第15章 波动光学
一、基本要求
1．掌握双缝干涉、单缝衍射、劈尖干涉、光栅衍射的公式及条纹分布规律； 2．理解光程差的含义与半波损失发生条件及增透膜、增反膜原理； 3．理解线偏振光及其产生方法，了解布儒斯特定律及马吕斯定律。
二、基本内容
（一）本章重点和难点：
重点：掌握不同条件下干涉和衍射（双缝干涉、单缝衍射、劈尖干涉、光栅衍射）明暗条纹的分布情况和计算公式。
难点：半波损失的判定及增透膜的计算。 （二）知识网络结构图：
⎧⎧光程⎪⎪
⎪基本概念⎨光程差
⎪半波损失⎪
⎩⎪
⎪⎧⎧明纹公式⎪⎪⎪⎪⎨暗纹公式⎪杨氏双缝干涉分波阵面法⎨⎪⎪条纹间距
⎩⎪⎪
⎪洛埃镜(略) ⎪⎩⎪
⎪⎧⎧⎧条纹间距⎪⎪⎪劈尖⎨⎪⎪⎩条纹特点⎪⎪⎪⎪⎧明暗纹公式⎪⎪⎪等厚干涉牛顿环⎨⎨⎪⎪⎩条纹特点⎪⎪⎪⎪⎪增透膜, 增反膜⎨分振幅法⎨
⎪⎪⎪
⎪⎩⎪⎪
⎪⎪等倾干涉⎪⎪⎪⎪迈克尔逊干涉仪⎪⎪
⎩薄膜干涉⎪
⎪⎪ ⎪⎧布儒斯特角⎪光的偏振⎨
⎩马吕斯定理⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(三) 容易混淆的概念： 1. 等厚干涉和等倾干涉
等厚干涉是每一级次的明暗纹都与膜层在该条纹处的厚度相联系，相同厚度处有相同的光程差，即该厚度处条纹轨迹对应同一级干涉条纹；等倾干涉是凡入射的倾角相同的相干光线在相遇时的光程差都相同，即对应同一个级次的干涉条纹。 2. 增反膜和增透膜
增反膜（减透膜）是在光学元件表面所镀的一层或多层可以消除透射以增强反射的薄膜；反之，增透膜（减反膜）则是用以消除反射以增强透射的薄膜。 3. 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射
菲涅耳衍射是光源、光屏和衍射孔三者之间的距离皆为有限远或其中之一为有限远时的衍射；夫琅禾费衍射则是指三者之间的距离皆为无限远或相当于无限远。 4. 自然光和偏振光
自然光是指在垂直于光线传播方向上的光振动矢量都对称分布，可用两个振动方向正交的、没有恒定相位关系的、等振幅两个独立光振动来代替；偏振光是指在垂直于光线传播方向上的光振动矢量不对称分布。 5. 部分偏振光和完全偏振光
部分偏振光是偏振光和自然光的混合光，在两个相互垂直方向上的光振动有强有弱；完全偏振光（线偏振光）是只保留其中一个方向光振动的偏振光。 6. 起偏和检偏
起偏是从自然光获得偏振光的过程，相应的光学元件叫起偏器；检偏是旋转一个偏振片来通过透射光光强变化来确定入射光偏振态的过程，有检偏作用的光学元件叫检偏器。
（四）主要内容： 1．光程和光程差：
（1）光程nL ---光在折射率为n 的媒质中通过几何路程L 所引起的相位变化相当于光在真空中通过nL 几何路程所引起的变化。
（2）光程差为几何光程乘以折射率之差：δ=n 1r 1-n 2r 2
（3）光程差和相位差的关系：∆ϕ=2π
δλ
（是真空中的波长） λ
（4）半波损失：当入射光从折射率较小的光疏介质投射到折射率较大的光密介质表面时，反射光比入射光有π的相位突变，即光程发生
λ
2
的跃变。
（注：若两束相干光中一束发生半波损失，而另一束没有，则附加相干光均发生或均未发生半波损失，则无附加光程差。
λ
的光程差；若两束2
实际判定光程差时，要从以下两个方面分析：既要考虑几何光程乘以折射率之差，也要考虑半波损失发生的情况，即有无附加
λ
光程差。） 2
2. 杨氏双缝干涉：（D-缝屏距；d-双缝间距；k-级数） D λ⎧
明纹公式:x =±k (k =0, 1, 2,...) k 明⎪d ⎪
(2k -1) D λ⎪
(k =0, 1, 2,...) ⎨暗纹公式:x k 暗=±
2d ⎪
D λ⎪
相邻条纹间距:∆x =⎪d ⎩
条纹特征：明暗相间均匀等间距直条纹，中央为零级明纹。条纹间距∆x 与缝屏距D 成正比，与入射光波长λ成正比，与双缝间距d 成反比。
n 1n 2n 3关系） 3. 增透膜、增反膜原理：（先分析折射率 1) 当n 1n 2>n 3时，δ反
⎧(2k +1)
λ，增透膜⎪ =2n 2e =⎨2
⎪⎩k λ, 增反膜
n 1
i =0
2) 当n 1n 3, 或n 1>n 2
⎧(2k +1)
λ，⎪=2n 2e +=⎨22⎪
⎩k λ, 增反膜
λ
4. 劈尖干涉：（b-相邻条纹间距, θ--劈尖夹角,D--钢丝直径，n 2-劈尖介质折射率） 相邻条纹对应的薄膜厚度差：e =
λ
2n 2
相邻条纹间距：b =
λ
2n 2θ=
劈尖夹角：θ=
λ
2n 2b
D
L
条纹特征：与棱边平行的等间距明暗相间直条纹，且棱边为暗纹。条纹间距l
与与入射光波长λ成正比，与介质折射率n 成反比，与劈尖夹角θ成反比。
应用：工程测量中劈尖常用于测下面工件平整度，若观察到条纹左弯则该处下表面凹，条纹右弯则该处下表面凸。（左凹右凸）
级数）
第K 级明纹对应半波带数为2k +1；
第K 级暗纹对应半波带数为2k 。
条纹特征：明暗相间直条纹，中央为零级明纹，宽度是其它条纹宽度的两倍。条纹间距∆l 与透镜焦距f 成正比，与入射光波长λ成正比，与单缝宽度a 成反比。
-
2f λ3f λ-a a
-
f λO
a
f λ
a
2f λa 3f λa
6. 衍射光栅：（d =a +b 为光栅常数，
θ为衍射角）
（1）光栅方程：(a +b ) sin θ=±k λ, k =0, 1, 2
⋅⋅⋅
d =
a
(a 为透光部分, b 不透光部分, d =
1
, N 为每米刻痕数) N
即光栅明纹公式：d sin θ=k λ, x k 明=k
f λ
d
（2）可见光光谱波长范围：[400nm , 760nm ] 第K 级光谱张角：∆θ=θ2-θ1
第K 级光谱线宽度：∆x =x 2-x 1=f (tg θ2-tg θ1) （d sin θ1=k λ1, d sin θ2=k λ2，λ1=400nm , 紫光，条纹特征：条纹既有干涉又有衍射。
7. 光的偏振：（I 0为入射光强度，θ为两偏振化方向夹角） （1）光的五种偏振态：
自然光、线偏振光、部分偏振光、椭圆偏振光、圆偏振光。
λ2=760nm 红光)
⎧偏振光通过偏振片:I =I 0cos 2θ
⎪
（2）马吕斯定律：⎨ I 0
⎪自然光通过偏振片:I =
2⎩
（3）布儒斯特角：（i 0为入射角，γ为折射角）i 0=arctg
n 2
n 1
当入射角满足上述条件时，反射光为完全偏振光，且偏振化方向与入射面垂直；折射光为部分偏振光，且反射光线与折射光线垂直，即：i 0+γ=900 8. 牛顿环：
当单色光垂直入射时形成以接触点为圆心、不等间距的同心圆条纹。 （若以空气为介质n =1）
（1）暗纹半径：
r =kR λ, k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅
1
r =(k -) R λ, k =1, 2, 3⋅⋅⋅
2（2）明纹半径：
2r m -r n
（3）曲率半径：R =
(m -n ) k λ
2
条纹特征：中心为暗纹，明暗相间、内疏外密的同心圆。 9. 迈克耳孙干涉仪
利用分振幅法使两个相互垂直的平面镜形成一等效的空气薄膜，产生双光束干涉，干涉条
λ
纹移动一条相当于空气薄膜厚度改变2。
（五）思考问答：
问题1 在杨氏双缝干涉中，若作如下一些情况的变动时，屏幕上的干涉条纹将如何变化? (1) 将钠黄光换成波长为632.8nm 的氦氖激光； (2) 将整个装置浸入水中； (3) 将双缝（S 1和S 2）的间距d 增大；
(4) 将屏幕向双缝屏靠近；
(5) 在双缝之一的后面放一折射率为n 的透明薄膜。 答：定量分析杨氏双缝干涉明暗条纹中心的位置时得到
⎧1d ' ±k λ，k =0，1，2，⋅⋅⋅(明条纹中)心⎪⎪n d
x =⎨
1d ' 1⎛⎫⎪±1，2⋅⋅⋅(暗条纹中)心 k +⎪λ，k =0，⎪n d 2⎝⎭⎩
d '
λ。 相邻明纹（或暗纹）间距离为∆x =nd
（1） 由于λ钠=589所以干涉条纹间距增大，但仍为. 3nm , λ氦氖=632. 8nm , λ钠>λ氖，等间距分布。
（2） 开始时装置在空气中，n =1，现将整个装置浸入水中，n 水>1, ∆x =
d '
λ所以n 水d
干涉条纹收缩间距减小，但仍为等间距分布。 （3） 将双缝间距d 增大，则条纹间距缩小，但由于光的空间相干性的限制，反衬度（明暗程度）减小，当d 很大时不再出现干涉条纹。
（4） 将屏幕向双缝靠近，则缝屏距d '变小，干涉条纹会收缩变窄，但仍为等间距分布。 （5） 设在下面缝的后面放一折射率为n 的透明薄膜，厚度为l ，则两缝到屏中央位置P 点处的光程度为：
∆=r 2-r 1=[r +(n -1) l ]-r =(n -1) l >0
所以中央明条纹位置下移，因为∆x =
d '
λ，所以明、暗条纹间距不变。但通过双缝后d
的光强不等了，反衬度也会因通过两缝的光强不等而降低。 问题2 单色光垂直照射空气劈尖，观察到的条纹宽度为b =厚度差为多少？
答：由于观察到的条纹宽度为b =纹处劈尖的厚度为d =b θ=
λ
，问相邻两暗条纹处劈尖的2θ
λ
，即相邻两暗条纹中心的距离为b ，所以相邻两暗条2θ
λ
2
。
问题3为什么在日常生活中声波的衍射比光波的衍射更加显著？
答：若要衍射现象明显，要求入射（光）波的波长与障碍物的尺寸相差不大。在日常生活中，光波（可见光）的波长范围为400~760nm，而可听到的声波的频率为20~20000Hz，其波长为17~0.017m。尺寸在17~0.007m的障碍物在日常生活中有很多，而尺寸在400~760nm这样微小的障碍物在日常生活中很难发现，这就是声波衍射比光波衍射更显著的原因。如一个房间里的人讲话，另一个房间里的人能听到的现象就是声波的衍射。
问题4 在讨论光的干涉和衍射过程中，关键是计算两条相干光线的光程差。那么，光程差与哪些因素有关？
答：光程差除了与光经过的实际路程之差波程差有关以外，还与下列两个因素有关： （1）介质的影响。在介质中，光程应是光波经过的波程和折射率的乘积。
（2）反射情况的不同。如果一束光是从光疏介质射向光密介质而在分界面上反射，另一束光是由光密介质射向光疏介质而在分界面反射，这两束反射后的光线间应额外附加半个波长的光程差。半波损失是否存在对薄膜干涉的研究尤其重要，不可疏忽。 问题5 窗玻璃也是介质平板，为什么我们在日光照射之下观察不到干涉条纹？
答 因为光源中每个原子每发一次光，辐射出来的是一段有限长的波列。当这种一段段的有限长的波列进入干涉装置后，每个波列都分成同样长的两个波列，各沿不同的光路前进，从而在它们的相遇点处产生一定的光程差。只有当这两个分列波的最大光程差小于光波的波列长度时，它们相遇才能产生干涉。窗玻璃的厚度太大，所以无法产生干涉。 问题6 形成双缝干涉、单缝衍射和光栅衍射条纹的区别是什么？
答：双缝干涉条纹是两束独立光波相干叠加的结果；单缝衍射条纹是无数子波相干叠加的结果；光栅衍射条纹是单缝衍射和多缝干涉的综合效果。
问题7 单缝衍射的明、暗条件恰好与双缝干涉的明、暗条件相反，这是否矛盾？ 答：不矛盾。这是由于双缝干涉是两独立波的叠加，其明暗条件决定于两束光之间的光程差；而单缝衍射是许多次波的叠加，其明暗条件决定于单缝两端最大光程差的最大半波长的个数。对于公式不能仅看形式，更重要的是理解其物理意义及公式的含义。
三、解题方法
1. 杨氏双缝干涉实验中，根据相邻条纹间距公式：∆x =纹(m >n ) 间距为：∆x '=(m -n )
D λ
，可得同侧第m 级至第n 级条d
D λ
；异侧第m 级至第n 级条纹间距为：d
∆x '=(m +n )
D λ。 d
2. 增透膜、增反膜题目中，若问正面呈何种颜色，实际上是问哪些波长的可见光，反射光干涉增强；若问背面呈何种颜色，实际上是问哪些波长的可见光，透射光干涉增强。 解此类题目的前提是先要进行折射率大小分析：
（1）从上往下三层介质折射率是依次增大或依次减小情况下，上下表面的反射光无附加光程差，而透射光有附加光程差；
（2）从上往下三层介质折射率是中间大两边小或中间小两边大的情况下，上下表面的反射光有附加光程差，而透射光无附加光程差。
3. 劈尖干涉题目中，注意两个相似三角形关系：
θ=
D e λ
==
L b 2n 2b
劈尖一般满足从上往下三层介质折射率关系：
n 1n 3, 或n 1>n 2
纹公式，所以棱边处形成暗纹。
⎧(2k +1)
λ，暗纹⎪，棱边处e =0，满足暗=2n 2e +=⎨2
2⎪
⎩k λ, 明纹
λ
四、解题指导
1．折射率n 2=1. 2的油滴掉在n 3=1. 50的平板玻璃上，形成一上表面近似于球面的油膜，测得油膜中心最高处的高度d m =1. 1μm 。用λ=600nm 的单色光垂直照射油膜，看到离油膜中心最近处的暗环半径为0.3cm ，问： （1）油膜周边是明环还是暗环？
（2）整个油膜可以看到完整的暗环数目为多少？ （3）油膜上表面的曲率半径为多少？
选题目的：学会等厚干涉原理在牛顿环现象中的灵活运用，掌握光程差和附加光程差（半波损失）的计算。
[分析] 本题也是一种牛顿环现象，但与教材所述情况不同，故不可套用教材中现有的公式，而应根据等厚干涉原理和相关几何关系自行推导。 解：（1）由n 1
有：δ=2n 2d
当d =0, δ=0，满足干涉加强条件
δ=k λ, k =0，故油膜周边是明纹。
（2）油膜上任一暗纹处满足：
δ=2n 2d =
(2k +1)
λ，反射相消。 2
当d =d m 时，解得k =3. 9，取整后k m =3，可知油膜上暗环的最高级次为3，此即题中离油膜中心最近的暗环。所以整个油膜共可看到完整的暗环有四条：k =0, 1, 2, 3。
（3）设R 为油膜球面的半径，由R , r , d 和d m 之间的关系如图所示。
r 2=R 2-[R -(d m -d )]2≈2R (d m -d )
得：
r 22n 2r 2
R ==
2(d m -d ) 4n 2d m -(2k +1) λ
k =3，r =0. 3cm 以及d m 和λ的值代入，可得R =20m 。
解题点评：光程差和附加光程差（半波损失）的计算是干涉问题中最重要的基础内容, 而牛顿环又是等厚干涉原理运用的最典型和最重要的代表之一。所以掌握光程差和附加光程差（半波损失）的计算以及干涉加强或减弱的条件是正确求解本题的首要, 而对牛顿环中平凸透镜凸面半径、牛顿环条纹半径、级次、入射光波长之间的数理关系掌握也是求解本题的必须。
2．有一平面透射光栅，每厘米刻有5900条刻痕，透镜焦距f =0. 5m 。 （1）用λ=589nm 的单色光垂直入射，最大能看到第几级光谱？
（2）若用波长范围在400nm 到760nm 的白光垂直入射，求第一级光谱的线宽度。 选题目的：掌握光栅方程的应用:包括光栅常数的计算、最高级别光谱的条件及计算、某一级别光谱线宽度和角宽度的计算方法、以及光栅方程中各物理量之间的关系。
【分析】：由光栅方程求解，本题（1）中：已知平面透射光栅的每厘米刻痕数即可以求解
o
光栅常数，在已知光栅常数a +b 的值、最大衍射角θ=±90、垂直入射单色光的波长
λ=589nm 时，利用光栅方程，即可求得最大能看到第几级光谱的值k ；本题（2）中：利
用光栅方程，分别求出波长为400nm 和760nm 垂直入射光的第一级衍射光谱角位置，再用x =ftg θ分别求出波长为400nm 和760nm 垂直入射光的对应的衍射光谱线位置，两衍射光谱线位置之差即为第一级衍射光谱的线宽度。
解：光栅常数：a +b =
1
⨯10-2m 5900
（1）垂直入射：k =±
o
当θ=±90时，
a +b
λ
=±2. 87
取整数k =±2，能看到第二级光谱。
（2）白光入射时，除中央零级明纹外，其余级别条纹会出现色散现象，对同一级别来说，红光在外，紫光在内，组成光栅光谱。
第一级光谱中的紫光(λ1=400nm )
sin θ1=
λ1
a +b
o
θ=13. 651=0. 2360，对应衍射角：
第一级光谱中的红光(λ1=760nm )
'
sin θ1'=
λ1'
a +b
=0. 4484
'=26. 64o θ1，对应衍射角：
第一级光谱线宽度：
o
∆x 1=f (tg θ1-tg θ1') =0. 5(tg 26. 64o -tg13.65) =0. 129m
解题点评：在光栅问题的处理中一般为了计算精确，不取θ和sin θ、tg θ的近似。 3． 自然光射到平行平板玻璃上，反射光恰为线偏振光，且折射光的折射角为32，试求： （1）自然光的入射角；（2）玻璃的折射率；（3）玻璃下表面的反射光、透射光的偏振状态。
选题目的：本题儒斯特定律解题的典型题目, 充分反映了布儒斯特定律所述物理是应用布量之间的关系。
【分析】：由布儒斯特定律可知：当(前提条件) 自然光入射到平行平板玻璃上，(条件) 反射光恰为线偏振光时, 则(结果) 入射角与(结果) 折射角均为布儒斯特角, 且(结果) 反射光、透射光互相垂直。
解：（1）由布儒斯特定律知，反射光为线偏振光时，反射光与折射光垂直。
即：
i 0+r 0=90o
所以自然光的入射角
i 0=90o -r 0=58o
n 2
n 1
tg i 0=
（2）根据布儒斯特定律：
，其中n 1=1
所以玻璃折射率为：
n 2=n 1tg i 0=tg 58o =1. 6
（3）在玻璃片下表面，入射角等于
r 0，折射角等于i 0，
因为：
i 0+r 0=90o
tg i 0=
，
n 2n 1
tg r 0=
所以：
n 1n 2
因此下表面的反射光也是线偏振光，振动方向垂直入射面，玻璃片的透射光还是部分偏振光，不过偏振度比在玻璃中更大了。
解题点评：典型题型典型求解, 但更要理解布儒斯特定律的是：布儒斯特定律的条件和结果是可以互换的，且只要有一个结果变为条件则其余的结果和条件都变为结果。
4．把待测金属片夹在两块平板玻璃之间形成夹角θ很小的空气劈尖，如图所示。现以波长
λ=600nm 的单色光垂直照射到玻璃板上，测得相邻暗纹间距为0. 1mm ，若已知劈尖棱边
到金属片的距离为L =5. 0cm ，求：
（1） 金属片厚度D ；（当θ很小时，sin θ≈tg θ） （2） 如果金属片受热膨胀，则干涉条纹总数将增加
还是减少？并简述原因。
选题目的：空气劈尖或介质劈尖(包括油劈尖或水劈尖或玻璃劈尖等劈尖) 问题也是等厚干涉问题的又一典型。
l sin θ=
【分析】：对于劈尖问题， 劈尖公式
λn
2 最为基本。其中: λn 是介质中光波
l sin θ=
λn
2和劈尖图形及附
波长, l 是劈尖的一根条纹宽度, θ是劈角。 利用劈尖公式: 加光程差的概念几乎可以容易求解所有劈尖问题。
解： 本题中因为是空气劈尖, 所以
λn =λ=600nm
l sin θ=
（1）
λ
2
D λ
tg θ==
L 2l
D =
λL
2l
=0. 15m m
L λ
或D =N ==0. 15m m
2l 2
λ
（2）当金属片膨胀时，θ变大l 变小，条纹变密，条纹总数增加。
5．一块玻璃片上滴一油滴，当油滴展开成油膜时，在波长λ=600nm 的单色光垂直照射
下，从反射光中观察油膜所形成的干涉条纹。已知空气的折射率n 1=1. 00、油膜的折射率
n 2=1. 20、玻璃的折射率n 3=1. 50，问：
（1）当油膜中心最高点与玻璃片上表面相距1200nm 时，最多可看到几条明条纹？各级明条纹所在处的油膜厚度分别为多少？
（2）当油膜继续展开时，所看到的条纹情况将如何变化？
选题目的：本题属于最基本的等厚干涉问题, 其中涉及光程差和附加光程差（半波损失）的计算、干涉加强和相消的条件。
【分析】：只要利用等厚干涉中膜层引起的光程差和附加光程差（半波损失）的计算公式、干涉加强和相消的条件就可直接计算。
解: (1) n 1
δ=2n 2e =k λ, k =0, 1, 2⋅⋅⋅
=0, e 0=0; =1, e 1=250nm ; =2, e 2=500nm ; =3, e 3=750nm ; =4, e 4=1000nm ; =5, e 5=1250nm .
⎧k ⎪k ⎪⎪k ⎪⎨⎪k ⎪k ⎪⎪⎩k
当e =1200nm 时，最多可看到5条明条纹（k=0,1,2,3,4）。
（2）此时油膜半径扩大，厚度减小，条纹级数减少，间距增大。
解题点评：由于油膜有厚薄, 所以也类似于介质劈尖, 只是它的最厚厚度会边薄, 而劈角会变小。
6．在杨氏双缝实验中，双缝间距d =0. 20mm ，缝屏间距D =1. 0m 。试求： (1)若第二级明条纹离屏中心的距离为6. 0mm ，计算此单色光的波长； (2)相邻两明条纹间的距离。
1⨯103D
k λ知，6. 0=⨯2λ， 解: (1)由x 明=d 0. 2
o
∴ λ=0. 6⨯10
-3
mm =6000A
D 1⨯103
⨯0. 6⨯10-3=3 mm (2) ∆x =λ=
d 0. 2
7．一单色平行光垂直照射一单缝，若其第三级明条纹位置正好与6000A 的单色平行光的第二级明条纹位置重合，求前一种单色光的波长．
ο
解：单缝衍射的明纹公式为： a sin ϕ=(2k +1)
λ
2
当λ=6000A 时，k =2
o
λ=λx 时，k =3
重合时ϕ角相同，所以有：a sin ϕ=(2⨯2+1)
λ6000
=(2⨯3+1) x 22
o
5
得：λx =⨯6000=4286A
7
o
8． 波长λ=6000A
sin ϕ=0. 20与sin ϕ=0. 30处，第四级缺级．求：
(1)光栅常数； (2)光栅上狭缝的宽度；
(3)在90°＞ϕ＞-90°范围内，实际呈现的全部级数． 解：(1)由(a +b ) sin ϕ=k λ式
对应于sin ϕ1=0. 20与sin ϕ2=0. 30处满足：
0. 20(a +b ) =2⨯6000⨯10-10 0. 30(a +b ) =3⨯6000⨯10-10
得： a +b =6. 0⨯10
-6
m
(2)因第四级缺级，故此须同时满足
(a +b ) sin ϕ=k λ a sin ϕ=k 'λ
a =
解得：
a +b
k '=1. 5⨯10-6k '4
取k '=1，得光栅狭缝的最小宽度为1. 5⨯10m
-6
(3)由(a +b ) sin ϕ=k λ
k =
(a +b ) sin ϕ
λϕ=
π
当
2，对应k =k max ∴
k max =
a +b
λ
︒
6. 0⨯10-6
==106000⨯10-10
因±4，±8缺级，所以在-90
︒
k =0, ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±7, ±9共15条明条纹(k =±10在k =±90︒处看不到) ．
9．用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a=0.60mm的单缝，缝后凸透镜的焦距f=40.0cm，观察屏幕上形成的衍射条纹．若屏上离中央明条纹中心1.40mm 处的P 点为一明条纹；求： (1)入射光的波长； (2)P点处条纹的级数；
(3)从P 点看，对该光波而言，狭缝处的波面可分成几个半波带?
解： (1)由于P 点是明纹，故有a sin ϕ=(2k +1)
λ
2
，k =1, 2, 3⋅⋅⋅
x 1. 4
=3. 5⨯10-3=tan ϕ≈sin ϕ 由=
f 400
2a sin ϕ2⨯0. 61
=⨯3. 5⨯10-3=⨯4. 2⨯10-3mm
2k +12k +12k +1
o
故λ=
当 k =3，得λ3=6000A
o
k =4，得λ4=4700A
(2)若λ3=6000A ，则P 点是第3级明纹；
o o
若λ4=4700A ，则P 点是第4级明纹． (3)由a sin ϕ=(2k +1)
λ
2
可知：
当k =3时，单缝处的波面可分成2k +1=7个半波带； 当k =4时，单缝处的波面可分成2k +1=9个半波带．
五、能力训练
选择题：
1．在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一片折射率为n 的透明介质薄膜后，测出两束光的光程差的改变量为一个波长λ，则薄膜的厚度是（ ）。
（A ）λ/2 （B ）λ/2n （C ）λ/n （D ）λ/2(n -1)
2．根据惠更斯—菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵面为S ，则S 的前方某点P 的光强度决定于波阵面S 上所有点光源发出的子波各自传到点P 的（ ）。
（A ）振动振幅之和 （B ）光强之和 （C ）振动振幅平方之和 （D ）振动的相干叠加 3．一束光强为I 0的自然光，相继通过三个偏振片P 1、P 2、P 3后，出射光的光强为I =I 0/8。已知P 1和P 3的偏振化方向相互垂直，若以入射光线为轴，旋转P 2，问P 2至少要转过多少角度，才能使出射光的光强为零？（ ）。
（A ）30
o
（B ）45 （C ）60 （D ）90
o o o
4．波长为λ的单色平行光照射相距为的双缝，观察屏上的干涉条纹，当： （1）双缝间距由2a 缩小为a 时； （2）单色光波长由λ变为0. 5λ时；
（3）整个装置浸入折射率为n =1. 5的液体中时； （4）同时发生上述三种变化时。
则屏上干涉条纹间距增加的倍数依次为（ ）。 A ．2, , , 填空题：
1．图所示，假设有两个同相的相干点光源S 1和S 2，发出波长为λ的光。A 是它们连线的中垂线上一点。若在S 1与A 之间插入厚度为e ，折射率为n 的薄玻璃片，则两光源发出的光在A 点的相位差∆ϕ=⎽⎽⎽⎽，若已知λ=500nm ，n =1. 5, A 点为第四级明纹中心，则e =⎽⎽⎽⎽nm 。
[1**********]3
B ．, 2, , C ．2, , , D ．, 2, ,
[1**********]2
e
2．在单缝夫琅禾费衍射实验中，观察屏上第3级暗纹所对应的单缝处波面可划分为⎽⎽⎽⎽个半波带。若将缝宽缩小一半，原来第3级暗纹将是⎽⎽⎽⎽⎽⎽纹。
3．衍射光栅主极大公式(a +b ) sin θ=±k λ, k =0, 1, 2⋅⋅⋅，在k =2方向上第一条缝与第六条缝对应点发出的两条衍射光的光程差为⎽⎽⎽⎽⎽⎽
4．要使一束线偏振光通过偏振片后，振动方向转过90，至少需要⎽⎽⎽⎽⎽⎽块理想偏振片，在此情况下，透射光强最多是原来光强的⎽⎽⎽⎽⎽⎽倍。
o
5．一束自然光由空气射到玻璃，若测得布儒斯特角为600，则可知该玻璃的折射率为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽，且反射光的光振动方向与入射面⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
6．用波长为λ的单色光分别做杨氏双缝干涉实验和单缝夫琅禾费衍射实验，若屏上某点处在明纹上，则双缝到该点的光程差δ应满足条件δ=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽；单缝缝宽a 和衍射角
ϕ必须满足条件a sin ϕ=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
计算题：
nm 的单色光垂直入射到置于空气中的平行薄膜上，已知膜的折射率1．波长为λ=600
n =1. 54，求：（1）反射光最强时膜的最小厚度；（2）透射光最强时膜的最小厚度。
2．一束平行光垂直入射到某光栅上，该光束有两种波长的光：λ1=440nm , λ2=660nm , 实
验发现，这两种波长的谱线第二次重合于衍射角θ=60的方向，求光栅常数。
3．把待测金属丝夹在两块平板玻璃的一端，使两块玻璃之间形成空气劈尖，用钠黄光
λ=589. 3nm 垂直入射，测得干涉条纹间距l =0. 20mm ，且自棱边算起劈尖上共有61条暗
纹，求细丝直径D 和劈尖夹角θ。
4．在双缝装置中，用一很薄的云母片(n=1.58)覆盖其中的一条缝，结果使屏幕上的第七级明条纹恰好移到屏幕中央原零级明纹的位置．若入射光的波长为5500A ，求此云母片的厚度． 5．当牛顿环装置中的透镜与玻璃之间的空间充以液体时，第10个亮环的直径由
d 1=1. 40⨯10-2m 变为d 2=1. 27⨯10-2m ，求液体的折射率。
6．白光垂直照射到空气中一厚度为3800A 的肥皂膜上，设肥皂膜的折射率为1.33，试问该膜的正面呈现什么颜色？背面呈现什么颜色? 7．平面单色光波垂直照射在厚度均匀的薄油膜上，油膜覆盖在玻璃板上。油的折射率为1.30，玻璃的折射率为1.50，若单色光的波长可由光源连续可调，可观察到5000A 与7000A 这两个波长的单色光在反射中消失，试求油膜层的厚度。
8．在折射率n 1=1.52的镜头表面涂有一层折射率n 2=1.38的MgF 2增透膜，如果此膜适用于波长5500A 的光，问膜的厚度应取何值? 9．如图，波长为6800A 的平行光垂直照射到
L =0. 12m 长的两块玻璃片上，两玻璃片一边相互接
触，另一边被直径d =0. 048mm 的细钢丝隔开．求： (1)两玻璃片间的夹角θ=?
(2)相邻两明条纹间空气膜的厚度差是多少? (3)相邻两暗条纹的间距是多少?
(4)在这0.12 m内呈现多少条明条纹?
10．用劈尖干涉来检测工件表面的平整度，当波长为λ的单色光垂直入射时, 观察到的干涉条纹如图所示，每一条纹的弯曲部分的顶点恰与左邻的直线部分的连线相切．试说明工件缺陷是凸还是凹? 并估算该缺陷的程度．
11．单缝宽0. 10mm ，透镜焦距为50cm ，用λ=5000A 的绿光垂直照射单缝．求：(1)位于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹的宽度和半角宽度各为多少?(2)若把此装置浸入水中(n =1. 33) ，中央明条纹的半角宽度又为多少?
12．用λ=5900A 的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上，问最多能看到第几级明条纹?
13．波长为λ=5000A 的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上，光栅后的透镜焦距为60cm 。求：(1)屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距；(2)当光线与光栅法线成
30°斜入射时，中央明条纹的位移为多少?
14．在双缝干涉试验中，两缝间距0. 30mm ，用单色光垂直照射双缝，在离缝1.20m 的屏上测得中央明纹一侧第5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78mm 。问所用光的波长为多少？是什么颜色的光？
15．在双缝干涉实验中，用波长λ=546. 1mm 的单色光照射，双缝与屏的距离d ' =300mm . 测得中央明纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2mm ，求双缝的距离。
16．如图所示，由S 点发出的λ=600mm 的单色光，自空气射入率n =1.23的透明物质，再射入空气。若透明物质的厚度d =1. 0cm ，入射角
θ=30，且SA =BC =5. 0cm ，求：（1）折射角θ1为
o
多少？（2）此单色光在这层透明物质里的频率、速度和波长各为多少？（3）S 到C 得几何路程为多少？光程又为多少？
17．利用空气劈尖测细丝直径，已知λ=589. 3nm ，L=2.888⨯10
-3
-2
m, 测得30条条纹的总宽度为
4.295⨯10m ，求细丝直径d.
18．在杨氏双缝干涉实验中，用波长λ=589. 3nm 的钠灯作光源，屏幕局双缝的距离
d ' =800nm ，问：
（1） （2）
当双缝间距1mm 时，两相邻明条纹中心间距是多少？ 假设双缝间距10mm ，两相邻明条纹中心间距又是多少？
19． 波长为180nm 的平行光照射到L=12cm长的两块玻璃片上，两玻璃片的一边相互接触，另一边被厚度D=0.048mm的纸片隔开。试问在这12cm 长度内会呈现多少条暗条纹？ 20．
狭缝的宽度b=0.60mm,透镜焦距f=0.40m，有一与狭缝平行的屏放置在透镜的焦平
面处。若以单色平行光垂直照射狭缝，则在屏上离点O 为x=1.4mm的点P 看到衍射明条纹。试求：（1）该入射光的波长；（2）点P 条纹的级数；（3）从点P 看，对该光波而言，狭缝处的波阵面可作半波带的数目。
21. 单缝的宽度b=0.40mm,以波长λ=589nm的单色光垂直照射，设透镜的焦距f=1.0m.求(1)第一级暗纹距中心的距离；（2）第二级明纹距中心的距离。
22. 一单色平行光垂直照射一单缝，若其第三条明纹位置正好和波长为600nm 的单色光入射时的第二级明纹位置一样，求前一种单色光的波长。 23. 已知单缝宽度b=1.0⨯10
-4
m, 透镜焦距f=0.50m,用λ1=400nm 和λ2=760nm 的单色平
行光分别垂直照射，求这两种光的第一级明纹离屏中心的距离，以及这两条明纹之间的距离。若用每厘米刻有1000条刻线的光栅代替这个单缝，则这两种单色光的第一级明纹分别距屏中心多远？这两条明文之间的距离又是多少？
24. 用1mm 内有500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱（λ=589nm）, 设透镜焦距f=1.00m.问：（1）光线垂直入射时，最多能看见第几级光谱；（2）若用白光照射光栅，求第一级光谱的线宽度。
25. 一单缝，宽为b=0.1mm，缝后放有一焦距为50cm 的会聚透镜，用波长λ=546.1nm 的平行光垂直照射单缝，试求位于透镜焦平面处的屏幕上中央明纹的宽度和中央明纹两侧任意两相邻暗纹中心之间的距离。如将单缝位置作上下小距离移动，屏上衍射条纹有何变化？ 26 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻线的平面光栅上，求第三级光谱的张角。 解：白光是由紫光（光栅常数b +b '=
27. 测得从一池静水的表面反射出来的太阳光是线偏振光，球此时太阳处在地平线的多大仰角处（水的折射率为1.33）？
28. 使自然光通过两个偏振化方向相交60度的偏振片，透射光强为I 1, 今在这两个偏振片之间插入另一偏振片，它的方向与前两个偏振片均成30度角，则透射光强为多少？
1
cm 。 6500
λ1=400nm ）和红光（λ2=760nm ）之间的各色光组成的，已知
六、参考答案
选择题：
1． D；
2. D；
3. B ；
4. A；
填空题： 2π
1. λ(n -1) e ; 4⨯103
；
2.6， 第1级明纹；
3.10λ；
4.2， 1/4 ；
5. 、3，垂直 ；
6. k λ， (2k +1) λ ； 2
计算题：
4n 1. （1）
-32. 3. 05⨯10mm ；
3. 0. 0177mm , d =λ=λ600600d ==97. 4nm ==195nm 2n 4⨯1. 542⨯1. 54；（2）； 1. 47⨯10-3rad ；
4. 设云母片厚度为e ，则由云母片引起的光程差为δ=ne -e =(n -1) e ；
7λ7⨯5500⨯10-10
==6. 6⨯10-6m =6. 6μm ； 按题意 δ=7λ, e =n -11. 58-1
5. 由牛顿环明环公式
r 空=D 1(2k -1) R λ= 22
r 液=D 2(2k -1) R λ =22n
D 1D 121. 96两式相除得=n ，即n =2=≈1. 22 ； D 2D 21. 61
6. 由反射干涉相长公式有：
2ne +λ
2=k λ (k =1, 2, ⋅⋅⋅)
得 λ=4ne 4⨯1. 33⨯380020216== 2k -12k -12k -1
o k =2, λ2=6739A (红色)
k =3, λ3=4043 A (紫色)
所以肥皂膜正面呈现紫红色；
由透射干涉相长公式 2ne =k λ(k =1, 2, ⋅⋅⋅)
所以 λ=
o o 2ne 10108= k k
当k =2时， λ =5054A (绿色), 故背面呈现绿色。
7. 油膜上、下两表面反射光的光程差为2ne ，由反射相消条件有
1=(k +) λ (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅) 2k 2
o 1当λ1=5000A 时，有:2ne =(k 1+) λ1=k 1λ1+2500 22ne =(2k +1)
当λ2=7000A 时，有 o λ
12ne =(k 2+) λ2=k 2λ2+3500 2
因λ2>λ1，所以k 2
12ne =(k 3+) λ3式 2
即不存在 k 2
得：k 1=3，k 2=k 1-1=2 o k 1λ1+2500=6731A 可由②式求得油膜的厚度为：e =2n
8．设光垂直入射增透膜，欲透射增强，则膜上、下两表面反射光应满足干涉相消条件，即：
12n 2e =(k +) λ(k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅) ， 2
1(k +) λo k λλ55005500=+=k +=(1993k +996) A e =2n 22n 24n 22⨯1. 384⨯1. 38
表及里令k =0，得膜的最薄厚度为996A ．当k 为其他整数倍时，也都满足要求．
9．(1)，L sin θ=d ，即L θ=d 故：θ=o d 0. 048-4==4. 0⨯10(弧度) 3L 0. 12⨯10
(2)相邻两明条纹空气膜厚度差为∆e =λ
2=3. 4⨯10-7m
λ6800⨯10-10
==850⨯10-6m =0. 85 mm (3)相邻两暗纹间距l =-42θ2⨯4. 0⨯10
(4)∆N =L ≈141条 l
10．工件缺陷是凹的．故各级等厚线(在缺陷附近的) 向棱边方向弯曲．按题意，每一条纹弯曲部分的顶点恰与左邻的直线部分连线相切，说明弯曲部分相当于条纹向棱边移动了一条，故相应的空气隙厚度差为∆e =λ
2，这也是工件缺陷的程度．
∆x =2
11．中央明纹的宽度为
-1 半角宽度为θ=sin λna f λ na
(1)空气中，n =1，所以：
5000⨯10-10
∆x =2⨯0. 5⨯=5. 0⨯10-3 -30. 10⨯10m
5000⨯10-10
-3θ=sin =5. 0⨯10 rad -30. 10⨯10 -1
(2)浸入水中，n =1. 33，所以有： 5000⨯10-10
∆x =2⨯0. 50⨯≈3. 76⨯10-3 -31. 33⨯0. 10⨯10m
5000⨯10-10
-3θ=sin ≈3. 76⨯10 rad -31. 33⨯0. 1⨯10-1
o 1-3-412．a +b =mm =2. 0⨯10 mm =2. 0⨯10A 500
由(a +b ) sin ϕ=k λ知，最多见到的条纹级数k max 对应的ϕ=
所以有k max =
13．a +b =π2, a +b λ2. 0⨯104=≈3. 39，即实际见到的最高级次为k max =3. 59001=5. 0⨯10-3 mm 5. 0⨯10-6m 200
(1)由光栅衍射明纹公式：(a +b ) sin ϕ=k λ，因k =1, 又sin ϕ=tan ϕ=x f
x 1λf 5000⨯10-10⨯60⨯10-2
-2=所以有(a +b ) 即：x 1==6. 0⨯10=λ ，m =6cm -6a +b f 5. 0⨯10
(2)对应中央明纹，有k =0
正入射时，(a +b ) sin ϕ=0，所以sin ϕ≈ϕ=0
斜入射时，(a +b )(sinϕ±sin θ) =0，即sin ϕ±sin θ=0
因θ=30︒，∴sin ϕ≈tan ϕ=x 1=± f 2
故x =11f =⨯60⨯10-2=30⨯10-2m =30 cm ； 22
这就是中央明条纹的位移值。
14．λ=632. 8nm
-4，红光； 15. d =1. 34⨯10m ；
16. （1）θ1=24；（2）v n =2. 44⨯108m /s , λn =488nm , ν=5. 0⨯1014Hz ；（3）0
SC =0. 111m ，L SC =0. 114m
17. d =5. 75⨯10m -5
d ' 800mm λ=⨯589. 3⨯10-6mm =0. 47mm 18. （1）d=1mm，∆x =d 1mm
(2)d=10mm， ∆x =d ' 800mm λ=⨯589. 3⨯10-6mm =0. 047mm d 10mm
事实上，0.047mm 的间距用人的肉眼是难以直接观察出的，所以，通常的双缝干涉实验中双缝间距不能太大。
19．k m =141. 2, d =0, k =0, 所以一共有142条暗纹。
20. k =3, λ1=600nm , N =7; k =4, λ2=466. 7nm , N =9；
21. （1）x 1=1. 47⨯10-3m ；（2）x 2=3. 68⨯10-3m ；
22. λ1=428. 6nm ； 23.（1）x 1=3. 0⨯10-3m , x 2=5. 7⨯10-3m , ∆x =2. 7⨯10-3m ；
'=2. 0⨯10-3m , x 2'=3. 8⨯10-3m , ∆x '=1. 8⨯10-3m ； （2）x 1
24．（1）k m =3. 39≈3；（2）∆x =0. 21m ；
25．∆x 0=2λf 2⨯546. 1nm ⨯50cm ==5. 46mm ； b 0. 1mm
λf 546. 1nm ⨯50cm ∆x ===2. 73mm ； b 0. 1mm
如将单缝位置作少许移动，由于平行光垂直照射到会聚透镜上时总是会聚在透镜焦平面的中央，而透镜的上下位置没有变化，故屏上衍射条纹位置和形状均无改变。
26．∆θ=38. 74；27．θ=36. 9；28. I 2=2. 25I 1 00