本科毕业设计（论文）
( 2015届 )
题 目: 矩阵的特征值与特征向量的相关研究
学 院: 数理与信息工程学院
专 业: 数学与应用数学 学生姓名: 学号: 指导教师: 职称: 合作导师: 职称: 完成时间: 201 年 月 日 成 绩:
浙江师范大学本科毕业设计(论文) 正文
目 录
摘要……………………………………………………………………………………1 英文摘要………………………………………………………………………………1 1 引言……………………………………………………………………………… 1 2 选题背景以及特征值与特征向量的定义与性质 ………………………………2
2. 1 选题背景……………………………………………………………………2 2. 2 特征值与特征向量的定义…………………………………………………2 2. 3 特征值与特征向量的性质 ……………………………………………… 2 3 矩阵的特征值与特征向量的求解方法………………………………………… 3
3. 1 求解数字方阵的特征值与特征向量………………………………………3 3. 2 已知矩阵A 的特征值与特征向量, 求与A 相关的矩阵的特征值………7 4 矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解…………………………………… 7 4. 1 矩阵的全部特征值与全部特征向量, 反求解矩阵A 的方法…………………7
4. 2 已知实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量, 反求矩阵 A 的方法 ………………………………………………………………… 9 5 矩阵的特征值与特征向量的应用……………………………………………… 9
5. 1 矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用……………………9 5. 2 经济发展和环境污染的增长模型…………………………………………14 6 结论……………………………………………………………………………… 16
参考文献…………………………………………………………………………… 16
矩阵的特征值与特征向量的相关研究
摘要: 矩阵的特征值与特征向量占据了高等数学中的一小块, 但是其重要性无可比拟,
它可以应用在数学和生活上, 尤其是对现在的科学技术领域, 有着至关重要的作用. 本篇论文主要阐述并归纳了矩阵的特征值与特征向量的概念, 性质, 解法以及应用, 通过具体的例子, 来体现了矩阵的特征值与特征向量的广泛性和实用性, 深刻研究了矩阵的特征值与特 征向量和它相关的应用.
正文总共分为四个大部分. 第一部分: 阐述了它的概念和性质; 第二部分: 对于它的求解方法, 本篇论文叙述了几种不同的方法, 并且有相关例题的作法; 第三部分: 关于它的反问题, 本篇论文也有相对应的几种不同的求解方法; 第四部分: 关于它在数学领域和生活上的应用.
矩阵; 特征值; 特征向量; 反问题; 应用关键词:
Correlation matrix eigenvalues and eigenvecto -rs
Mathematical and Information Engineering Mathematics and Applied Mathematics Chen Dong（11170126）
Instructor: Lvjia Feng (Associate Professor)
Abstract: Eigenvalues and eigenvectors occupy the higher mathematics in a small, but its importance is unparalleled, it can be used in mathematics and life, especially in the field of science and technology right now, has a vital role. This paper describes and summarizes the main characteristics and eigenvector matrix concept, nature, solution and applications, through specific examples, to reflect the breadth and practicality matrix eigenvalues and eigenvectors, profound study of matrix eigenvalues and special Eigenvectors and its related applications.
Total body is divided into four parts. The first part: it describes the concept and nature; Part II: For its solution method, this paper describes several different methods, and relevant examples of practice; Part III: Anti question about it, this papers are also several different corresponding method for solving; part IV: on its application in the field of mathematics and life. Key Words: Matrix; eigenvalues; feature vector; inverse problem; Application
1 引言
在已经有相关深刻探讨的前提下, 本篇论文给出了它的的概念以及它的性质, 掌握它的性质是研究其求解方法的前提, 所以要先熟悉它的性质, 再对它的求解方法作详细的步骤和说明. 本篇论文重点介绍了它的求解方法和特它的反问题以及相关应用, 展现了它在矩阵运算中的重大作用, 在例题的求解过程中充分运用某些性质, 使得问题变得简单, 运算方面上也更简洁, 是简化一些有关矩阵的比较繁琐问题的一种快捷并且有效的途径. 本篇论文通过一些具体的例题
详细说明它的求解方法以及其反问题的求解方法, 并且在数学领域以及生活方面的应用也有其相关的例题来说明矩阵的特征值与特征向量的广泛性以及实用性.
2 特征值与特征向量的选题背景以及其定义与性质
2. 1 选题背景
随着科技的迅猛发展 , 现在的社会发展的速度日益增加, 高等代数作为一门大学数学的基础学科已经向所有的领域渗透 , 它在所有领域内表现出来的作用已经越来越明显. .
物理、化学、经济等的许多问题在数学上都可以看作是求它的问题. 但是通过特征方程求解它是有一点难度的, 而且在现在的高等数学的教材中用特征方程求它总是要求解带含有参数的行列式, 而且只有先求解出它才能用方程组求解之后的问题. 本篇论文将对它的求解方法、反问题以及相关的应用进行系统性的归纳, 并且有相关的例题给予帮助理解. 2. 2 特征值与特征向量的定义
它在《高等代数》和《线性代数》课程中占据了一席之地, 在大多数的《高等代数》教材中, 把它拉进来就是为了解析线性空间中线性变换/A 的, 它的定义如下:
定义1 设/A 是数域P 上的线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的数λ, 存在一个不是零的向量ξ∈V , 使得
/A =λξ
那么λ是矩阵A 的一个特征值, 向量x 称作矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 在大多数的《线性代数》的教材中, 它的探讨作为矩阵探讨的一个至关重要的组成部分, 它的定义如下所述:
定义2 设 A 是n 阶的方阵, 如果存在数字λ和n 维不是零的向量x , 使得
Ax =λx
那么就称λ是A 的特征值, x是A 的对应特征值λ的特征向量． 2. 3 特征值与特征向量的性质
（1）如果λi 是A 的r i 重的特征值, A 所对应的特征值λi 就会有S i 个线性无关的特征向量．
（2）如果x 1, x 2都是矩阵A 的属于特征值λ0的特征向量, 那么当k 1, k 2不全都是零时, k 1x 1+k 2x 2依然是A 的属于特征值λ0的特征向量．
（3）如果λ1, λ2,..., λn 是矩阵A 的互相不一样的特征值, 而且它所对应的特征向量分别是x 1, x 2,..., x n , 那么x 1, x 2,..., x n 线性无关． (4)
如
果
A =(a ij )n ⨯n
的特征值是
λ1, λ2, . λn . , . , 那么
λ1+λ2+... λn =a 11+a 22+... +a nn , λ1λ2... λn =A .
（5）实对称矩阵A 的特征值都是实数, 属于不同的特征值的特征向量正交． （6）如果λi 是实对称矩阵A 的r i 重的特征值, 那么所对应特征值λi 刚好有r i 个线性无关的特征向量．
（7）假设λ是矩阵A 的特征值, P (x ) 是多项式的函数, 那么P (λ) 是矩阵多项式P (A ) 的特征值．
3. 矩阵的特征值与特征向量的求解方法
3. 1 求解数字方阵的特征值与特征向量 （1）求解特征多项式f A (λ)=λE -.
（2）特征方程λE -A =0, 它的全部根λ1, λ2,..., λn 就是A 的全部的特征值． （3）对于任何一个特征值λi (1≤i ≤n ), 求解出齐次的方程组(λi E -A )x =0的一个基础解系a i 1, a i 2,..., a ir 就是A 的属于λi (1≤i ≤n )的线性无关的特征向量. 那么A 的属于λi 的全部的特征向量是k 1a i 1+k 2a i 2+... +k i a ii , 其中k 1, k 2,..., k i 是不全都是零的数.
求解特征多项式是解决问题的难度所在, 方法一: 观察特征矩阵的每一行之和, 如果相等而且都是a, 那么将第2列及以后各列都加到第1列, 提取公因子, 再作化简, 而且a 就是其中的一个特征值, (1, 1,..., 1)是A 的属于特征值a 的特征
T
向量．方法二: 将特征矩阵的的两个不是零的常数（不含参数λ）之一化为零, 如果有公因子, 提取出来再作化简.
从上述可以知道, 求解它是相当繁琐的．这里将阐述一个有效的方法, 只是需要对原来的矩阵作行列互逆变换就可以同时求解出它, 所以给出如下定义:
定义: 称矩阵的下列三种变换为行列的互逆变换:
（1）互相更换矩阵的i,j 两列, 同时互相更换矩阵的i,j 两行;
1
; k
（3）矩阵的第i 行乘以k 倍加到矩阵的第j 行, 同时第j 列乘以 −k 倍加到（2）矩阵的第i 行乘以不是零的数字k, 同时矩阵的第i 列乘以
定理: A为n 阶的可以对角化的矩阵, 而且A T E n −一系列行列互逆变换−−−−−−→DP T , 其
矩阵的第i 列.
()()
中,
⎡λ1⎤⎛β1⎫
⎪⎢⎥T
D =⎢ ⎥ P = ⎪
β⎪⎢λn ⎥⎣⎦⎝n ⎭
. ), , βi =(b i 1 b in ) (i =1, . . n
那么λ1, λ2,..., λn 是A 的全部特征值, αi =βi 是A 的属于λi 的特征向量.
T
证明: 因为
P T A T (P T ) -1=D
即 P -1AP =D T =D 从而AP=PD 因为
⎡λ1⎤
⎥P =[α α] D =⎢ 1n ⎢⎥
⎢λn ⎥⎣⎦所以
⎡λ1⎤
⎥则 A (α1 αn )=(α1 αn )⎢ ⎢⎥
⎢λn ⎥⎣⎦
A [α1 αn ]=[λ1α1 λn αn ] 所以
A αi =λαi (αi ≠0), i =1, , n
为了运算的简洁, 约定:
（1）a j +ka i 表示为矩阵的第i 行乘以k 倍加到第j 行. （2）a j -ka i 表示为矩阵的第i 列乘以-k 倍加到第j 列.
因为用定理求解题目时, 总是会遇到一些类似
⎡a 0⎤⎡a c ⎤B =⎢C =或者（a ≠b ）形式的矩阵的化对角阵的问题, 所以给出对⎥⎢⎥
⎣c b ⎦⎣0b ⎦
应的求解方法:
(B
T
⎡a c 10⎤第一行r 1+kr 2，第二行r 2-kr 1⎡a 01k ⎤E 2=⎢−→⎢⎥−−−−−−−⎥ a b 010b 01⎣⎦⎣⎦
)
或C T
(
⎡a 010⎤第一行r 2-kr 1，第二行r 1+kr 2⎡a 010⎤
E 2=⎢−−−−−−−−→⎢⎥⎥
⎣c b 01⎦⎣0b -k 1⎦
)
其中, k =的特征向量.
c T T
, 所以α1=(1, k ), α2=(0, 1)是B 的分别属于特征值a 和b (a -b )
β1=(1, 0)T , β2=(-k , 1)T 是C 的分别属于特征值a 和b 的特征向量.
下面将有3道例题来说明其求解方法, 第一道例题不使用刚才描述的方法, 则后面两道例题运用, 以此来说明这个方法的可操作性以及简便性.
⎛-1-1-1⎫ ⎪
例1: 求解矩阵A = -20-1⎪的特征值与特征向量.
634⎪⎝⎭解:
1⎫⎛λ+11
⎪2λ1 ⎪
⎛A (λ)⎫ -6-3λ-4⎪
⎪ I ⎪⎪= 100⎪⎝3⎭
0⎪10 ⎪ 001⎪⎝⎭
1λ+1⎫⎛1
⎪1λ2 ⎪ -6⎪[1, 3] λ-4-3⎪ −−→
01⎪ 0
0⎪10 ⎪ 100⎪⎝⎭
00⎛1⎫
⎪1λ-1-λ+1 ⎪
2 ⎪[2-1]
[3-1(λ+1)] λ-4-λ+1-λ+3λ-2⎪−−−−→
01 0⎪
0⎪10 ⎪ 1-1-(λ+1)⎪⎝⎭
00⎛1⎫
⎪1λ-10 ⎪
2⎪
[3+2] λ-41-λ-(λ-1)⎪−−−→
01 0⎪
0⎪11 ⎪ 1-1-λ-2⎪⎝⎭
所以, 矩阵A 的特征值是λ1=λ2=λ3=1 当λ=1时
00⎫⎛1 ⎪
00⎪ 1
0⎪⎛G (1)⎫ -30
⎪ P (1)⎪⎪= 001⎪⎝⎭
0⎪11 ⎪ 1-1-3⎪⎝⎭
T T
于是, 可以知道属于特征值λ=1的特征向量是ξ1=(0, 1, -1), ξ2=(1, 1, -3).
⎡011-1⎤⎢10-11⎥
⎥的特征值与特征向量. 例2: 求解 B =⎢
⎢1-101⎥⎢⎥-1110⎣⎦
解
(B T
⎡011-1⎢10-11E 4) =⎢
⎢1-101⎢
⎣-1110
[1**********]00⎤0⎥⎥ 0⎥⎥1⎦
0⎤0⎥⎥ 0⎥⎥1⎦
⎡110-11⎢0-102-1
−−−→⎢
⎢0-1110⎢
⎣020-10
r 2-r 1r 4-r 3r 1+r 2r 3+r 4
0010010-1
⎡110⎢0-30r 2-r 4
r 4+r 2−−−→⎢
⎢0-11⎢
⎣020⎡14⎢0-3
−→⎢
⎢0-4⎢
⎣02
r 2-r 1
r 2+r 3
r 2-r 4
010-[1**********]10
000⎤11-1⎥⎥ 010⎥
⎥
0-11⎦
000⎤11-1⎥⎥ 010⎥
⎥
0-11⎦
010-10010
⎡10⎢0-3
−→⎢
⎢00⎢
⎣00
r 2+r 1
r 3-r 2
r 4+r 2
0444-4⎤0-111-1⎥⎥ 04-444⎥
⎥
1-22-22⎦
⎡1⎢0−−→⎢
⎢0⎢⎣0
0100
00311-1⎤001-131⎥⎥ 10-11-11⎥
⎥
0-3-111-1⎦
所以特征值分别是
λ1=λ=2λ3=1, λ4=-3;
特征向量分别是
α1=(3, 1, 1, -1)T , α2=(1, -1, 3, 1)T , α3=(-1, 1, -1, 1)T , α4=(-1, 1, 1, -1)T .
下面给出上述定理的推广定理: 定理: A是任意n 阶的矩阵, 如果
(A
T
E n −一系列行列互逆变换−−−−−−→J
)(
⎡J 1⎤
⎥(r ≤n ) 是约当矩阵, P T , 其中J =⎢⎢⎥
⎢J r ⎥⎣⎦
)
⎡λi 1⎤
⎡βi 1⎤⎡P 1⎤⎢⎥ ⎥(i =1, , r ) 是约当标准形, P T =⎢ ⎥, P =⎢ ⎥ J i =⎢
⎢⎥i ⎢⎥⎢ 1⎥
⎢βir ⎥⎢P r ⎥⎢⎥⎣⎦⎣i ⎦λi ⎦⎣
(i =1, , r ) ; r 1+r 2+ r r =n 所以λi 是A 的特征值, αi =βir i 是A 的特征值的特
T
征向量.
⎡2-11⎤
⎥的特征值与特征向量. 例3: 求解B =⎢03-1⎢⎥
⎢⎣213⎥⎦解(A T
⎡202100⎤
⎥ E 3=⎢-131010⎢⎥
⎢⎣1-13001⎥⎦
)
⎡11010-1⎤
⎥ −−−→⎢-130010⎢⎥
⎢⎣1-14001⎥⎦
r 1-r 3
r 3+r 1
⎡21010-1⎤
⎥ −再作一系列变换−−−−→⎢020-111⎢⎥
⎢⎣0041-11⎥⎦
所以特征值是
λ1=λ=2=2, λ3=4, λ1=λ=2=2的特征向量α1=(-111)T , λ3=4的特征向量
α3=(1-11)T .
3. 2 已知矩阵A 的特征值与特征向量, 求与A 相关的矩阵的特征值 此种题目可以运用性质7来求解计算, 用定义就可以求解算得.
4 矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解
4. 1 矩阵的全部特征值与全部特征向量, 反过来求解矩阵A 的方法 方法一: 用对角化法求解可逆矩阵P, 使得P -1AP =B , 那么A =PBP -1. 方法二: 用对角化法求解正交的矩阵T (T -1=T T ) 使得T -1AT =B , 所以
A =TBT -1=TBT T .
方法三: 特定元素法
设n 阶矩阵A =(a ij )n ⨯n 的全部特征值是λ1, λ2, , λn , 相应的n 个线性无关的特征向量是a 1, a 2, , a n , 所以有
Aa 1=λ1a 1, Aa 2=λ2a 2, , Aa n =λn a n ,
从这里可以得到以A 的第1行, 第2行,. . . , 第n 行的元素组求出A 中的元素a ij , 那么就能得到A =(a ij ).
a i 1, a i 2, , a in (i =1, 2, , n ) 当作未知数的n 个非齐次的线性方程组, 求解每个方程
例4: 设三阶方阵A 的特征值是λ1=1, λ2=0, λ3=-1, 对应的特征向量分别是
T T T
x 1=(1, 2, 2), x 2=(2, -2, 1), x 3=(-2, -1, 2), 求解A.
解: 因为x i (i =1, 2, 3) 是矩阵A 对应于特征值λi (i =1, 2, 3) 的特征向量, 所以有
Ax i =λx i , 令
⎛12-2⎫ ⎪
P =(x 1, x 2, x 3)= 2-21⎪, 那么
212⎪⎝⎭
22⎫⎛1
⎪1-1
P = 2-21⎪,
9 ⎪⎝-2-12⎭
⎛100⎫ ⎪
所以有AP =PB , 其中B = 000⎪, 就从上述式子可以得到
00-1⎪⎝⎭
⎛-102⎫
⎪1
A =PBP -1= 011⎪,
3 ⎪⎝220⎭
就是问题所要求得的答案.
例5: 设三阶的实对称矩阵A 的特征值是6、3、3, 与特征值6对应的特征向量是p 1=(1, 1, 1), 求解A.
T
解: 设对应于3的特征向量是X =(x 1, x 2, x 3). 因为实对称矩阵的不同特征值下
T
的特征向量正交, 也就是X 的分量满足x 1+x 2+x 3=0, 又因为特征值3的重数是2, 所以对应于3刚好有2个线性无关的特征向量, 明显x 1+x 2+x 3=0的基础解系就是对应于3的2个线性无关的特征向量. 从x 1+x 2+x 3=0得到它的一个基础解系是p 2=(-1, 1, 0), p 3=(-1, 0, 1), 令
T
T
⎛1-1-1⎫ ⎪
P =(p 1, p 2, p 3)= 110⎪,
101⎪⎝⎭
所以可以得到
⎛600⎫ ⎪
P -1AP =B = 030⎪,
003⎪⎝⎭
⎛411⎫
⎪-1
所以, A =PBP = 141⎪,
114⎪⎝⎭就是问题所要求得的答案.
4. 2 已经知道实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量, 反过来求解矩阵A 的方法
从实对称矩阵属于不同的矩阵的特征值的特征向量正交求解出其余的特征向量, 可以运用上述各种的方法求解.
5 矩阵的特征值与特征向量的应用
5. 1 矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用
求解常系数齐次递推关系的方法多种多样, 这里将说明一下如何利用它来求解线性齐次递推关系的一种方法.
设k 阶线性循环数列{x n }满足递推关系:
x n =c 1x n -1+c 2x n -2+ +c k x n -k , (n =k +1, k +2, )
其中c i (i =1, 2, , k ) 是常数, 并且c k ≠0.
方程组
⎧x n =c 1x n -1+c 2x n -2+ +c k x n -k ⎪x =x n -1n -1⎪⎪
⎨x n -2=x n -2
⎪ ⎪⎪⎩x n -k +1=x n -k +1
可以表示为矩阵形式:
⎡x n ⎤⎡c 1c 2
⎢x ⎥⎢10⎢n -1⎥⎢
⎢x n -2⎥=⎢01⎢⎥⎢ ⎢⎥⎢ ⎢⎣00⎣x n -k +1⎥⎦⎢
c k -1c k ⎤
⎡x n -1⎤
00⎥⎥⎢x ⎥
n -2⎥
（1） 00⎥⎢⎢⎥ ⎥
⎥⎢⎥
x ⎣n -k ⎦ 10⎥⎦ c k -1c k ⎤
⎡x n -1⎤
00⎥⎢x ⎥⎥
n -2⎥
00⎥, αn -k =⎢⎢⎥ ⎥
⎥⎢⎥
x ⎣n -k ⎦ 10⎥⎦
⎡x n ⎤⎡c 1c 2
⎢x ⎥⎢10n -1⎢⎥⎢
x n -k +1=⎢x n -2⎥, A =⎢01
⎢⎥⎢ ⎢⎥⎢ ⎢⎢⎣00⎣x n -k +1⎥⎦
那么（1）可以写作:
αn -k +1=A αn -k （2）
由（2）式子递推可以得到αn -k +1=A 2αn -k -1= =A n -k α1. 其中 α1=[x k , x k -1, x 2, x 1]
T
所以求解通项x n 就可以归结为求解αn -k +1, 也就是求解A n -k .
如果A 可以对角化, 那么存在可逆矩阵P, 使得P -1AP =A , 所以A n -k =PA n -k P -1, 因为
λ-c 1-c 2 -c k -1-c k -1λ 00
λE -A =
-1
0c λk --1⎡λ-c 1λ2-c 1λ-c 2 λk -1c 10λk -2- c 1λk -1λ--c k -1λ-c k ⎤k -1
⎢⎥从第一列开始每一列乘以, 就得到如下的矩阵: λ加到后一列上-10 00⎢⎥⎢0⎥=λk -c 1λk -1- -c k -1λ-c k -1 00⎢⎥
A 的特征值 R (λE -A )=k -1, ⎢ 如果λ是, 明显有所以线性齐次方程组⎥
⎢0⎥ 10A 有k 个特征值⎣λE -A )X =00⎦(的基础解系中仅含有一个解向量, 因此当
λ1, λ2, , λ3时, 这k 个特征值对应的特征向量分别是P 1, P 2, , P k , 由这k 个特征
向量为列构成的方阵记作P, 那么P 是可逆的, 并且P -1AP =A . 其中
⎡λ10⎢0λ
2
A =⎢
⎢ ⎢
⎣00
例6 设数列{x n }满足递推关系:
0⎤ 0⎥⎥ ⎥
⎥ λn ⎦
x n =2x n -1+x n -2-2x n -3(n ≥4) , 并且x 1=1, x 2=-2, x 3=3, 求解通项x n . 解: {x n }是三阶循环数列, 将方程组
⎧x n =2x n -1+x n -2-2x n -3⎪
⎨x n -1=x n -1
⎪x =x
n -2⎩n -2
用矩阵表示:
⎡x n ⎤⎡21-2⎤⎡x n -1⎤⎡21-2⎤
⎢x ⎥=⎢100⎥⎢x ⎥ 令⎢100⎥ A =n -1n -2⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣x n -2⎥⎦⎢⎣010⎥⎦⎢⎣x n -3⎥⎦⎣010⎥⎦
那么由上式可以递推得到:
⎡x n ⎤⎢x ⎥=⎢n -1⎥⎢⎣x n -2⎥⎦⎡x n -1⎤⎡x n -2⎤⎡x 3⎤
⎥=A 2⎢x ⎥= =A n -3⎢x ⎥ （1） A ⎢x n -2⎢⎥⎢n -3⎥⎢2⎥⎢⎢⎢⎣x n -3⎥⎦⎣x n -4⎥⎦⎣x 1⎥⎦
其中x 1=1, x 2=-2, x 3=3 因为λE -A =0, 即
λ-2-12-1λ0=λ3-2λ2+2-λ=0, 0-1λ
得到A 的特征值: λ1=1, λ2=-1, λ3=2
再从特征方程(λi E -A )X =0(i =1, 2, 3)解得对应A 的特征值λ1, λ2, λ3的特征向量分别是:
⎡1⎤⎡1⎤⎡4⎤
⎢1⎥, P =⎢-1⎥P =⎢2⎥ P =1⎢⎥2⎢⎥3⎢⎥⎢⎢⎢⎣1⎥⎦⎣1⎥⎦⎣1⎥⎦⎡114⎤
⎢⎥P =[P 1, P 2, P 3]=⎢1-12⎥ ⎢⎣111⎥⎦
所以
6⎤⎡-33⎡100⎤
1⎥, A =P ⎢0-10⎥P -1 P -1=⎢1-32⎥⎢⎥6⎢⎢⎢0-2⎥⎣2⎦⎣002⎥⎦
A n -3
⎡100⎤
⎥=P ⎢0-10⎢⎥
⎢⎣002⎥⎦
n -3
P -1
⎡-3+(-1)n -3+2n 3-3(-1)n -36+2(-1)n -3-2n ⎤
⎥1⎢n -2n -2n -2
=⎢-3+(-1)+2n -13-3(-1)6+2(-1)-2n -1⎥ 6⎢n -3n -1n -3n -2n -2⎥()()()-3+-1+23-3-16+2-1-2⎣⎦代入（1）式子可以得到:
1n -3n -3n -3
x n =(-3+(-1)+2n ) x 3+(3-(-1)) x 2+(6+2(-1)-2n ) x 1
6
[]
=
1⎡3112n -1⎤n -3n -3n +1
()()-9+11-1+2-+-1+2⎥.
6⎢263⎣⎦
例7 数列F (0)=1, F (1)=3, F (2)=4, F (3)=7, F (4)=11, F (5)=18, F (6)=29,
F (7)=47, 求解这个数列的通项F (n ).
解: 通过分析这个数列满足条件
F (n +2)=F (n +1)+F (n )(n =0, 1, 2, ) （1）
根据
⎧⎨
F (n +2)=F (n +1)+F (n )
⎩F (n +1)=F (n +1)
n =0, 1, 2, 即
a n +1=Aa n (n =0, 1, 2, ) 其中
a ⎛F (n +2) ⎫⎛11⎫⎛F n +1= ⎝F (n +1)⎪⎪⎭, A = ⎝10⎪⎪⎭, a n = (n +1) ⎫⎝F (n )⎪⎪⎭, a 0=⎛ F (1) ⎫⎛3⎫
⎝F (0)⎪⎪⎭= ⎝1⎪⎪⎭
从（2）式子递推可以得到:
a n =A n a 0(n =0, 1, 2, ) 因为
λE -A =
λ-1--1λ
=λ2
-λ-1=0
得到A 的特征值是
λ1=
1+2, λ1-2=2
对应于λ1, λ2的特征向量分别是
X ⎛λ 1⎫⎛λ1= ⎝1⎪⎪⎭, X 2⎫
2= ⎝1⎪⎪⎭
取P =⎛ λ 1λ2⎫⎝11⎪⎪-1
1⎛⎭, 所以P =λ 1-λ2⎫⎪1-λ2 ⎝-1λ1⎪⎭
那么
A =P ⎛λn
1
0⎫n +1+1n +1n +1
n
-11⎛λ1-λn 2λ1λ-λλ⎫ ⎝0
λn ⎪2⎪P = ⎭λ1-λ2 221
⎝λn n n n ⎪1-λ2λ1λ2-λ2λ1⎪ ⎭
所以有
⎛ F (n +1) ⎫n 1⎛n +1-3λn +1n +1n +1
⎫⎝F (n ) ⎪⎪⎭=a n =A a 0=λ 3λ12+λ1λ2-λ2λ1
n ⎪ 1-λ2 ⎝3λn +λn n 1-3λ21λ2-λ2λ1⎪⎭
于是
2）
（3)
4） （ （
F (n )=
1n n n
3λ1-3λn 2+λ1λ2-λ2λ1 （5）
()
λ1-λ2
把（4）式子代入到（5）式子得到
⎛1+n +1
n +1
F (n )= ⎫
⎪+⎛ 1-⎫
⎝2⎪
⎭
⎪
⎝2⎪
⎭
就是题目所要求解的通项.
例8 计算
1100 001110 00D 0111 00n =
0000 110000 11
解: 按照矩阵的第一行展开D n =D n -1=D n -2(n ≥3) D 1=1, D 2=0
把（1）变成D n +2=D n +1-D n (n =1, 2, 3, ) 因为
⎧⎨
D n +2=D n +1-D n
⎩D n +1=D n +1
即
a n +1=Aa n (n =1, 2, 3, ) 其中a =⎛ D n +2⎫⎛1-1⎫
⎛D n +1⎫⎛D 2⎫⎛0⎫n +1 ⎪⎝D ⎪ ⎪n +1⎪⎭, A = ⎝10⎪⎭, a n = ⎝D n ⎪⎭, a 1=
⎝D ⎪1⎪⎭ ⎝1⎪⎪⎭ 从（2）这个式子递推可以得到
a -1n =A n a 1(n =1, 2, 3, ) 因为
λE -A =λ2-λ-1=0
得到A 的特征值是
λ1+3i 1=
2, λ1-i
2=2
对应于λ1, λ2的特征向量分别是
X ⎛λ1⎫1= ⎝1⎪⎪⎭, X 2=⎛ λ 2⎫
⎝1⎪⎪⎭
（1）
2）
3）
4） （ （ （
⎛λ1λ2⎫1⎛1-λ2⎫-1
⎪⎪取P = , 那么 P = 11⎪ ⎪λ1-λ2⎝-1λ1⎭⎝⎭
那么
A
n -1
n -1n n
⎛λ1⎫0⎫-1-λn λ1λn 1⎛λ122-λ2λ1
⎪ ⎪ =P P =n -1n -1n -1n -1⎪ 0λn -1⎪ λ1-λ2⎝λ1-λ2λ1λ2-λ2λ1⎭2⎭⎝
所以就有
n
⎫⎛D (n +1) ⎫1⎛λ1λn n -12-λ2λ1
⎪ ⎪=a =A a =1 D (n ) ⎪n n -1n -1⎪ λ1-λ2⎝λ1λ2-λ2λ1⎭⎝⎭
于是
22
11λ1λ21n -1n -1n +1+1
D n =λ1λ2-λ2λ1=∙22=λ1-λn 2
λ1-λ2λ1-λ2λ1λ2λ1-λ2
()()
5. 2 经济发展和环境污染的增长模型
为了研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系, 可以建立如下数学模型:
设x 0, y 0分别是这个地区目前的环境污染水平和经济发展水平, x 1, y 1分别是这个地区若干年后的水平, 而且有下述的关系:
⎧x 1=3x 0+y 0
⎨
y =2x +2y 00⎩1令
01
⎪ α0= , α=1 22⎪⎪ y ⎪⎪, A = y ⎪
⎝⎭⎝1⎭⎝0⎭
⎛x ⎫⎛x ⎫⎛31⎫
所以上面描述的关系的矩阵形式是α1=A α0. 那么经济发展与环境污染的增长模式是
⎧x i =3x i -1+y i -1
(i =1, 2, , k ) ⎨
y =2x +2y i -1i -1⎩i
⎛x i ⎫令αi = y ⎪⎪
⎝i ⎭
所以上面描述关系的矩阵形式是αi =A αi -1, t =1, 2, , k 所以从上述这个形式可以得到:
α1=A α0
α2=A α1=A 2α0α3=A α2=A 3α0
（*）
αi =A αi -1= =A i α0
下面我们将进行更深一步的讨论: 从矩阵A 的多项式
λE -A =
λ-3
-2-1
=(λ-4)(λ-1) λ-2
得到A 的特征值是λ1=4, λ2=1
⎛1⎫
对于λ1=4, 可以求解方程(4E -A )X =0得到特征向量η1= 1⎪⎪
⎝⎭
⎛1⎫
对于λ2=1, 可以求解方程(E -A )X =0得到特征向量η2= -2⎪⎪
⎝⎭明显, η1, η2线性无关 下面分作三种情况分解析:
⎛1⎫
假设1: α0=η1= 1⎪⎪
⎝⎭
从（*）以及它的性质可以知道
⎛1⎫
αi =A α0=A η1=λη=4 1⎪⎪
⎝⎭
i
i
i 11
i
⎛x i ⎫i ⎛1⎫i
⎪ ⎪即 或者 x =y =4=4i i 1⎪ y ⎪
⎝⎭⎝i ⎭
上面描述的式子表示: 在当前的环境污染水平和经济发展水平的条件下下, i 年后, 当经济发展水平达到相当高的程度时, 环境污染也保持着同步恶化趋势.
⎛1⎫
假设2: α0=η2= -2⎪⎪
⎝⎭
因为y 0=-2
⎛1⎫
假设3: α0= 7⎪⎪
⎝⎭
因为α0不是特征值, 所以不能类似分析, 但是α0可以由η1, η2唯一线性表达出来
α0=3η1-2η2
由（*）以及特征值与特征向量的性质可以得到:
αi =A i α0=A i (3η1-2η2) =3A i η1-2A i η2
⎛3⋅4i -2⎫ ⎛1⎫i ⎛1⎫⎪=3λη-2λ2η2=3⋅4 1⎪⎪-2⋅1 -2⎪⎪= 3⋅4i +4⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
i
11
i
i
也就是
⎛x i ⎫⎛3⋅4i -2⎫
⎪ y ⎪⎪= 3⋅4i +4⎪
⎝i ⎭⎝⎭x i =3⋅4i -2, y i =3⋅4i +4
从上面描述的式子可以预测到这个地区i 年后的水平. η2因为没有实际的意义所以在假设2中没有作相关的讨论, 但是在假设3中的讨论中起到了至关重要的作用.
6 结论
通过它的概念以及相关的性质学习, 理解了它的各种求解方法, 更是有相关例题求解巩固知识. 而后, 又学习了它的反问题, 也理解了相应的求解方法. 它不仅能应用在数学上, 帮助其更简单的运算, 而且也能应用在生活上, 有效处理生活的各类问题. 学习并且研究数学, 从知识联系到生活, 通过数学的思维或方法来处理某些生活上的问题. 离开数学, 科技无法进步, 生活恐难维持, 所以我们必须热爱数学, 深入探讨数学, 从而促进科技发展, 共创美好的明天. 参考文献
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