错位相减法的简洁结论----公式化
五华县水寨中学 邓定扬
错位相减法是推导等比数列前n 项和公式的最简洁的方法之一, 错位相减法还可以推广到求数列{a n ⋅b n }的前项和, 其中{a n }是等差数列, 公差为不为0, {b n }是等比数列, 公比不为1.
例:数列{a n }的前n 项和为S n , a 1=1, a n +1=2S n , 求数列{na n }的前n 项和T n .
分析:当n >1时, 由a n +1=2S n 得a n =2S n -1, 两式相减得a n +1=3a n , 所以数列{a n }从第二项开始成等比, 又a 2=2S 1=2a 1=2, 所以a n =2⋅3n -2,
⎧1, n =1因为a 1=1不满足此式, 所以na n =⎨. n -2⎩2n ⋅3, n >1
T n =1+4⋅30+6⋅31+8⋅32+ +2(n -2) ⋅3n -4+2(n -1) ⋅3n -3+2n ⋅3n -23T n =3+4⋅31+6⋅32+8⋅33+ +2(n -2) ⋅3n -3+2(n -1) ⋅3n -2+2n ⋅3n -1两式相减: -2T n =2+2(31+32+33+ +3n -3+3n -2) -2n ⋅3n -1
3-3n +1
=2+2⋅-2n ⋅3n -1=(-2n +1) ⋅3n -1-1 1-3
所以: T n =(n -) ⋅3n -1+.
又因为T 1=a 1=1也满足上式, 所以: T n =(n -) ⋅3n -1+, n ∈N *
错位相减法程序化的步骤让学生容易掌握和理解, 但因计算量较大, 学生常会因为计算的原因导致出错.
如果错位相减法可以简化为一种形式简单的结论, 我们又何乐而不为呢?
笔者在教学过程中发现, 通项形如a n =(xn +y ) ⋅q n , (q ≠1, q ≠0, x ≠0) 的数列, 其前n 项和必定形如S n =(An +B ) ⋅q n +1+C , 这个结论可以由错位相减法证明, 就留给读者去证了, 我简单从另外一个方法求得A , B , 12121212
因为: S n -S n -1=[(An +B ) ⋅q n +1+C ]-[(An -A +B ) ⋅q n +C ]
=[A (q -1) n +B (q -1) +A ]⋅q n =(xn +y ) ⋅q n
对比系数得: A =x y -A , 此时C 可以由S 1=a 1求得. , B =q -1q -1
上例中, 设b n =na n , 则当n =1时, b 1=1, 当n >1时, b n =2n ⋅3n -2. 根据公式有: A =20-111=1, B ==-, 所以T n =(n -) ⋅3n -1+C , 3-13-122
1
212又因为: T 1=+C =b 1=1⇒C =
所以:T n =(n -) ⋅3n -1+, n ∈N *
解题思路和过程固然是重要的, 但简洁的结论也很重要, 它可以使我们少走弯路, 少做重复的工作. 单方面去强调过程或结论都是不可取的, 在教学中, 应让学生掌握好错位相减法的思想精髓上, 再引出这个结论, 才不会顾此失彼.
从例题中可以看出, 即使所求数列的首项不满足(xn +y ) ⋅q n , 也不会影响使用公式求和, 但若所求数列前k 项不满足(xn +y ) ⋅q n , 则求和结果必须加上条件n ≥k , 此时公式中的C 值该由前k 项和求出, 当n