3⎪2−1
⎪2
⎪1η+1,对EH模
nm
⎪22−1⎩
，
(3.3.8)
对于以上三种不同模，参看书中表3.1，对于同一种模式，m越小，损耗越小，因此以下考虑TE01，
TM01
TM01α01EH11模之间谁最小（EH11中n=1最小）题中设η为实数，显然η>1，TE01
,只需考虑TE01与EH11:>α01
所以
TE012
α01u012当EH=2>1时，EH11小⇒η
TE01α01
当EH2.02α1111
3.BeO在10.6µm波长时Re{ηn}=0.033，试求在内径为2a=1.4mm的BeO波导管中EH11模
和EH12模的损耗a11和a12，分别以cm
−1
，m
−1
以及dBm来表示损耗的大小。当通过10cm长的这
种波导时，EH11模的振幅和强度各衰减了多少（以百分数表示）？
unm2λ2
解：由αnm=(0Re{ηn}
2πa3
α11=1.58×10−5cm−1=1.58×10−3m−1，L11=8.686α11=1.37×10−2dB/mα12=8.34×10−5cm−1=8.34×10−3m−1，L12=7.24×10−2dB/m。
E(z)I(z)
当z=10cm时，1−≈0.02%，1−≈0.04%
E(0)I(0)
−1
4.试计算用于10.6µm波长的矩形波导的a11值，以cm及dBm表示，波导由BeO制成，Re{ηn}=0.033，2a=1.4mm，计算由SiO2制成的同样的波导的a11值，计算中取Re{ηn}=1.37。
1λ20
解：α11=Re{ηn}3
8a
BeO:α11=1.35×10−3m−1=1.35×10−5cm−1
L11=8.686α11=0.012dBm
SiO2:α11=0.056m−1=5.6×10−4cm−1
L11=8.686α11=0.487dBm。
5.某二氧化碳激光器用SiO2作波导管，管内径2a=1.4mm，取Re{ηn}=1.37，管长10cm,两端对称地各放一面平面镜作腔镜。试问：为了EH11模能产生振荡，反射镜与波导口距离最大不得超过多少？
计算中激活介质增益系数0.01cm
2
−1
。
⎛u11⎞λ2
解：α11=⎜ηn}=6.575×10−4cm−1，⎟3Re{
⎝2π⎠a
z=10cm时，egz=e(g0−2α11)z=1.0907，
3
而平面反射镜所产生的耦合损耗为
z
(
：
⎛z⎞2
C11=0.57×⎜⎟
⎝f⎠
，其中
2πω0f=,ω0=0.6435a。
λ
gz
为使EH11模能产生振荡则要求e(1−C11)>1，得：
z
第四章
1静止氖原子的3S2
→2P4谱线中心波长为632.8纳米，设氖原子分别以0.1C、O.4C、O.8C的速度向着
观察者运动，问其表观中心波长分别变为多少？解答：
根据公式（激光原理P136）
ν=ν0λν=υ
υυ1−c
1+
由以上两个式子联立可得：
λ=
C−υ
×λ0
C+υ
代入不同速度，分别得到表观中心波长为：
λ0.1C=572.4nm，λ0.4C=414.26nm，λ0.9C=210.9nm
解答完毕（验证过）
2设有一台麦克尔逊干涉仪，其光源波长为λ，试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离L时，接收屏上的干涉光强周期性的变化2L
λ次。
证明：
对于迈氏干涉仪的两个臂对应两个光路，其中一个光路上的镜是不变的，因此在这个光路中不存在多普勒效应，另一个光路的镜是以速度υ移动，存在多普勒效应。在经过两个光路返回到半透镜后，这两路光分别保持本来频率和多普勒效应后的频率被观察者观察到（从半透境到观察者两个频率都不变），观察者感受的是光强的变化，光强和振幅有关。以上是分析内容，具体解答如下：无多普勒效应的光场：Eν产生多普勒效应光场：E
ν
''
=E0cos(2πν⋅t)
=E0cos(2πν''⋅t)
在产生多普勒效应的光路中，光从半透经到动镜产生一次多普勒效应，从动镜回到半透镜又产生一次多普勒效应（是在第一次多普勒效应的基础上）第一次多普勒效应：ν
'
⎛υ⎞=ν⎜1+⎟
c⎠⎝
2
'
⎛υ⎞⎛υ⎞⎛2υ⎞
第二次多普勒效应：ν=ν⎜1+⎟=ν⎜1+⎟≈ν⎜1+⎟
c⎠c⎠⎝c⎠⎝⎝
⎧⎛⎛2υ⎞⎞⎫
E=E1+E2=E0⎨cos(2πν⋅t)+cos⎜⎜2πν⎜1+c⎟⋅t⎟⎟⎬=
⎝⎠⎠⎭⎝⎩在观察者处：
υ⎛⎞⎛υ⎞
=2E0cos⎜2πν⋅t+2πν⋅t⎟⋅cos⎜2πν⋅t⎟
c⎝⎠⎝c⎠
''
观察者感受到的光强：I=
I0
2
⎧⎡⎛υ⎞⎤⎫1+cos2π2ν⋅⎟⋅t⎥⎬⎨⎢⎜c⎠⎦⎭⎣⎝⎩
显然，光强是以频率2ν⋅
υ
为频率周期变化的。c
因此，在移动的范围内，光强变化的次数为：
υ⎞'⎛υ⎞L2ν⋅L2L⎛2ν⋅×t=2ν⋅=⎜⎟⎜⎟×=
c⎠c⎠υcλ⎝⎝
证明完毕。（验证过）
3在激光出现以前，Kr86低气压放电灯是最好的单色光源。如果忽略自然加宽和碰撞加宽，试估计在77K温度下它的605.7纳米谱线的相干长度是多少？并与一个单色性Δλ/λ=10-8的He-Ne激光器比较。解：根据相干长度的定义可知，Lc
=
c∆ν
。其中分母中的是谱线加宽项。从气体物质的加宽类型看，因
为忽略自然和碰撞加宽，所以加宽因素只剩下多普勒加宽的影响。根据P138页的公式4.3.26可知，多普勒加宽：
∆νD
T
=7.16×10ν0(2
M
−7
1
因此，相干长度为：
Lc=
c=∆νD
c
7.16×10−7ν0(
TM
12
=89.4cm
根据题中给出的氦氖激光器单色性及氦氖激光器的波长632.8纳米，可根据下述公式得到氦氖激光器的相干长度：
cLc==
∆ν
cλ2λ
===632.8×10−9×108=6328cm∆λ∆λ∆λνλ
可见，即使以前最好的单色光源，与现在的激光光源相比，相干长度相差2个数量级。说明激光的相干性很好。
4估算CO2气体在300K下的多普勒线宽ΔνD，若碰撞线宽系数α=49MHZ/Pa，讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。
解：根据P138页的公式4.3.26可知，多普勒加宽：
T
∆νD=7.16×10−7ν0(2=53MHZ
M
因为均匀加宽过渡到非均匀加宽，就是∆νD≈∆νL的过程，据此得到：
∆νD
∆νD≈∆νL=αP，得出P==1.08×103Pa
α
结论：气压P为1.08×103Pa时,是非均匀加宽与均匀加宽的过渡阈值，.当气压远远大于1.08×103Pa的情况下,加宽主要表现为均匀加宽。（验证过）
5氦氖激光器有下列三种跃迁，即3S2-2P4的632.8纳米，2S2-2P4的1.1523微米和3S2-3P4的3.39微米的跃迁。求400K时他们的多普勒线宽，并对结果进行分析。
解：根据P138页的公式4.3.26，可分别求出不同跃迁的谱线加宽情况。3S2-2P4的632.8纳米的多普勒加宽：
1
∆νD
TcT2
=7.16×10ν0(2=7.16×10−7()=1.5GHz
Mλ0M
−7
11
2S2-2P4的1.1523微米的多普勒加宽：
∆νD
TcT2
=7.16×10ν0(2=7.16×10−7(=0.83GHz
Mλ0M
−7
11
3S2-3P4的3.39微米的多普勒加宽：
∆νD
TcT2
=7.16×10ν0(2=7.16×10−7(=0.28GHz
Mλ0M
−7
11
由以上各个跃迁的多普勒线宽可见，按照结题结果顺序，线宽是顺次减少，由于题中线宽是用频率进行描述，因此频率线宽越大，则单色性越好。（验证过）
6考虑二能级工作系统，若E2能级的自发辐射寿命为τS，无辐射跃迁寿命为τnr。假设t=0时激光上能级E2的粒子数密度为n2(0)，工作物质的体积为V，发射频率为ν，求：（1）自发辐射功率随时间的变化规律。（2）E2能级的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数。（3）自发辐射光子数与初始时刻E2能级上的粒子数之比η2。解：
（1）根据P11相关内容，考虑到E2的能级寿命不仅仅是自发辐射寿命，还包括无辐射跃迁寿命，因此，E2能级的粒子数变化规律修正为：
n2(t)=n2(0)en2(t)V
−
tτ
，其中的τ与τS、τnr的关系为
111=+ττSτnr
，为E2能级的寿命。
在时刻t，E2能级由于自发和无辐射跃迁而到达下能级的总粒子数为：
由于自发辐射跃迁而跃迁到激光下能级的粒子数为n2(t)VA21，因此由于自发辐射而发射的功率随时间的变化规律可以写成如下形式：
P21(t)=n2(t)VA21hν=n2(0)V
dn21
1
τ
hνe
−
tτ
S
（2）由上式可知，在t-t+dt时间内，E2能级自发辐射的光子数为：
P21(t)1−τt=dt=n2(t)VA21dt=n2(0)Vedt
hντS
∞
则在0-∞的时间内，E2能级自发辐
射的光子总数为：
n21=∫dn21=∫
∞P21(t)1dt=∫n2(t)VA21dt=n2(0)V
0hντS
∫
∞
edt=
−
t
τ
τ
n2(0)VτS
（3）自发辐射光子数与初始时刻能级上的粒子数之比为:
η2=
n21τ
=
n2(0)VτS
此题有待确认
7根据激光原理4.4节所列红宝石的跃迁几率数据，估算抽运几率W13等于多少时红宝石对波长694.3纳米的光透是明的（对红宝石，激光上、下能级的统计权重为解答：已知红宝石的
f1=f2=4，且计算中可不考虑光的各种损耗）
S32=0.5×107S−1，A31=3×105S−1，A21=0.3×103S−1，S21≈0，
S31≈0
分析如下：增益介质对某一频率的光透明，说明介质对外界光场的吸收和增益相等，或者吸收极其微弱，以至于对进入的光场强度不会产生损耗。对于本题中的红宝石激光器，透明的含义应该属于前者。根据公式：
dn3⎫
=n1W13−n3(A31+S32)⎪dt
⎪
dn2
=n1W12−n2W21−n2(A21+S21)+n3S32⎪⎬（激光原理P146-4.4.22）dt⎪n1+n2+n3=n⎪
⎪B12f1=B21f2⇒B12=B21⎭
由上边的第二项和第四项，可以得到：
dn2
=n1W12−n2W21−n2(A21+S21)+n3S32=dt
=B21ρ(n1−n2)−n2(A21+S21)+n3S32
又因为小信号下（粒子数翻转刚刚达到阈值）S32
--------------------------------------1
>>A21，因此n3≈0，且
dn3
≈0dt
n1W13
由此，方程组的第一个式子可以转变为：n3=
A31+S32
，代入1式，得到：
nWSdn2
=B21ρ(n1−n2)−n2(A21+S21)+n3S32==B21ρ(n1−n2)−n2(A21+S21)+11332dtA31+S32
既然对入射光场是透明的，所以上式中激光能级发射和吸收相抵，即激光上能级的粒子数密度变化应该与光场无关，并且小信号时激光上能级的粒子数密度变化率为零，得到
dn2nWSnWS⎫
=B21ρ(n1−n2)−n2(A21+S21)+11332=−n2(A21+S21)+11332=0⎪dtA31+S32A31+S32⎬
⎪B21ρ(n1−n2)=0⇒n1−n2⎭
最后得到：
⎛A31⎞2−1
⎟W13≈A21⎜1+=3.18×10S⎜⎟S32⎠⎝
解答完毕。（验证过）11
λ20
短波长（真空紫外、软X射线）谱线的主要加宽是自然加宽。试证明峰值吸收截面为σ=
2π
。
证明：根据P144页吸收截面公式4.4.14可知，在两个能级的统计权重f1=f2的条件下，在自然加宽的情况下，中心频率ν0处吸收截面可表示为：
A21v21σ12=--------------------------------------------------122
4πν0∆νN
1
上式∆νN=（P133页公式4.3.9）
2πτs1
又因为A21=，把A21和ΔνN的表达式代入1式，得到：
τsλ2
σ21=0
2π
证毕。（验证过）
12已知红宝石的密度为3.98g/cm3，其中Cr2O3所占比例为0.05%（质量比），在波长为694.3nm附近的峰
-1值吸收系数为0.4cm，试求其峰值吸收截面（T=300K）。
解：
分析：红宝石激光器的Cr3+是工作物质，因此，所求峰值吸收截面就是求Cr3+的吸收截面。根据题中所给资料可知：
Cr2O3的质量密度为3.98g/cm3×0.05%=1.99×10-3g/cm3,摩尔质量为52×2+16×3=152g/mol设Cr3+的粒子数密度为n，则n=2×（1.99×10-3/152）×6.02×1023=1.576×1019/cm3根据α
=σ12∆n可知，σ12=
α∆n
hν
−n2
根据n≈n1+n2，Δn=n1-n2,且=eKT，其中
n1
3×108
6.62×10×−9hν==69，可知E2
KT1.38×10−23×300
−34
能级粒子数密度接近于零，可求出Δn=n1=1.756×1019/cm3，代入到σ12
=
α
，可求出：∆n
σ12
α0.4/cm−1−202===2.55×10cm∆n1.576×1019/cm3
解答完毕。13略
14在均匀加宽工作物质中，频率为ν1、强度为Iν1的强光增益系数为gH(ν1,Iν1),gH(ν1,Iν1)---ν1关系曲线称为大信号增益曲线，试求大信号增益曲线的宽度ΔνH。解：
大信号增益系数表达式为P153-4.5.17：
∆νH2
)
0gH(ν1,Iν1)=gH(ν0)
ν1∆ν22
(ν1−ν0)+()[1+]
2IS
(
根据谱线宽度的定义：增益下降到增益最大值的一半时，所对应的频率宽度，叫做大信号增益线宽。
根据大信号增益曲线表达式可知，其中心频率处具有最大增益，即ν1=ν0时。在此条件下，增益最大值为：
gHmax(ν0,Iν1)=gH(ν0)
1
Iν1
[1+IS
1+
根据
gH(ν1,Iν1)=
1∆νHgHmax(ν0,Iν1)，可求出当1−ν0=22
Iν1IS
时满足增益线宽条件，
因此，线宽位：
∆ν=21−ν0=∆νH+
Iν1IS
解答完毕。
15有频率为ν1、ν2的两强光入射，试求在均匀加宽情况下：(1)频率为ν的弱光的增益系数。
(2)频率为ν1的强光增益系数表达式。
(设频率为ν1和ν2的光在介质里的平均光强为Iν1、Iν2)解：在腔内多模振荡条件下，P151-4.5.7应修正为：
∆n=
1+
∆n0
Iν1IS(ν1)
+
Iν2IS(ν2)
=+⋯
∆n0
1+∑
i
IνiIS(νi)
根据P150-4.5.5可知，增益系数与反转粒子数成正比，即：
g=∆nσ21(ν,ν0)
把修正后的反转粒子数表达式代入上式，得到：
σ21(ν,ν0)∆n0
g=∆nσ21(ν,ν0)=
Iνi
1+∑
νi)iIS(
因此，所求第一问“频率为ν的弱光的增益系数”为：
gH(ν,Iν1,Iν2)=∆nσ21(ν,ν0)=
1+
gH(ν)
Iν1IS(ν1)
+
Iν2IS(ν2)
第二问“频率为ν1的强光增益系数表达式”为：
gH(ν1,Iν1,Iν2)=∆nσ21(ν1,ν0)=
1+
0gH(ν1)
Iν1IS(ν1)
+
Iν2IS(ν2)
解答完毕。
17激光上下能级的粒子数密度速率方程表达式为P147-4.4.28所示。
(1)试证明在稳态情况下，在具有洛伦兹线型的均匀加宽介质中，反转粒子数表达式具有如下形式：
∆n0
∆n=
1+φτ21σ21ν1,ν0υNl
，其中φ
⎡⎤fττ=δ⎢1+21(1−δ)⎥，δ=2
τ21f1τ2⎣⎦
，Δn0是小信号反转粒
子数密度。
(2)写出中心频率处饱和光强Is的表达式。(3)证明
τ1
解：1稳态工作时,由激光上、下能级的粒子数密度速率方程(4.4.28)可得:
dn2nf
----------------------------------------------1=R2−2−(n2−2n1)σ21(ν1,ν0)vNl
dtτ2f1dnnnf
0=1=R1−1+2+(n2−2n1)σ21(ν1,ν0)vNl---------------------------------------------2
dtτ1τ21f1
f
------------------------------------------------------------------3∆n=n2−2n1
f1
其中R1≈0，R2=n0W03τ2
0=
由(3)式和(2)式可得:
n2=∆n+
=∆n[1+
整理得:
f2fn
n1=∆n+2[τ1(∆nσ21(ν1,ν0)vNl+2)]=f1f1τ21
f2fτ1σ21(ν1,ν0)vNl]+21n2f1f1τ21f2
τ1σ21(ν1,ν0)vNlf1
∆n
211−
f1τ21
f2
τ1σ21(ν1,ν0)vNlf1
∆n=∆nτ2σ21(ν1,ν0)vNl
211−
f1τ21
1+
n2=
将(4)代入(1)式:
1+
R2τ2−
整理得：
∆n=
R2τ2
=
f2
1+τ1σ21(ν1,ν0)vNl
f1
τ2σ21(ν1,ν0)vNl+
fτ1−21
f1τ21
n0W03τ2(1−
f2τ1
)f1τ21
==
f2τ1f2
1+τ2σ21(ν1,ν0)vNl(1−)+τ1σ21vN
f1τ21f1
∆n0
=
1+φτ21σ21(ν1,ν0)vNl
其中φ(2)
⎡⎤fττ=δ⎢1+21(1−δ)⎥，δ=2
f1τ2τ21⎣⎦
，Δn0是小信号反转粒子数密度。
n0W
∆n=
1+[τ2σ
21
03τ
2
(1−
(ν
1
,ν
)(1−
03τ
21
f1τ21
(1−
f2τ1
)
f1τ21
2
)+τ1σ
f1
=
21
(ν
1
,ν
)]vN
n0W
=
1+[τ2σ
21
2
(ν
1
,ν
)(1−
03τ
f2τ1f1τ21
2
f2τ1
)
f1τ21
f2
+τ1σ
f1
21
(ν
1
,ν
)]
Iν1hν
=
n0W
=1+
(1−
f2τ1
)
f1τ21
τ2σn0W
=
1+
03τ
2
21
(ν
1
,ν
)(1−
Iν1hν021
)+
f1τ21
=
2
τ1σf1
21
(ν
1
,ν
)
(1−
f2τ1
f1τ21
1
Iν1I
S
(ν)
当ν1=ν0时，
(3)
hν0hν0
=
fτffττ
τ2σ21(1−21)+2τ1σ21τ2σ21+2σ21(τ1−12)
f1τ21f1f1τ21
高功率的激光系统中τ2≈τ21
IS(ν0)=
τ当1
2
+δν
和ν0
22设有两束频率分别为ν0
−δν
，光强为I1和I2的强光沿相同方向或者相反方向通过中心
频率为ν0的非均匀加宽增益介质，I1>I2。试分别划出两种情况下反转粒子数按速度分布曲线，并标出
烧孔位置。
分析:
非均匀加宽的特点是增益曲线按频率分布，当有外界入射光以一定速度入射时，增益曲线对入射光频率敏感，且产生饱和效应的地方恰好是外界光场频率对应处，而其他地方则不会产生增益饱和现象。当然，产生增益饱和的频率两边一定频谱范围内也会产生饱和现象，但是与外界光场对应的频率出饱和现象最大最明显。
设外界光场以速度υz入射，作为增益介质，感受到的表观频率为：
⎛υ⎞'
ν0'=ν0⎜1+z⎟，当增益介质的固有频率ν=ν0时，产生激光（发生粒子数反转）
c⎠⎝
而发生粒子数翻转所对应的速度为：正方向：υz
ν0
(ν0−ν)负方向：υz=c⋅
ν0
一、当都是正方向入射时，两束光对应的速度分别为：
=c⋅
(ν−ν0)
ν0ν0
(ν−ν0)=c⋅(ν0−δν−ν0)=−c⋅δν
υz2=c⋅2
ν0ν0ν0
也就是说在反转粒子数按速度分布图上，在速度等于υz1和υz1处形成反转粒子数饱和效应。
根据公式（激光原理p156-4.6.7）对于υz1，孔的深度为：∆n
υz1=c⋅
(ν1−ν0)=c⋅(ν0+δν−ν0)=c⋅δν
ν0
(ν1)−∆n(ν1)=(ν2)−∆n(ν2)=
Iν1Iν1+IS
Iν2Iν2+IS
∆n0(ν1)∆n0(ν2)
对于υz2，孔的深度为：∆n
又因为线型函数以ν0为对称形式，且两个入射光产生烧孔的位置也以ν0为中心对称分布，因此，产生烧孔的两个对称位置处的小信号反转粒子数相等，即因为Iν即：
1
∆n0(ν1)=∆n0(ν2)，因此，两个烧孔的深度相比，
>Iν2，所以两个孔的深度入射光强大的反转粒子数深度大。
Iν1
Iν1+IS∆n0(ν1)−∆n(ν1)I1I2+I1IS
两孔深度比：α===>10
II1I2+I2IS∆nν2−∆nν2ν2
∆n0(ν2)Iν2+IS
二、两束光相对进入增益介质类似上面的分析可得到：
∆n0(ν1)
υz1=υz2=
cδνν0
，可见烧孔位置重合，烧一个孔
因为两个光强不同的外场同时作用于某一品率处而产生增益饱和（反转粒子数饱和），因此，次品率处的光强是两个光强的和，因此，烧孔深度为解答完毕。
第五章激光振荡特性
2．长度为10cm的红宝石棒置于长度为20cm的光谐振腔中，红宝石694.3nm谱线的自发辐射寿命
I
(I
ν1
+Iν2
ν1
+Iν2+IS
)
∆n0(ν2)
τs≈4×10−3s，均匀加宽线宽为2×105MHz。光腔单程损耗δ=0.2。求
(1)阈值反转粒子数∆nt；
(2)当光泵激励产生反转粒子数∆n解：(1)阈值反转粒子数为：
=1.2∆nt时，有多少个纵模可以振荡？(红宝石折射率为1.76)
δ4π2∆νHη2τsδ∆nt==
σ21llλ2
4π2×2×1011×1.762×4×10−3×0.2−3
=cm−72
10×(694.3×10)
(2)
=4.06×1017cm−3
按照题意gm=1.2gt，若振荡带宽为∆νosc，则应该有
⎛∆νH⎞⎜⎟2⎠⎝1.2gt=gt22
⎛∆νosc⎞⎛∆νH⎞⎜2⎟+⎜2⎟⎝⎠
⎝⎠
2
由上式可以得到
∆νosc=νH=8.94×1010Hz
相邻纵模频率间隔为
cc3×1010
∆νq===
2l′2(l×1.76+(L−l))2(10×1.76+10)
=5.43×108Hz
所以
∆νosc8.94×1010
==164.68
∆νq5.43×10
所以有164~165个纵模可以起振。
3．在一理想的三能级系统如红宝石中，令泵浦激励几率在t=0瞬间达到一定值
W13
，
W13>(W13)t[(W13)t为长脉冲激励时的阈值泵浦激励几率]。经τd时间后系统达到反转状态并产生振荡。试求
τd−W13/(W13)t的函数关系，并画出归一化τd/τs−W13/(W13)t的示意关系曲线(令ηF=1)。
解：根据速率方程(忽略受激跃迁)，可以知道在达到阈值之前，在t时刻上能级的粒子数密度n2(t)与时间t的关系为
nW13−(A21+W13)t
⎡⎤n2(t)=1−e (1)⎣⎦A21+W13
当t
=τd时，∆n=∆nt，即
nW13−(A21+W13)τd⎡⎤n2(τd)=1−e⎣⎦A21+W13
n+∆ntn
=≈ (2)
22
由(1)可知，当时间t足够长的时候
n2(t)≈
由上式可知
nWA21+W13
(W13)t=A21
由(2)式可得
τd=
⎛2W13⎞1
ln⎜⎟
A21+W13⎝W13−A21⎠
⎛2W13⎞⎜(W)⎟113t
⎟ =ln⎜
⎡W13⎤⎜⎟13
−1(W13)⎢1+⎟⎥⎜(W)(W)13t⎝⎠⎣13t⎦
所以
⎛2W13⎞
⎜(W)⎟τd113t
⎟=ln⎜
τs1+13⎜13−1⎟
⎟(W13)t⎜⎝(W13)t⎠
所以归一化τd
/τ
s−W13/(W13)t的示意关系曲线为
τd/τs
W13/(W13)
．脉冲掺钕钇屡石榴石激光器的两个反射镜透过率T1、T2分别为0和0.5。工作物质直径d=0.8cm，折射
率η=1.836，总量子效率为1，荧光线宽∆νF吸收带的平均波长λP
解：δ
=1.95×1011Hz，自发辐射寿命τs=2.3×10−4s。假设光泵
=0.8μm。试估算此激光器所需吸收的阈值泵浦能量Ept。
=
1⎛1⎞
ln⎜⎟=0.352⎝1−T2⎠
dhνpδπ()2232
hcδdπη∆νHτ=Ept=
η1σ32λpλ02
6.626×10−34×0.35×3×1010×π3×1.8362×1.95×1011×0.82×2.3×10−4
=J
0.8×10−4×(1.06×10−4)2
=0.073J
5．测出半导体激光器的一个解理端面不镀膜与镀全反射膜时的阈值电流分分别为J1与J2。试由此计算激光器的分布损耗系数α(解理面的反射率r≈0.33)。
解：不镀膜的时候，激光器端面的反射率即为r，镀了全发射膜之后的反射率为R=1，设激光器的长度为l，则有
11
J1=α(ln+αl)
lr11
J2=α(ln+αl)
lR
由这两式可以解得
J111ln−lnJRrln3α=2=
Jl(J1/J2−1)l(1−1J2
即得到了激光器的分布损耗系数。
7．如图5.1所示环形激光器中顺时针模式φ+及逆时针模φ−的频率为νA，输出光强为I+及I−。(1)如果环形激光器中充以单一氖同位素气体Ne增益曲线及反转粒子数密度的轴向速度分布曲线。
(2)当νA
解释其原因。
(3)环形激光器中充以适当比例的Ne
20
20
，其中心频率为ν01，试画出νA≠ν01及νA=ν01时的
≠ν01时激光器可输出两束稳定的光，而当νA=ν01时出现一束光变强，另一束光熄灭的现象，试
及Ne
22
的混合气体，当νA=ν01时，并无上述一束光变强，另一
束光变弱的现象，试说明其原因(图5.2为
g0(ν
002
Ne20、Ne22及混合气体的增益曲线)，ν01、ν02及ν0分别为
Ne20、Ne22及混合气体增益曲线的中心频率，ν02−ν01≈890MHz。
图5.1图5.2
(4)为了使混合气体的增益曲线对称，两种氖同位素中哪一种应多一些。解：(1)
νA≠ν
01时
νA=ν
01时
(2)
νA≠ν01时，φ+及φ−分别使用不同速度的反转原子，φ+使用速度为v+的高能级原子，φ
−使用速度
为v−的高能级原子，这样φ+和φ−不会彼此的争夺高能级原子，所以激光器可以输出两束稳定的激光。
νA=ν01的时候，φ+和φ−均使用速度为0的高能级原子，两个模式剧烈竞争，竞争的结果是一束光变强，
另一束光熄灭。
(3)
φ+
使用
vz=
ν0−ν02
cν02
的
Ne22
原子以及
vz=
ν0−ν01
cν01
的
Ne20
原子。
φ+
使用
vz=−
ν0−ν02ν−ν
c的Ne22原子以及vz=−001c的Ne20原子，因此两个模式使用不同高能级原子，没
ν02ν01
20
有了模式竞争效应，因此两个模式均可以稳定的存在，没有了上面所说的一束光变强，另一束光熄灭的现象。
(4)要是混合气体的增益曲线对称，必须使得Ne而
g0(ν02)∆νD01∆n02
≈=
g0(ν01)∆νD02∆n001
和Ne
22
的增益曲线高度相等，即要满足：
g0(ν01)=
g0(ν02)
∆n002
∆n001
∆n002
=0
∆n01
欲使得
g0(ν01)=g0(ν
02)，应使
∆n002
=∆n001
1=
1.05
≈2×10−8s，下能级
2P4的寿命
因此，Ne
20
应该多一些。
8．考虑氦氖激光器的632.8nm跃迁，其上能级3S2的寿命τ2
τ1≈2×10−8s，设管内气压p=266Pa：
(1)计算T=300K时的多普勒线宽∆νD；(2)计算均匀线宽∆νH及∆νD/∆νH；
(3)当腔内光强为(1)接近0；(2)10W/cm2时谐振腔需多长才能使烧孔重叠。(计算所需参数可查阅附录一)
解：(1)T=300K时的多普勒线宽∆νD为
12
⎛2KT⎞⎛T⎞−7
∆νD=2ν0⎜ln2=7.16×10ν0⎜⎟⎟2
⎝mc⎠⎝M⎠ =7.16×10−7×
3×10⎛300⎞
⎜⎟
632.8×10−9⎝20⎠
8
12
2
(2)
=1314.7MHz
均匀线宽包括自然线宽∆νN和碰撞线宽∆νL两部分，∆νH=∆νL+∆νN，其中
∆νN=
⎛11⎞12
+=×=15.9MHz⎜⎟−8ττ2π2×10⎝12⎠
∆νL=αp=720×103×266=191.5MHz12π
∆νH=∆νL+∆νN=207.4MHz
∆νD/∆νH=6.34
所以
(3)设腔内光强为I，则激光器烧孔重叠的条件为
c
取IS
=15W/cm2进行计算。
当腔内光强接近0的时候
c3×108
l>=m=0.72m2∆νH2×207.4×106
当腔内光强为10W/cm的时候
2
8
l>m=0.56m9．某单模632.8nm氦氖激光器，腔长10cm，而反射镜的反射率分别为100%及98%，腔内损耗可忽略不计，稳态功率输出是0.5mW，输出光束直径为0.5mm(粗略地将输出光束看成横向均匀分布的)。试求腔内光子数，并假设反转原子数在t0时刻突然从0增加到阈值的1.1倍，试粗略估算腔内光子数自1噪声光子/腔模增至计算所得之稳态腔内光子数须经多长时间。
解：稳态时的功率输出可以表示为
P=Iν+TA=
稳态时的光子数为
1NlhνvAT2
Φ=NlAl=
下面来计算所需要的时间：
2Plλ7
=5.31×10Tc2h
dΦΦ1δ
=∆nσ21cΦ−=Φc(∆nσ21−=Φc(G0−)dtτRcτRl
δ0
根据题意有G=1.1Gt=1.1，则
l
dΦδ
=0.1cΦdtl
所以
5.3×107dΦll5.3×107
t==lnΦ|1
0.1δc∫1Φ0.1δc
因为2δ=T，所以δ=
1
，所以有2
t=
2l
ln5.3×107=5.93μs0.1Tc
>gm，ISα
10．腔内均匀加宽增益介质具有最佳增益系数gm及饱和光强ISG，同时腔内存在一均匀加宽吸收介质，其最大吸收系数为αm，饱和光腔为ISα。假设二介质中心频率均为ν0，αm
(1)此激光能否起振？
(2)如果瞬时输入一足够强的频率为ν0的光信号，此激光能否起振？写出其起振条件；讨论在何种情况下能获得稳态振荡，并写出稳态振荡时腔内光强。
解：(1)若增益介质和吸收介质的线宽分别为∆νHG和∆νHα，若∆νHα
≥∆νHG，则在任何频率下，
g0(ν)均小α0(ν则当ν1
于α
(ν
)，因此不能起振。如果∆ν
ν>ν2才能振荡。
(2)
若入射光强为Iν，则增益介质的增益系数为
g(ν0)=
吸收介质的吸收系数为
gmν1+0
ISG
αmIν0
1+ISα
假设增益介质的长度跟吸收介质的长度相等，则当满足g(ν0)>α(ν0)的时候激光器起振，所以激光器起
α(ν0)=
振的条件为
gmαm
>νν1+01+0
ISGISα
即
Iν0>
(αm−gm)ISGISα
(1)
ISGgm−ISααm
ISGgm>ISααm (2)
当两个介质的参量满足(2)式，入射光强满足(1)式的时候，激光器就可以起振，腔内光强不断增加，当腔内光强Iν
(t)增加到
Iν0(t)=Iν0+
时去掉入射信号，此时可得稳定光强
(αm−gm)ISGISαISGgm−ISααm
I=
(αm−gm)ISGISαISGgm−ISααm
11．低增益均匀加宽单模激光器中，输出镜最佳透射率Tm及阈值透射率Tt可由实验测出，试求往返净损耗
a及中心频率小信号增益系数gm(假设振荡频率ν=ν0)。
解：输出光强
I=IST(
阈值时有：2gml
2gl
−1) (1)a+T
=a+T
⎛dI⎞
=2gmlIS⎜⎟
⎝dT⎠T=Tm
⎡1Tm⎤
−−IS=0 (2)⎢2⎥
⎣a+Tm(a+Tm)⎦
T=Tm时，
由(1)、(2)式可得：
Tm2
a=
Tt−2Tm
(Tt−Tm)2
gm=
2l(Tt−2Tm)
12．有一氪灯激励的连续掺钕钇铝石榴石激光器(如图5.3所示)。由实验测出氪灯输入电功率的阈值2.2kW，斜效率ηs耗系数αi
ppt为
=dP/dpp=0.024(P为激光器输出功率，pp为氪灯输入电功率)。掺钕钇铝石榴石棒内损
=0.005cm−1。试求：
(1)
pp为10kW时激光器的输出功率；
射镜1换成平面镜时换反射镜引起的衍射不计；假设激光器振TEM00模)；5.3所示激光器中斜效率和
图5.3(2)反的斜效率(更损耗变化忽略荡于
(3)
图
R2=∞
T=
R1=5mT=0.
T1
换成0.1时的时的输出功
解：均出功率可以表
pp
=10kW
率。
匀加宽连续激光器输示为
1P=
2ηs=
(1)
1AIST12ppt
pp为10kW时激光器的输出功率为：
P=ηsppt(
ppppt
−1)
10
−1)KW=187.2W2.2
=0.024×2.2×(2)图5.3所示的激光器
2
1
λ
A=πω0=π[L(R1−L)]2
π
=1.06×10×[0.5×(5−0.5)m2=15.9mm2
−6
12
反射镜1换成平面镜之后
⎛d⎞⎛6.35⎞22
A′=π⎜⎟=3.14×⎜⎟mm=31.67mm
⎝2⎠⎝2⎠
斜效率ηs′应为
22
ηs′=
(3)图5.3所示激光器的单程损耗为
A′31.67
s=×0.024=0.48A1.59
1
δ=−ln(1−T1)+αil
21
=−ln0.85+7.50×0.005=0.119
2
反射镜1的透过率改成T1′
=0.1之后，单程损耗变为
1
δ′=−ln(1−T1′)+αil
21
=−ln0.9+7.50×0.005=0.09
2
阈值泵浦功率为
δ′0.09′ppt=ppt=2.2×KW=1.66KWδ0.1191AIsT1′T′p0.12.2ηs′′==ηs1pt=0.024××=0.021
2ppt′T1ppt′0.151.66
当
pp=10KW时，输出功率为
⎛p⎞⎛10⎞pt′′′P=ηsppt⎜−1⎟=0.021×1.66×⎜−1⎟KW=175W
⎜p′⎟⎝1.66⎠⎝pt⎠