针对当前缺少对二叉树性质5的较明确与直观的证明，故做了如下的证明：
性质5的描述：
如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到第[log2n]向下取整+1层，每层从左到右),则对任一结点i（1≤i≤n),有：
（1）如果i＝1，则结点i无双亲，是二叉树的根；如果i>1，则其双亲是结点[i／2]向下取整。
（2）如果2i>n，则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子是结点2i。
（3）如果2i＋1>n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结点2i＋1。
证明：
我们可以首先证明（2）（3）然后由（2）（3）很自然的就会推出（1）。
具体证明为：
当i=1时：它的左孩子是结点2，若2×i=2﹥n，也就是不存在结点2，此时结点i无左孩子。否则左孩子编号为2，结点1的右孩子是结点3，即2×1+1=3﹥n，也就不存在结点3，此时结点1无右孩子，否则右孩子编号为3。
当i>1时，可分为两种情况：
情况1：设第j（j>=1）层的第一个结点的编号为i，由完全二叉树关于求和的性质知 i＝2j-1((2j-1-1+1))结点i的左孩子必定为的j＋1层的第一个结点，其编号为2j(2j-1-1+1)如果2j>n，则无左孩子，否则有左孩子编号2j=2*2j-1=2*i，其右孩子必定为第j＋1层的第二个结点，相应编号为2j＋1。若2j+1>n，则无右孩子，否则右孩子编号为2j＋1=2*2j-1+1=2*i+1，故符合性质描述。
情况2：假设第j层上的某个结点编号为i,则其若有左孩子则其左孩子的编号k我们可以这样来求得，首先需要求得当前第j层编号为i的节点与其左孩子节点之间相差多少个结点，我们把相差的结点数记为a。若我们能求得a则相应编号为i的节点的左孩子为：
k=i+a (1)
从而求得他们之间的关系，下面我们就来求这个a：
接下来我们来求上面提到的a，我们怎么求呢，很简单，a的构成有两部分：
第一部分：第j层的我们之间假设的b个结点
第二部分：第j+1层的到第i个结点的左孩子之前的结点数c
即
a=b+c （2）
为了求a我们需要先求得b和c，下面先求b，假设与编号为i的节点处于同一层（即j层）的并且位于其左边的结点的结点数记为b，那么我们可以得到第j层之前包括第j层的结点总数（即深度为j的满二叉树的结点总数）=2j-1=i+b，：
i+b=2j-1 （3）
关系式(2)是这样求得的，即第j层的结点数=2j-1=i+b，所以有i+d=2j-1。我们将关系式（2）变换后可以求得b,即：
b= 2j-i-1 （4）
下面我们再来求c，c怎么求呢，也很简单，c也就是处于第j层并且位于编号为i的结点之前的一系列结点生成的子结点的个数，故
c=[i-(2j-1-1)-1]*2=(i-2j-1)*2 （4）
这样我们由上面的（1）（2）（4）式就可以得到k与i之间的关系：
K=i+a=i+b+c=i+2j-i-1+(i-2j-1)*2=2i (5)
由式子（5）我们得到了编号为i的结点的左孩子的编号为：2i，同样若其有右孩子则右孩子的编号必然为2i+1。
综上所述，不失一般性，我们得证二叉树的性质5中的第二个和第三个性质，也就是关于完全二叉树的性质。
既然上面的性质得证那么我们很自然的就会推出，二叉树性质5中的第一个性质，即编号为i的结点的双亲结点的编号为：[i／2]向下取整。
至此二叉树的性质5得到了证明。