球面距离最短的证明

球面距离最短的证明

简介：已知:球O的半径为R, A、B是球O上的两定点且A、B间直线距离为AB=2a(0

已知:球O的半径为R, A、B是球O上的两定点且A、B间直线距离为AB=2a(0

) (用单位圆、三角形面积公式及不等式)证略. 2

证明:(1)当a=R时.过A、B的平面截球面的任意一个圆均为大圆,所以L1=L=R 证明：引理:sin

(2)当0

考察⊙o1的半径满足a

=2arcsin( 2arcsin

(L1)求导=2arcsinaxaa

=arcsinaa,( arcsin

a则sin=,cos=x22x,tan=a

xa

a

xa22

所以(L1)求导

又L1=x=2x arcsina在a

aa所以L1=x=2x arcsin2a arcsin=a xa

aaaL1=x=2x arcsinR 2arcsin=L，所以当x=R时, L1最小=L=R 2arcsin xRR

由以上两种情况可知L1L

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评注: 由以上证明可知以AB为直径的大圆对应的劣弧最小。

另证：

如图 lAmN2RAB sin

ABlAnN2rsin 欲证lAmBl，只需证ABABsinsin

AnBsinsin即证 故只需证ysinxx为减函数

由于

y'xcosxsinxx(0,)，又当x

x22(0,2)时，tanxxxcosxsinx 所以y'0，故函数ysinx

x为减函数。从而命题得证。

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