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《大学物理AI 》作业
No. 09 磁感应强度
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、判断题
[T] 1. 穿过一个封闭面的磁感应强度的通量一定为零。 [F] 2. 磁感应线与电场线没有本质区别。 疑问：本质区别指的是什么？容易产生误解。
电场线是从正电荷或者无穷远发出，到负电荷或无穷远处为止，沿电场线的方向，电势降低，电场线密的地方电场的强度大，电场线疏的地方电场的强度小；磁感线是在磁场中的用来描述磁感应强度的闭合的曲线，它的特点和电场线类似。两者之间的最大区别在于磁感线是闭合的曲线，电场线不是闭合的，有起点和终点，这一点。
[F] 3. 载流导线附近磁感应强度的大小由导线中电流的大小决定。
解答：对于无限长直导线其附近的磁感应强度的大小不仅取决于电流的大小，还取决于考察点于
直导线的垂直距离。而对于非无限长的直导线除了上述两个因素还要考虑考察点与直导线首末两端之间连线与直导线的夹角。
[T] 4. 做圆周运动的电荷的磁场可以等效为一个载流原线圈的磁场。 [F] 5. 载流线圈的磁矩和磁力矩相等。
解答：两者的物理含义都不一样，所以根本无法说两者相等。
磁矩：线圈中所通电流与线圈所围面积之积称为平面载流线圈的磁矩，规定其方向与线
圈中电流方向呈右手螺旋关系，用P m 表示。
磁力矩：闭合线圈中的电流在磁场中受到的安培力的作用，使线圈产生转动，即安培力
产生了使线圈转动的力矩，这种由安培力产生的力矩称为磁力矩，用M 表示。
两者关系为M =P m ⨯B
二、选择题
1．通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： [ D ]
(A) B P > B Q > B O (C) B Q > B O > B P
(B) B Q > B P > B O
I (D) B O > B Q > B P
解：由磁场叠加原理和无限长直导线及半圆形电流磁场公式知
B P =
μ0I
2a
μ0I
4πa
2+2π
B Q =
μ0I
4πa
(cos0-cos 135) +
(cos45
-cos 180
) =(
2
)
μ0I
2a
μ0I
2a
B O =
μ0I
4πa
(cos0-cos 90) +
μ0I
4πa
⨯π+
μ0I
4πa
(cos90
-cos 180) =(
2+π2π
)
由以上三式知B O > B Q > B P
2．有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为 [C]
(A) 0.90
(C) 1.11
(D) 1.2
μ0I
2R
(B) 1.00
解：圆电流在其中心产生的磁感应强度B 1=
正方形线圈在其中心产生的磁感应强度
B 2=4⨯
μ0I
4π⨯R
(cos45
-cos 135
) =2
μ0I πR
μ0I
磁感强度的大小之比为B 1 / B 2=
2R 2
μ0I πR
=2
π
2
=1. 11
3．在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面
的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向
外为正) 为 [D]
(B) 无法确定的量 (D) -πr B cos α
2
(A) πr 2B
2
(C) -πr B sin α
B ⋅d S -
解：半球面S 与S 边线所在平面构成封闭高斯面，由磁场的高斯定理有通过半球面S 的磁通量
⎰
S
B ⋅d S =
⎰
平
22
B ⋅d S =0-B πr cos α=-B πr cos α
4．一个电流元i d l 位于直角坐标系原点，电流沿y 轴方向，则空间点P (x ，y ，z ) 的磁感应强度沿z 轴的分
量是：[C]
(B) -
μ04π
⋅
(x
iy d l
2
2
2
3
(A) 0
μ04π
ix d l (x
2
+y +z )
y
(C) -⋅
+y
2
+z )
23
(D) -
μ04π
⋅
iy d l x
2
+y
2
+z
2
μ0i d l ⨯r
⋅解：由毕－沙定律，电流元在P 点产生的磁场为d B = 3
4πr
i
⨯r =0
x
j i d l y
k
0=zi d l i -xi d l k z
而i d l
所以，的z 分量为d B z =-
5．若要使半径为4⨯10(μ0=4π⨯10[ B ]
-7
-3
μ0
4π
⋅
xi d l r
3
=-
4π
μ0ix d l
(x
2
+y
2
+z
2
)
3
m 的裸铜线表面的磁感应强度为7. 0⨯10
-5
T ， 其铜线中需要通过的电流为
T ⋅m ⋅A
-1
)
(B) 1.4A (D) 2.8A
μ0I 2πR
(A) 0.14A (C) 14A
解：由圆形电流磁场分布有铜线表面磁感应强度大小为B =
2πR ⋅B
2π⨯4⨯10
-3
，所以
-5
铜线中需要通过的电流为
三、填空题
I =
μ0
=
⨯7⨯10
-7
4π⨯10
=1. 4(A )
1．半径为 0.5 cm的无限长直圆柱形导体上，沿轴线方向均匀地流着I = 3 A的电流。作一个半径r = 5 cm、长l = 5 cm且与电流同轴的圆柱形闭合曲面S ，则该曲面上的磁感
强度B 沿曲面的积分B ⋅d S =________________________。
解：由于无限长直圆柱形导体电流具有轴对称性，故由安培环路定理可求出磁场，场线分布以轴为中
心的同心圆环，同轴圆柱形闭合曲面S 的上、下底面、侧面磁通量为零，因此B 沿曲面的积分B ⋅d S =0
2．如图所示，有两个半径相同的均匀带电绝缘体球面，O 1为左侧球面的球心，带的是正电；O 2为右侧球面的球心，它带的是负电，两者的面电荷密度相等。当它们绕O 1O 2轴旋转时，两球面相切处A 点的磁感强度B A =____________________。
解：当均匀带电绝缘体球面绕O 1O 2轴旋转时形成电流强度不同的圆形电流
d I =
σ2πR sin θR d θ
2π/ω
=σR ωsin θd θ
2
由圆形电流轴线上一点磁感应强度公式和磁场叠加原理得两球面相切处A 点的磁感应强度大小相等方向相反，故A 点的磁感强度B A =0
3．一磁场的磁感应强度为B =a i +b j +c k (T)，则通过一半径为R 、开口向z 正方向的半球壳表面的磁
通量大小为 Wb 。
解：如图所示，半径为R 的半球表面S 1和半径为R 的圆平面S 2组成封闭曲面S ，由磁场的高斯定理
s
B ⋅d S =0 得半球壳表面的磁通量
Φ=
⎰⎰
S 1
B ⋅d S =-⎰⎰
S 2
B ⋅d S =-⎰⎰
S 2
(a i +b j +c k ) ⋅d S k
=-S 2c =-πR c
2
球壳表面的磁通量大小为 πR c Wb
4．一质点带有电荷q =8.0×10 10 C，以速度v =3.0×10 5 m·s 1在半径为R =6.00×10 3 m的圆周上，作匀
---
2
速圆周运动。该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度B =____________，该带电质点轨道运动的磁矩p m =___________________。(μ0 =4π×107 H·m 1)
--
解：由圆形电流圆心处磁场公式可知带电质点在轨道中心所产生的磁感强度：
B =
μ0I
2R
=
μ0q /T
2R
=
μ0
qv
2R 2πR
=
μ0qv
4πR
2
=
4π⨯10
-7
⨯8.0⨯10
-10
⨯3.0⨯10
-3
5
4⨯π⨯(6.00⨯10)
2
=6. 67⨯10
-7
T
轨道运动的磁矩
p m =IS =
qv 2πR
πR
2
=
qvR 2
=
8.0⨯10
-10
⨯3.0⨯10
2
5
⨯6.00⨯10
-3
=7. 20⨯10
-7
A ⋅m
2
5．一平面试验线圈的磁矩大小P m 为1×10-8 A ⋅m -2，把它放入待测磁场中的A 处(试验线圈是如此之小，以致可以认为它占据的空间内场是均匀的) 。当此线圈的P m 与z 轴平行时，所受的力矩大小是M = 5×10-9
P B N ⋅m ，方向沿x 轴方向；当此线圈的m 与y 轴平行时，所受的力矩为零。则空间A 点处的磁感应强度的
大小为 , 方向为 。
解：设磁场B =B x i +B y j +B z k ，由放入均匀磁场中的线圈所受力矩M =p m ⨯B ，则
i 0B x
j 0B y
k 1⨯10
B z
-8
情形1：
M =
=5⨯10
-9
i ，即M =-1⨯10
-8
⨯(B y i -B x j ) =5⨯10
-9
i ①
情形2：
M =
i 0B x
j 1⨯10B y
-8
k 0B z
=0，即M =1⨯10
-8
⨯(B z i -B x k ) =0
②
联解方程①、②可得
B x =0
B y =-0. 5T
B z =0
故空间A 点处的磁感应强度的大小为0.5T ，方向为沿y 轴负向
四、计算题
1．已知空间各处的磁感强度B 都沿x 轴正方向，而且磁场是均匀的，B = 1 T。求下列三种情形中，穿过一面积为2 m2的平面的磁通量。
(1) 平面与yz 平面平行； (2) 平面与xz 平面平行； (3) 平面与y 轴平行，又与x 轴成45°角。
解：(1) 平面与yz 平面平行时，则其法线与x 轴平行，有磁通量
Φ=B ⋅S =±2 Wb
(2) 平面与xz 坐标面平行，则其法线与B 垂直，有磁通量
Φ=B ⋅S =0
(3) 平面与y 轴平行，又与x 轴成45°角，其法线与B 的夹角为45°或135°，故有磁通量
Φ=B ⋅S =BS cos 45︒=1. 41 Wb
或 Φ=B ⋅S =BS cos 135︒=-1. 41 Wb
2．如图所示，半径为R ，电荷线密度为λ(λ> 0 )的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆
平面垂直的轴以角速度ω转动，求轴线上任一点的B 的大小及其方向。
解：绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω转动均匀带电的圆线圈电流为
I =
q T =2πR λ2π/ω
=R λω
由典型电流：通电圆环轴线上任一点磁感应强度
有轴线上任一点的B 的大小 B =B x =
μ0IR 2(R
2
22
3/2
+x )
=
μ0R λω2(R
2
3
+x )
23/2
B 的方向与x 轴正向一致
3．一多层密绕螺线管的内半径为R 1，外半径为R 2，长为2L ，设总匝数为N ，导线很细，其中通过的电流为I ，求螺线管中心O 点的磁感应强度。
[积分公式：⎰
解：以O 为原点建立坐标如图所示。
d x x +a
2
2
=ln(x +x +a ) ]
22
根据教材P276例4可知，单层螺旋管在O 点产生的磁场为
B =
12
μ0nI (
x 2r +x 2
2
2
-
x 1r +x 1
2
2
)
根据题意可知x 2=L ，x 1=-L 。r 为单层螺旋管的半径，n 表示单位长度的匝数，I 表示每一匝的电流。 在螺线管中取半径为r ，厚为d r 的绕线薄层，相当于一个单层螺线管，它在O 处产生的磁场为
d B =
12
μ0
N d r 2L (R 2-R 1)
I
2L r +L
2
2
整个螺旋管可以看成是由大量单层螺旋管组合而成，因此在O 处产生的磁场为
B =
μ0NI 2(R 2-R 1)
R 2
⎰
R 1
d r L +r
2
2
=
μ0NI 2(R 2-R 1)
ln
R 2+R 1+
R 2+L R 1+L
2
22
2