江西省都昌县第一中学 李一新
高考《考试说明》中关于能力要求中，要考核的能力的第4点是“应用数学处理物理问题的能力”中，指出“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图象进行表达、分析。”因此在每年高考中，关于图象的考查备受高考命题专家的青睐，而电磁感应现象的中图象更是高考的热点。在电磁感应现象中，涉及磁感应强度B．磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图象，即B—t图象、Φ—t图象、E—t图象I—t图象。对于导体切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还涉及感应电动势E和感应电流I随位移x变化的图象即E—x和I—x图象。由于感应电流的产生，导体受到安培力作用，其运动情况又会发生动态变化，又有v—t、v—x和a—x等图象。
一、E—t图象
例1（2007全国卷Ⅱ）如图1所示，在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场、磁场方向均垂直于纸面。一导线框abcdef位于纸面内，框的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合，导线框与磁场区域的尺寸如图所示。从t＝0时刻开始，线框匀速横穿两个磁场区域。以a→b→c→d→e→f为线框中的电动势E的正方向，以下四个E－t关系示意图中正确的是（ ）
解析：bc边进入PQ区域的磁场时，切割磁感线的导线有效长度为l，感应电动势方向为负；bc边进入QR区域的磁场时，de边同时也进入PQ区域磁场中，它们切割磁感线的导线产生的感应电动势大小相等、方向相反，总电动势为零；bc边离开磁场时，de边进入QR区域磁场中，af边同时也进入PQ区域磁场中，它们切割磁感线产生的感应电动势方向均为正，总感应电动势相加；以后便只有af边在QR区域切割磁感线，产生的感应电动势方向为负，故正确的选项为C。
二、i—t图象
例2（2008年全国卷Ⅱ）如图2所示，一个边长为l的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场；一个边长也为l的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线ab与导线框的一条边垂直，ba的延长线平分导线框。在t＝0时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿ab方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。以i表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正。下列表示i—t关系的图示中，可能正确的是（ ）
解析：从正方形线框下边开始进入到下边完全进入过程中，线框切割磁感线的有效长度逐渐增大，感应电流也逐渐增大，如图2的初位置→图3的位置Ⅰ；从正方形线框下边完全进入至下边刚穿出磁场边界，切割磁感线的有效长度不变，感应电流不变，如图3的位置Ⅰ→Ⅱ；当正方形线框下边部分离开磁场，上边尚未进入磁场过程中，线框切割磁感线的有效长度逐渐减小，感应电流也逐渐减小，如图3的位置Ⅱ→Ⅲ；当正方形线框下边部分继续离开磁场，上边也进入磁场过程中，上下两边线框切割磁感线产生的感应电动势方向相反，感应电流减小得更快，当上下两边在磁场中长度相等，感应电动势为零，如图3的位置Ⅲ→Ⅳ；以后的过程与上述过程相反，故正确的选项为C。
三、E—x图象
例3（2008年上海卷）如图4所示，平行于y轴的导体棒以速度v向右做匀速直线运动，经过半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，导体棒中的感应电动势E与导体棒位置x关系的图像是（ ）
解析：如图5所示，设导体棒运动到位置x处，由几何关系可得导体棒切割磁感线的有效长度为
产生的感应电动势为
整理后可得
从方程可以看出，感应电动势E与导体棒位置x关系的图像是一个椭圆，故正确的选项为A。
四、I—x图象
例4（2005年上海卷）如图6所示，A是长直密绕通电螺线管，小线圈B与电流表连接，并沿A的轴线Ox从O点自左向右匀速穿过螺线管A。能正确反映通过电流表中电流I随x变化规律的是（ ）
解析：小线圈B从O点自左向右匀速穿过螺线管A的过程中，穿过小线圈的磁通量先是增加然后是不变最后是减小，且进入和穿出产生的感应电流方向相反，则正确反映通过电流表中电流I随x变化规律的是C图。
五、B—t图象
例5 两条彼此平行间距为l=0．5m的光滑金属导轨水平固定放置，导轨左端接阻值R=2Ω的电阻，右端接阻值RL=4Ω的小灯泡，如图7（a）所示。在导轨的MNQP矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，MP的长d=2m，MNQP区域内磁场的磁感应强度B随时间t的关系如图7（b）所示。垂直导轨跨接一金属杆，金属杆的电阻r=2Ω，两导轨电阻不计。在t=0时刻，用水平恒力F拉金属杆，使金属杆由静止开始从GH位置向右运动，在金属杆从GH位置运动到PQ位置的过程中，小灯泡的亮度一直没有变化。求：
（1）通过小灯泡的电流IL；
（2）水平恒力F的大小；
（3）金属杆的质量m。
解析：（1）在力F的作用下，棒未运动到磁场区域时，磁场变化导致电路中产生感应电动势，此时感应电动势为
V
电路结构为r与R并联，再与RL串联，总电阻R总=5Ω，则通过小灯泡的电流
A ①
（2）在力F的作用下，棒运动到磁场区域时，导体棒切割磁感线产生电动势，此时电路的结构是R与RL并联为外阻，r为内阻，由于小灯泡中电流不变，则流过导体棒的电流为
A ②
导体棒所受的安培为
N
小灯泡中电流不变，可知导体棒必定做匀速运动，则F=FA=0．3N
（3）导体棒切割磁感线产生的为
③
由①②③式得导体棒的进入磁场时的速度v=1m/s
由动量定理有
得金属杆的质量
kg。
六、v—t图象
例6 如图8甲所示，空间存在B=0．5T、方向竖直向下的匀强磁场。MN、PQ是处于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨，间距L=0．2m，R是连在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量m=0．1kg的导体棒。从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好。图8乙所示的是棒的v—t图象，其中OA是直线，AC是曲线，DE是曲线图的渐进线。小型电动机在12s末达到额定功率，P额=4．5W，此后功率保持不变，除R以外其余部分电阻不计，g=10m/s2。
（1）求导体棒在0～12s内的加速度大小；
（2）求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ及电阻R的阻值；
（3）若t=17s时，导体棒ab达到的最大速度，0～17s内共发生位移100m，试求12～17s内，R上产生的热量是多少？
解析：（1）由图8乙可知12s末的速度为v1=12m/s，故导体棒在0～12s内的加速度大小为
m/s2
（2）设导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，在A点时有
，
，
由牛顿第二定律有
而
导体棒在C点达到速度最大，有
m/s，
，
由牛顿第二定律有
而
联立以上各式代入数据得μ=0．2，R=0．4Ω
（3）在0～12s内通过的位移为
m，
AC段过程发生的位移为x2=100m－x1=46m，
由以能量守恒定律有
，
代入数据可得QR=12．35J。
七、v—x图象
例7 如图9甲所示，在质量为M=1kg的小车上，竖直固定着一个质量为m=0．2㎏、宽L=0．05m、总电阻R=100Ω，n=100匝的矩形线圈。线圈和小车一起静止在光滑水平面上，现有一子弹以v0=110m/s的水平速度射入小车中，并立即与小车（包括线圈）一起运动，速度为v1=10m/s，随后穿过与线圈平面垂直、磁感应强度B=1．0T的水平有界匀强磁场、方向垂直纸面向里。已知子弹射入小车后，小车运动的速度随车的位移变化的图象，如图9乙所示，求：
（1）子弹的质量m0；
（2）小车的位移x=10cm时线圈中的电流大小I；
（3）在线圈进入磁场的过程中通过线圈某一截面的电荷量q；
（4）线圈和小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q。
解析：（1）子弹射入小车的过程中，由动量守恒定律有
解得子弹的质量
kg。
（2）当x=10 cm时，由图9乙可知线圈右边切割磁感线的速度v2=8m/s，由闭合电路欧姆定律得线圈中的电流为
，代入数据可得I=0．4A。
（3）由图9乙可知，从x=5cm开始，线圈进入磁场，线圈中有感应电流，受安培力作用，小车做减速运动，速度v随位移x减小，当x=15cm时，线圈完全进入磁场，线圈中感应电流消失，小车做匀速运动，因此线圈的长为Δx=10cm，在此过程中通过线圈某一截面的电荷量为
，代入数据可得
C。
（4）由图9乙可知，线圈左边离开磁场时，小车的速度v3=2m/s，线圈进入和离开磁场时，克服安培力做功，线圈的动能减少，转化成电能消耗在线圈上产生电热，有
，代入数据可得线圈电阻发热量Q=63．36J。
八、a—x图象
例8 如图10所示，abcd为一边长为l、质量为m的刚性导线框，位于水平面内，bc边中串接有电阻为R，导线的电阻不计。虚线表示一匀强磁场区域的边界，它与线框的ab边平行，磁场区域的宽度为2l，磁感应强度为B，方向竖直向下，线框在一垂直于ab边的水平恒定拉力F作用下，沿光滑水平面运动，直到通过磁场区域。已知ab边刚进入磁场时，线框变为匀速运动。从导线框刚进入磁场到完全离开磁场的过程中，导线框的加速度a随ab边的位置坐标x变化的图象可能是（ ）
解析：x在0～l距离内，线框以某速度v0作匀速运动，加速度为0；x在l～2l距离内，线框中无感应电流，不受安培力，作匀加速运动，加速度为
，在x=2l处的速度v1＞v0；x在2l～3l距离内，线框产生的感应电流比进入时大，所受的安培力大于拉力F，作变减速运动，加速度方向与x轴方向相反，有两种可能情形：一种情形是，在到达x=3l之前速度减到v0然后作匀速运动，另一种情形是，一直减速，速度始终未减小到v0，故正确的选项为AD。
九、B—t与i—t图象组合
例9（2008全国卷Ⅰ）矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直。规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图11所示。若规定顺时针方向为感应电流I的正方向，下列各图中正确的是（ ）
解析：在0～1秒内，垂直纸面向里的磁场均匀增强，磁通量均匀增加，感应电流为逆时针方向，大小不变；在1～3秒内，垂直纸面向里的磁场均匀减小（或垂直纸面向外的磁场增强），感应电流为顺时针方向，大小不变；在3～4秒内，垂直纸面向外的磁场均匀减弱，磁通量均匀减小，感应电流为顺时针方向，大小不变。因此正确的选项为D。
十、B—t与f—t图象组合
例10 在水平面桌上，一个面积为S的圆形金属框置于匀强磁场中，线框平面与磁场垂直，磁感应强度B1随时间的变化关系如图12所示，0～1s内磁场方向垂直平面向里，圆形金属框与一个平行金属导轨相连接，导轨上放置一根导体棒，导体棒的长为l，电阻为R且与导轨接触良好，其余各处电阻不计，导体棒处于另一匀强磁场中，其磁感应强度恒定为B2，方向垂直导轨平面向里，如图13所示，若导体棒始终保持静止，则其所受的静摩擦力f随时间变化的图象是下图的哪个？（设向右的方向为正方向）
解析：在0～1秒内，穿过圆形金属框中的磁场均匀增强，磁通量均匀增加，感应电流为逆时针方向，大小不变，安培力大小不变方向向左，静摩擦力f大小不变方向向右，为正值；在1～2秒内，穿过圆形金属框中的磁通量不变，无感应电流，无安培力，无静摩擦力；在2～3秒内，穿过圆形金属框中的磁场均匀减弱，磁通量均匀减少，感应电流为顺时针方向，大小不变，安培力大小不变方向向右，静摩擦力f大小不变方向向左，为负值，因此正确的选项为A。
2011-05-19 人教网