故障树分析（FTA ）
1、故障树分析是以系统不希望发生的一个事件（顶事件）作为分析目标的。
2、步骤：一、找出顶事件发生的直接原因；
二、再找出直接原因的直接原因，直到找到最基础的原因（低事件）为止；
三、研究各种因素（低事件）对系统（顶事件）的逻辑关系；
3、特点：一、故障树分析是一种自上而下的分析方法，能够具体到每一个基本故障模式；
二、FTA 同样也是一种定量分析方法，能够定量计算各个低事件对顶事件的影响
程度；
三、FTA 使用了严格的数学公式，便于计算机编程实现。
4、适用对象：单调关联系统、非单调关联系统、多状态系统、多状态非单调关联系统
5、故障树的建立：
基本事件
低事件
未探明事件
事件
顶事件
结果事件
中间事件
低事件：FTA 中导致其他事件的原因事件
基本事件：FTA 中无需探明其发生原因的低事件
未探明事件：FTA 中暂时不能或不必探明其原因的低事件
结果事件：FTA 中有其他事件或者其他事件组合导致的事件
顶事件：FTA 所关心的结果事件
中间事件：位于顶事件和低事件之间的事件
事件之间的关系用或与非们来表示，层层递进最后得到顶事件与基本事件的关系。
6、建树的注意事项：一、正确选择顶事件（顶事件指最不希望发生的故障状态）
二、准确写出故障事件方框中的说明
三、正确划分每个事件方框中的故障类型
四、严格准守循序渐进的准则
五、严格禁止“门——门”短路
六、建树方法指导方面应注意的问题
7、实例：下图所示输电网络，有三个变电站，由A 站向B 、C 两站供电，共有5条供电线路。电网失效的判据是：① B、C 任意一站没有输入；② B、C 两站由单线供电
得到故障树，如下图右所示：
8、建树的目的：定量分析系统失效的状况，用故障树可以定量的计算出系统的失效概率。
9、故障树的数学描述：φ(X ) 为故障树的结构函数，则：
一、与门的结构函数为：φ(X ) =x 1⋂x 2⋂K ⋂x n =∏x
i =1n n
二、或门的函数结构为：φ(X ) =x 1⋃x 2⋃K ⋃x n =1-∏(1-x ) n
i =1n
三、n 中取k 的函数结构（相当于可靠性框图中k/n的表决系统）
四、简单的与门、或门混合系统结构函数
10、故障树与可靠性框图的等价关系
x i ' 表示第i 个部件正常，x i 表示第i 个部件故障；T 表示系统正常，T 表示系统故障。
' ' ' 一、可靠性串联系统：T ' =x 1 ⋂x 2⋂K ⋂x n
' ' ' ' 二、由德. 摩根定律可以改写为：(T ' ) ' =(x 1⋂x 2⋂K ⋂x n ) =x 1⋃x 2⋃K ⋃x n '
由上面两式可以看出可靠性串联系统和故障树或门是等价的，同理可以推到并联系统和故障树与门是等价的。
11、故障树定性分析步骤：
一、枚举出所有的割集
二、从上述割集中找出全部最小割集（上行法和下行法，与在可靠性框图中寻找路
集相同）
三、利用最小割集进行定性比较（PS. 最小割集的求法）
① 下行法：
与门增加割集的容量，或门增加割集的数量。具体方法：从故障树顶事件开始，由上到下，顺次把上一级事件置换为下一级事件，遇到与门将输入事件横向并联写出，遇到或门将输入事件竖向串联写出，直到把全部逻辑门都置换成低事件为止，此时最后一列表示出基本事件组成的割集，再将割集简化、吸收得全部最小割集。
素数法寻找割集：令每个不同的低事件对应不同的素数，割集表示为组成割集的低事件对应素数的乘积。这样每个割集对应一个整数。将这些整数由小到大排列，依次相除运算，若彼此能被整除，则去掉较大的素数，剩下的就是最小割集对应的整数，即求得最小割集。
② 上行法：
上行法是由下向上进行，每一步都利用集合运算规则进行简化、吸收，最后得到全部最小割集。同样以上图为例进行说明
H 4=x 1+x 2, H 5=x 1+x 3, H 6=x 2+x 3, H 3=x 4x 5
然后置换上一层的中间事件，并进行吸收合并。
H 2=H 4H 5H 6
=(x 1+x 2)(x 1+x 3)(x 2+x 3)
=x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3
T =H 2+H 3
=x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3+x 4x 5
可得上述4个最小割集
四、用最小割集进行定性比较：①比较相同失效概率元件组成系统的失效概率大小
②所含最小割集的阶数越小，系统的失效概率越高
③最小割集的最小阶数相同，该阶数的最小割集的
个数越多，系统的失效概率越高
④比较低事件的重要性，各低事件在最小割集中的
阶数越小，在全部最小割集中出现的次数越多，该
低事件的重要性越高
12、故障树定量分析步骤：
一、由输入系统各单元（低事件）的失效概率，求出系统的失效概率
① 可以由低事件一步一步的往上面算
二、求出各单元（低事件）的结构重要度、概率重要度、关键重要度（根据关键重
要度进行故障诊断和修理顺序）
①概率重要度定义：系统处于部件i 的临界状态（部件i 失效时，导致系统失效的
状态称为临界状态。在事件i 失效的2n -1种情形中，只有那些导致系统失效的情
P 形情形才是部件i 的临界状态）时，系统失效的概率称为概率重要度I i r (t ) 。
②概率重要度的定义式：如果Q i (t ) 表示第i 个低事件在t 时刻的失效率，g [Q (t )]
表示顶事件在t 时刻的失效概率，概率重要度I i P r (t ) 定义为
I i r (t ) =P ∂g [Q (t )] ∂Q i (t )
③概率重要度I i P r (t ) 的相关定理：
g [1i , Q (t )]表示第i 个低事件失效时顶事件在t 时刻的失效概率，g [0i , Q (t )]表
示第i 个低事件正常时顶事件在t 时刻的失效概率。则
I i P r (t ) =∂g [Q (t )]=g [1i , Q (t )]-g [0i , Q (t )] ∂Q i (t )
④结构重要度的定义：当低事件i 从状态0变为1时，则低事件i 的临界状态数
在总状态数中的比例定义为结构重要度
n i ϕ1I (t ) =n -1=n -1∑n [φ(1i , x ) -φ(0i , x ) =1] 22st
i
其中，n i ϕ表示低事件i 的临界状态数，即：在2n -1种φ(1i , x ) -φ(0i , x ) 状态中，
φ(1i , x ) -φ(0i , x ) =1的个数。结构重要度能够反映部件在系统中的可靠度分配。
低事件i 的临界状态数越多（n i ϕ越大），则该部件导致系统发生的可能性就越大。
⑤⑥
⑤结构重要度的另一种理解：I st (j ) =1n j 2n -1
个组合中，使之从非割集变为割集的总数 其中：n ——系统全部单元（低事件）的个数 n j ——将j 单元分别加在2n -1
⑥单元的关键重要度：系统故障概率变化率和引起其的单元故障概率变化率的比值：
I cr (j ) =lim ∆Q ∆q i ∆Q q j q j /=lim ∙=I pr (j ) ∆q j →0Q ∆q →0j q j ∆q j Q Q
其中Q 是系统的失效概率，对所有低事件而言，Q 是相同的。I pr (j ) 为概率重要
度，q j 是第j 个低事件发生故障的概率。
⑦三个重要度的计算特别重要，其中关键重要度又是重点中的重点，因为一旦系统发生故障，维修人员有道理首先怀疑关键重要度最大的低事件触发了系统故障（概率重要度虽然也具有一定的判别功能，但它毕竟只是一种潜在的重要度）