全国2010年10月高等教育自学考试
高等数学（一）试题
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1. 设函数
f (x ) =1+3x 的反函数为g (x ) ，则g (10) =（ ）
A.-2B.-1C.2D.3
2. 下列极限中，极限值等于1的是（ ）
(1-1
) x
A. lim
x →B. x lim sin x
→∞C. x (x +1) ∞e
x lim
→∞D. x lim arctan x
x x 2→∞x
3. 已知曲线
y =x 2-2x 在点
M 处的切线平行于x 轴，则切点M 的坐标为
A.(-1，3)B.(1，-1)C.(0，0)D.(1，1) 4. 设
⎰f (x ) d x =F (x ) +C ，则不定积分⎰2
x
f (2x
) d x =（ ）
A.
F (2x )
ln 2
+C B. F (2x )+C C. F (2x )ln2+C D.2x F (2x )+C
5. 若函数z
=z (x , y ) 的全微分d z =sin y d x +x cos y d y ，则二阶偏导数
∂2
z
∂x ∂y
=（ ）A. -sin x B. sin y C. cos x D. cos y 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 6. 设函数f (x ) 的定义域为[0，4]，则f (x 2) 的定义域是______.
2n 极限-7n
7. n lim →∞2n
+7n -1
=______. 28. 设某产品的成本函数为C (q )=1000+
q 8
，则产量q =120时的边际成本为
______.
9. 函数y =2x
1-x 2
在x =0处的微分d y =______.
10. 曲线y =ln x
x +x -2
的水平渐近线为______.
11. 设函数f (x )=x (x -1)(x -2)(x -3) ，则方程f '(x ) =0的实根个数为______.
12. 导数
d x
d x
⎰
(t -1) d t =______.
213. 定积分
⎰0
|x -1|d x =______.
14. 二元函数f (x ，y )=x 2+y 4-1的极小值为______. 15. 设y =y (x ) 是由方程e y -xy =e所确定的隐函数，则导数
d y d x
=______.
三、计算题(一)(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 16. 设函数
f (x ) =
x -sin x |x |
，问能否补充定义f (0)使函数在x =0处连续? 并说
明理由.
17. 求极限
x lim →∞x 2(1-cos 5
x
) . 18. 设函数y =ax 3+bx 2+cx+2在x =0处取得极值，且其图形上有拐点(-1，4) ，求常数a ，b ，c 的值. 19. 求微分方程
y y '=3(x +2) 2(1+y 2) 的通解.
20. 求不定积分
⎰
1-x d x .
-x
2
四、计算题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21. 设函数f (x )=sin e-x ，求
f (0) +f '(0) +f ''(0) .
1
22. 计算定积分I =
1
arctan
2x -1d x .
2
23. 计算二重积分I =
⎰⎰(x
2
y +1) d x d y ，其中D 是由直线y =x ，y =2-x 及y
D
轴所围成的区域.
五、应用题(本题9分)
24. 在一天内，某用户t 时刻用电的电流为I (t ) =1
100
t (t -24) 2+2(安培) ，其中0
≤t ≤24.
(1)求电流I (t ) 单调增加的时间段；
(2)若电流I (t ) 超过25安培系统自动断电，问该用户能否在一天内不被断电?
六、证明题(本题5分)
25. 设函数f (x ) ，g (x ) 在区间[-a ，a ]上连续，g (x ) 为偶函数，且f (-x )+f (x )=2. 证明：
⎰
a
-a
f (x ) g (x ) d x =2⎰
a
g (x ) d x .
全国2010年1月高等教育自学考试
高等数学（一）试题 课程代码：00020
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 函数f (x )=arcsin ⎛x -1⎫
⎝2⎪⎭
的定义域为（ ） A.[-1，1] B.[-1，3] C. （-1，1） D. （-1，3）
2. 要使无穷级∑∞
aq
n
（a 为常数，a ≠0）收敛，则q =（ ）
n =0
A.0.5 B.1 C.1.5
D.2
3. 函数f (x ) =⎧⎪⎨
2+x 3
x
⎪x ≥1
在x =1处的导数为（ ） ⎩3x
A.1 B.2 C.3
D. 不存在
4. 函数y =x 2-ln(1+x 2
) 的极小值为（ ） A.3 B.2 C.1
D.0
5. 下列反常积分收敛的是（ ） A. ⎰
+∞
1+∞
11
x 2
d x B.
⎰
1x
d x C. ⎰
+∞
1
ln x d x
D.
⎰
+∞
ln x
1
x
d x 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6. 设f (x ) =⎨⎧1x >0
⎩-1x ≤0
，g (x )=x 2+1,则f [g (x )]=_______________.
7. arctan x x lim
→∞
x 2+1
=_______________.
8. n lim →∞
n [ln (n +2)-ln n ]=_______________.
9. 函数f (x ) =⎨
⎧k -x 0≤x
⎩
e x
-e 1≤x ≤2在x =1处连续，则k =_______________.
10. 设函数y =ln sin x , 则y ″=_______________. 11. 设函数y =x 2e -x , 则其弹性函数Ey
Ex
=_______________. 12. 曲线y =
ln x
x
的水平渐近线为_______________. 13. 不定积分
⎰
d x 2-x
2
=_______________.
14. 微分方程（1+x 2）d y -(1+y 2)d x =0的通解是_______________.
215. 设z=e
2x 2-3y
, 则∂z
∂x ∂y
=_______________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16. 求极限lim
x -x cos x
x →0
x -sin x
.
17. 求曲线y =x -2arctan x 的凹凸区间.
18. 求函数f (x )=x 4-2x 2+5在区间[-1，2]上的最大值和最小值.
19. 已知函数f (x ) 满足
⎰
f (x )
x
d x =e x +C ，求⎰f (x ) d x .
20. 方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ), 求
∂z ∂z
∂x , ∂y
. 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21. 设y =x sin x +x arctan ex ，求y ′.
22. 计算定积分I =
⎰1
x ln(x +1) d x .
23. 计算二重积分I =⎰⎰y e y 2
d x d y ，其中D 是由y =
x , x =1,x =2及
D
x 轴所围成的闭区域.
五、应用题（本大题9分）
24. 过抛物线y =x 2+1上的点（1，2）作切线，该切线与抛物线及y 轴所围成的平面图形为D . (1)求切线方程； （2）求D 的面积A ；
（3）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x .
六、证明题（本大题5分） 25. 证明：当x >0时，1+1
2
x >+x .
全国2010年4月高等教育自学考试
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．函数y=2+ln(x +3)的反函数是（ ） A ．y=ex +3-2 B ．y=ex +3+2 C ．y=ex -2-3 D ．y=ex -2+3
2．函数
f(x)=x sin 1
x
在点x =0处（ ）
A ．有定义但无极限 B ．有定义且有
极限
C ．既无定义又无极限 D ．无定义但有
极限
3．设函数f (x ) 可导，且
0+4Δx ) -f (x 0)
Δlim
f (x x →0
Δx
=1，则
f '(x 0) =( )
A ．0B ．
14
C ．1D ．4
4．对于函数f (x ), 下列命题正确的是（ ） A ．若x 0为极值点，则f '(x 0) =0
B ．若
f '(x 0) =0，则x 0为极值点
C ．若x 0为极值点，则f ''(x 0) =0
D ．若x 0为极值点且
f (x 0) 存在，则f '(x 0) =0
5．若cos2x 是g (x ) 的一个原函数，则（ ） A ．
⎰g (x ) d x =cos 2x +C
B
．
⎰cos 2x d x =g (x ) +C
C ．
⎰g '(x ) d x =cos 2x +C
D
．
⎰(cos2x ) 'd x =g (x ) +C
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6．函数
f (x ) =
5
ln(x -2)
的定义域是．
⎧-3 , x 7．设函数
f (x ) =⎪
3 , x >0x →1
8．设函数
y =e tan x , 则y '=
9．曲线y=x 2+1在点（1，2）处的切线方程为． 10．函数
f (x ) =x 3+x 的单调增加区间为
11．已知x =4是函数f (x ) =x 2+px +q 的极值点，则
p
12．设商品的收益R 与价格P 之间的关系为R =6500P -100P 2，则收
益R 对价格P 的弹性为 ．
13．若
f (x ) 的一个原函数为ln x , 则f '(x ) =
14．设函数
f (x ) =x +x ，则⎰f '(x ) dx =
15．设
函
数
f (u , v , w ) =(u -v ) w +w u +v
，则
f (x +y , x -y , xy ) =．
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．设
f (1
x
) =x ，求f '(x ) ． 17．求函数
f (x ) =x 3-3x 的极值．
18．已知过曲线
y =f (x ) 上任意一点（x , y ）处的切线斜率为e 2x ，
且曲线经过点（0，
32
），求该曲线方程．
=⎰
5
19．计算定积分I
x 2
x -1
dx ．
20．设函数z =z (x , y ) 是由方程z +ez =xy 所确定的隐函数，求全微分d z ．
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
⎧⎪+x 2-1
+b , 21．设函数
f (x ) =⎪
x 2
x
⎪
⎪sin ax , x >0⎩
x 数a 和b 的值，使得
f (x ) 在x =0处连续．
22．设
f (x ) 的一个原函数为e x
2
，求
⎰x f '(x ) dx ．
23．计算二重积分I
=⎰⎰xy d x d y ，
其中D 是由直线y =x , y =5x , x =1D
所围成的平面区域．
五、应用题（本题9分）
24．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，价格分别为P 1和P 2，销售量分别为Q 1和Q 2；需求函数分别为Q 1=24-0.2P 1, Q 2=10-0.05P 2, 总成本函数为C=35+40(Q 1+Q 2) ． (1)求总收益R 与销售价格P 1, P 2的函数关系; (2)求总成本C 与销售价格P 1, P 2的函数关系; (3)试确定销售价格P 1, P 2，以使该厂获得最大利润．
六、证明题（本题5分）
．证明：⎰ a
0x 5
f (x 3
) dx =13⎰ a 3
25 0
xf (x ) dx ．
全国2009年1月高等教育自学考试
高等数学（一）试题 课程代码：00020
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设f （1-cos x）=sin2x, 则f （x ）=（ ） A.x 2
+2x B.x 2
-2x C.-x 2+2x D.-x 2-2x
2. 设f （x ）=⎨⎧x ,
x ≥00
，则f '(0) =（ ）
⎩sin x , x
D. 不存在
3. 下列曲线中为凹的是（ ） A.y=ln（1+x2）, （-∞，+∞） B.y=x2-x 3, （-∞,+∞）
C.y=cosx, （-∞, +∞） D.y=e-x , （-∞,+∞） 4.
⎰
1
x cos x
dx =（ ）
-11+sin 6x
A.
π
2
B. π C.1
D.0
5. 设生产x 个单位的总成本函数为C （x ）=x 2
12
+20x +7，则生产6个单位产品时的边际成本是（ ） A.6 B.20 C.21 D.22
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6. 函数y=
1
|x |-x
的定义域是___________.
7. n lim ⎛n
→∞ n ⎫⎝1+n ⎪⎭
= ___________. 8. lim x →0
x cos t x = ___________.
9. +∆x -1
∆lim
x →0
∆x
= ___________.
10. 设函数f （x ）=ekx 在区间[-1，1]上满足罗尔定理的条件，则k=___________. 11. 曲线y=e
-1x
的水平渐近线是___________.
12. 曲线y=cos4x 在x=
π
4
处的切线方程是___________. 13.
⎰
+∞
1
2(x -1) 2
dx = ___________.
14. 微分方程y '-2xy =0的通解是___________.
15. 设z=x 2+y 2，则dz (1, 2) =___________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．求极限lim
x -sin x
x →0x
3. 17．设y=+ln 2
x ，求y '. 18．求不定积分
⎰
xdx
x 4+2x 2+2
.
∂219．设z=arctany
x
，求z ∂x ∂y .
20．设隐函数z （x,y ）由方程x+2y+z=2xyz 所确定，求
∂z
∂x
.
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21．设y=lncos
1
x
+x +x ，求y '. 22．计算定积分 I=
⎰
1
x 24-x 2dx .
23．计算二重积分I=
⎰⎰x (x
2
+y 2) dxdy ，其中D 是由直线x=0,
D
y=0及x+y=3所围成的闭区域. 五、应用题（本大题共9分）
24．设曲线l 的方程为y=alnx（a>0），曲线l 的一条切线l 1过原点，求
（1）由曲线l , 切线l 1以及x 轴所围成的平面图形的面积S ； （2）求此平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积V .
六、证明题（本大题共5分）
25．设f （x ）在[a, b]上具有连续的导数,a
⎰
b |f a
'(t ) |dt .
全国2009年4月高等教育自学考试
高等数学（一）试题 课程代码：00020
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 2
1．函数f (x )=-
⎛x -1⎫
2⎪的定义域为（ ）
⎝⎭
A ．[-1, 1] B ．[-1, 3]
C ．(-1,1)
D ．(-1,3)
⎧sin 2x
2．设函数f (x )=⎪
⎨x x
⎪⎩
3x 2-2x +k x ≥ 0（ ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
3．设函数y =150-2x 2, 则其弹性函数Ey
Ex
=（ ） A ．
4150-2x 2
B
．
4x 150-2x
2
C ．
4x 2x 2-150
D
．
4x 22x 2-150
4．曲线y =4x (x -1) 2
的渐近线的条数为（ ）
A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
5．设sin x 是f (x ) 的一个原函数，则⎰f (x ) d x =（ ）
A ．sin x +C B ．cos x +C C ．-cos x+C D ．-sin x+C
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6. 函数y =10x -1-2的反函数是___________.
37. 极限lim ⎛
x
⎫x
x →0
⎝1-
3⎪⎭
=___________. 8. 当x →0时，sin(2x 2) 与ax 2是等价无究小，则a =___________. 9. 极限lim
x +sin x x →∞
x 2
+1
=___________.
⎧10. 设函数f (⎪
ln(1+x 2)
x )=
⎨ x ≠0，则
⎪x
⎩
0 x =0f '(0)=___________.
11. 设y =x sin x ，则y ''=___________.
12. 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 13. 微分方程y y '=x 的通解是___________. 14. 设y =
⎰1
d y
x
te -t d t ，则
d x
=___________. 15. 设z =cos y
x
，则全微分d z =___________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16. 设y =5ln tan x ，求y '. 17. 求极限lim
e x -sin x -1x →0
ln(1+x 2
)
.
18. 求不定积分
⎰
ln x x
d x .
19. 某公司生产的某种产品的价格为155元/件，生产q 件该种产品
的总成本是C (q )=9+5q +0.15q 2元. 假设该种产品能全部售出，问产量为多少时，该公司可获最大利润？
20. 设z =z (x , y ) 是由方程e xyz +z -sin(xy )=1所确定的隐函数，求∂z ∂x , ∂z
∂y
.
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21. 设y =arctan
x 2-1-
1x
ln(x +x 2
-1), 求y '. 1
计算定积分⎰
2x 2
22. d 0-x
2
x.
23. 计算二重积分I =
⎰⎰x
2
cos(xy ) d x d y ，其中D 是由直线x =1,y =x
D
及x 轴所围成的平面区域.
五、应用题（本大题9分）
24. 设曲线xy =1与直线y =2，x =3所围成的平面区域为D （如图所示）. 求
（1）D 的面积；
（2）D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积
.
六、证明题（本大题5分）
25. 设函数f (x ) 在[1, 2]
上连续，在(1,2)内可导，且f (2)=0，
F (x )=(x -1) f (x ) ，证明：至少存在一点
ξ
(1,2)，使得
F '(ξ)=0.
全国2009年7月高等教育自学考试
高等数学（一）试题 课程代码：00020
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 函数f (x )=2+sin x 1+x
2
是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 有界函数
D. 周期函数 2. 设f (x )=2x , 则f ″(x )=（ ） A.2x
·ln 2
2 B.2x
·ln4 C.2x ·2
D.2x ·4
x 3
3. 函数f (x )=3
-x 的极大值点为（ ）
A. x =-3 B. x =-1 C. x =1
D. x =3
4. 下列反常积分收敛的是（ ） +∞
A.
⎰
+∞
d x 1
x
B.
⎰
d x 1
x
+∞
C. ⎰
d x
1
1+x
D.
⎰
+∞
d x 1
1+x 2
5. 正弦曲线的一段y =sin x (0≤x ≤π) 与x 轴所围平面图形的面积
为（ ） A.1
B.2
C.3 D.4
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6. 设f (x )=3x , g (x )=x 2，则函数g [f (x )]-f [g (x )]=_______________. 7. 函数f (x )=
1
x 3+x 2+x
间断点的个数为_______________.
lim x →0
(1-2x )
-28. 极限x
=________________.
9. 曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________.
10. 设函数y =ln x , 则它的弹性函数
Ey Ex
=_____________.
11. 函数f (x )=x 2e -x 的单调增加区间为______________. 12. 不定积分⎰d x
2x +3=__________________.
13. 设
f (x ) 连续且
⎰
x
f (t ) d t =x 2+c o 2
x s
，则
f (x )=________________.
14. 微分方程x d y -y d x =2dy 的通解为____________________.
15. 设z=x e xy , 则∂2
z
∂x ∂y
=______________________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16. 设函数f(x)=⎧⎨
k -e x x >0
⎩3x +1
x ≤0
在x =0处连续，试求常数k . 17. 求函数f(x)=e x
sin 2x +x arctanx 的导数.
18. 求极限lim
x 2
x →0x e x -sin x
.
π219. 计算定积分
⎰
20
sin 2x d x .
20. 求不定积分
⎰1+x 1+x 2
d x .
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21. 求函数f (x )=x 3-6x 2+9x -4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值. 22. 已知f (3x +2)=2x e -3x , 计算⎰
5
2
f (x ) d x .
23. 计算二重积分⎰⎰x
2
y d x d y ，其中D 是由直线y =x , x =1以及x
D
轴所围的区域.
五、应用题（本大题9分）
24. 已知矩形相邻两边的长度分别为x,y ，其周长为4. 将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体（如图）. 问当x,y 各为多少时可使旋转体的体积最大？
题24图
六、证明题（本大题5分）
25. 设z =y +F (u ), u =x 2-y 2, 其中F 是可微函数. 证明：y ∂z ∂x +x ∂z
∂y
=x .
全国2009年10月高等教育自学考试
高等数学（一）试题 课程代码：00020
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．函数f (x )=lnx - ln(x -1) 的定义域是（ ） A ．(-1,+∞) B ．(0,+∞) C ．(1,+∞)
D ．(0,1)
2．极限lim tan 2x
6x
=（ ）
x →0A ．0 B ．13
C ．
12
D ．3
3．设f (x )=arccos(x 2) ，则f ＇(x )=（ ） A
．
-
1-x 2
B
．
-
2x
-x
2
C
．
-
1-x 4
D ．
-
2x
-x
4
4．x =0是函数f (x )=e x 2+x
的（ ）
A ．零点 C ．极值点
5．初值问题⎨
⎧x d x +y dy =0
⎩y |x =2
=3的隐式特解为（ ）
A ．x 2+y 2=13 B ．x 2+y 2=6 C ．x 2-y 2=-5 D ．x 2-y 2=10
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6．已知f (x +1)=x 2
，则f (x )=________.
7．无穷级数1+13+11
3+ +3
+ 的和等于________. 8．已知函数y =e
x 3
，则其弹性函数
Ey
Ex
=________. 9．设函数f (x )=sin x +e-x ，则f ＂(x )=________. 10函数f (x )=2x 3
+3x 2-12x +1的单调减少区间为________.
11．函数f (x )=x 3
-3x 的极小值为________. 12．定积分
⎰
3
-2
|x |d x =________.
13．设f ＇(x )=cos x -2x 且f (0)=2，则f (x )=________. 14．已知
sin x
x
x
=⎰f (t ) d t ，则f (x )=________.
1
15．设z =(2x +y ) 2
y ，则∂z
∂x
=________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
⎧sin 3(x -1)
16．求a 的值，使得函数f (x )=⎪
⎨x ≠1在x =1处连续⎪x -1
. ⎩a x =117．求极限lim e x +e -x -2
x →01-cos x
.
18．求曲线y =x 4
-6x 3
+12x 2
+4x -1的凹凸区间.
19．求不定积分I =
⎰
x x 2
d x .
+2
20．计算二重积分I =
⎰⎰x d x d y ，其中区域D 由曲线y =
x ，直
D
线x =2以及x 轴围成
.
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21．求函数f (x )=x x
++x 2
的二阶导数. 22．求曲线y =
ln(2+x )
x
的水平渐近线和竖直渐近线. 23．计算定积分I =⎰2
1
x ln x d x .
五、应用题（本大题9分）
24．设区域D 由曲线y =ex ，y =x 2与直线x =0，x =1围成. （1）求D 的面积A ；
（2）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x .
六、证明题（本大题5分）
25．方程sin(x -y +z )=x -y +z 确定了二元隐函数z =z (x , y ) ，证明：
∂z ∂x +∂z
∂y
=0.
全国2007年10月高等教育自学考试
高等数学（一）试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1．设
f (x -1) =x 3-1，则f (x )=（
）
A ．
x 3
+2x 2
+2x B ．x 3
+3x 2
+3x
C ．x 3
+2x 2+2x +1D ．x 3+3x 2
+3x +1
2．下列极限存在的是（ ）
1
A ．lim
1x →0
e x -．lim x →0e C ．lim x 21
B x
x →∞
sin x D ．lim x →∞1-x 2
-x
2
3．曲线
y =e 上拐点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3
b
4d ⎛ sin x 2dx ⎫
）A ．sin x 2
B ．0C ．
2
cos x 2
dx ⎝
⎰
a
⎪⎭
=（
cos x D ．2x 5．
⎰
+∞
-x 2
）A ．10
xe dx =（
2B ．-1
2
C ．1D ．-1
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填
6．函数
y =log 42+log 4x 的反函数是______________.
7．
n lim →∞
n sin
π
2n =______________.
8．sin x
x lim
→+∞x
=______________. 9．设某商品市场需求函数为D =10-
p
2
，则p =3时的需求价格弹性是
______________. 10．函数
y =x 2-4在区间[-3，2]上的最大值是______________.
11．设
⎰
f (x ) dx =
sin x
x
+C ，则f (x )= ______________. +∞
12．
⎰
dx
-∞1+
x
2
=______________.
13．微分方程y '=xy +x +y +1的通解是______________.
14．设z
=a xy , a >1，则dz=______________.
15．设D={（x, y）|-1≤x ≤0, 0≤y ≤1}，则
⎰⎰
x 2dxdy =______________.
D
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．求极限lim
tan x -sin x x →0
sin 3x
.
17．设y =ln tan
x
2
，求y ′.
18．求不定积分
⎰
1-x 9-4x
2
dx .
π
19．求定积分π3
x .
4
sin 2x
dx
20．设函数
z =z (x , y ) 是由方程x 2+y 2+z 2-4z =0所确定的隐函
数，求∂z
∂x
.
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21．设
y =cos 2x ln x ，求y ″.
22．求定积分
1-x 212
x
2
dx .
23．设D 是由直线y=x, y=2x及y=2所围成的区域，试求
⎰⎰
(x 2+y 2
-x ) dxdy .
D
五、应用题（本大题共9分）
24．求曲线y =ln x 在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与直线x =2，x =6及曲线y =ln x 所围成的图形的面积最小.
六、证明题（本大题共5分） 25．证明：方程x
3
-3x +1=0在区间[0，1]上不可能有两个不同的根.
全国2008年1月高等教育自学考试
高等数学（一）试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 下列区间中, 函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ ）
A.(-1，
1)B.(-155,5)C.(0,
15)D.(
15
,+∞)
2. 设函数g (x)在x = a连续而f (x) = (x-a)g(x),则f ' (a) =（
） A. ０B. g '(a)C.f (a) D.g (a) 3. 设函数f (x)定义在开区间Ｉ上，x 0∈I , 且点(x0, f (x0) )是曲线y= f (x)的拐点,
则必有（ ）
A. 在点(x0, f (x 0)) 两侧, 曲线y=f (x)均为凹弧或均为凸弧.
B. 当xx0时, 曲线y=f (x)是凸弧(或凹弧). C.xx0时,f(x)>f(x0).D.xf(x0) 而x>x0时,f(x)
4. 设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P2, 则当P = 5时的需求价格弹性为（ A.0.25B.-0.25C.100D.-100 +∞
5. 无穷限积分
⎰
xe -x dx =（ ）A.-1B.1C.-
12D. 12
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
6. 函数y =
1+x 1-x
的定义域是___________.
7. 极限lim
(x +h ) 3-x 3
h →03h
=___________.
8. 极限lim 1-cos 2x x →0
x 2
=___________.
9. 已知某商品的成本函数为C(q )=20 -10q+q2(万元), 则q =15 时的边际成本为___________.
10. 抛物线y = x2上点(2,4)处的切线方程是___________. 11. 不定积分
⎰
dx
x (1+x )
=___________.
3
12. 定积分
⎰
dx 1
=___________.
x +x
3
13. 微分方程2 xydx+
-x 2
dy = 0的通解是___________.
14. 设z = arctan (xy),则
∂z
∂x
=___________. 1
21
15.
⎰
dx
⎰
x +2x
xydy=___________.
三、计算题(一) （本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16. 设y = xarctanx-ln+x 2
，求
y ''(1)
117. 求极限lim x →0
(1+
x 2) 1-cos x
18. 求不定积分⎰
ln x x
dx
π
19. 计算定积分I=⎰
2
( sinx -sin 3x )dx
20. 设z = z (x,y)是由方程x 2-z 2+lny z
=0确定的函数, 求dz
四、计算题(二) （本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21. 设y = x2x , 求y ''
1
22. 计算定积分I=⎰
2
-2x
1+2x
dx
2
23. 计算二重积分I =
⎰⎰
x y
2d σ, 其中D 是由直线x = 2,y = x和双曲线xy = 1围D
城的区域 .
五、应用题（本大题共9分）
24. 求内接于半径为R 的半圆而周长最大的矩形的各边边长.
六、证明题（本大题共5分）
25．证明：当函数y = f (x)在点 x0 可微，则f ( x )一定在点x 0可导.
全国2008年4月高等教育自学考试
高等数学（一）试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
⎧x +1-1
1．设
f (x ) =⎪
⎨, x ≠0, 则x =0是f (x ) 的（ ）
⎪x
⎩
0, x =0A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．连续点
2．设函数y =f (x ) 在点x 0的邻域V (x 0) 内可导，如果∀x ∈V (x 0) 有f (x ) ≥f (x 0) ，A ．
f ' (x ) ≥f ' (x 0) B ．f ' (x ) ≥f (x 0) C ．f ' (x 0) =0
D ．
f ' (x 0) >0
3．已知某商品的成本函数为C (Q ) =2Q ++500，
则当产量Q =100时的边际成本为（ ）A ．5B ．3C ．3.5D ．1.5 4．在区间(-1,0)内，下列函数中单调增加的是（ ） A ．
y =-4x +1B ．y =5x -3C ．y =x 2+1D ．y =|x |+2
+∞
5．无穷限积分
⎰
xe -x 2
dx =（
）
A ．1B ．0C ．-
12D ．12
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
6．设
f (x ) =x 2, g (x ) =2x
, 则f [g (x )]=______________。
7．已知极限lim x 3-x 2-ax +4
存在且有限，则a =______________。
x →1x -18．极限lim x -sin x
x →0x 3
=______________。
9．设某商品的供给函数为S (p ) =-0. 5+3p ，则供给价格弹性函数
ES
Ep
=______________。 10．曲线
y =(x -1) 3的拐点是______________。
11．微分方程xy ' =
y +x 3的通解是y =______________。
12．不定积分
⎰
e x
1+e
x
=______________。 π2
13．定积分⎰
4
cos x dx =______________。
14．设z
=x ln(x +y ) ，则z " xy =______________。
⎰1
y +3
15．
dy
⎰
y
xdx =______________。
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
．求极限lim
e x -e -x 16-2x x →0x 3
17．设y =(lnx ) x , 求y '
18．求不定积分
⎰arcsin xdx
19．计算定积分I =
⎰2
|1-x |dx
20．设z =z (x , y ) 是由方程2sin(x +2y -3z ) =x +2y -3z 所确定的隐函数，
并设
cos(x +2y -3z ) ≠
12, 求∂z
∂y
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21．设
y =
1
x 2-1
，求y " (2)
22．计算定积分I =
⎰
ln 2
-e -2x dx
23．设D 是由直线y =2,y =x 及y =2x 所围成的区域，计算二重积分
I =
⎰⎰
(x 2+y 2-x ) dxdy .
D
五、应用题（本大题共9分）
24．欲做一个底面为长方形的带盖长方体盒子，其底边长成1∶2的关系且体积为72cm 3，问其长、宽、高各为多少时，才能使此长方体盒子的表面积最小？
六、证明题（本大题共5分）
25．如果函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，在（a , b ）上可导且导数恒为零，试用微分学方法证明f (x ) 在(a , b ) 上一定是一个常数.
全国2008年7月高等教育自学考试
高等数学(一) 试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ ） A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]
2. 设f(x)=⎨
⎧ln(1+x ), x ≥0
x , x
） ⎩
A.0B.1C.-1D. 不存在
3. 设函数f(x)满足f '(x 0) =0,
f '(x 1) 不存在, 则（
）
A.x=x0及x=x1都是极值点B. 只有x=x0是极值点 C. 只有x=x1是极值点D.x=x0与x=x1都有可能不是极值点 4. 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则
⎰
a
-a
f (x ) dx =（
）
a
A.0B.2
⎰
f (x ) dx C. ⎰
[a
f (x ) +f (-x )]dx D. ⎰
[a
f (x ) -f (-x )]dx
5. 设供给函数S=S(p)(其中p 为商品价格), 则供给价格弹性是（ ） A. -
p S S '(p ) B. p S S '(p ) C. p S '(p ) D. 1
S
S '(p ) 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6. 设f(x-1)=x2-x, 则f(x)= ___________. 7.
n lim
1→∞
= ___________.
n 2sin 2
1
3n
8. 设lim
x f (x →0f (2x ) =2, 则lim 4x )
x →0x
=___________.
9. 设f '(1)
=1 则x lim →∞x ⎡⎢1⎤
⎣f (1-x ) -f (1) ⎥⎦
=___________.
10. 函数y=lnx 在[1,e]上满足拉格朗日定理的条件，应用此定理时相应的
ξ___________.
11. 函数y=arctan x2的最大的单调减小区间为___________. 12. 曲线y=2-(1+x)5的拐点为___________. 13.
⎰
+∞
dx
-1
x 2+2x +2
=___________.
15. 设z=x4
+y4
-4x 2y 2
, 则
∂2z
∂x ∂y
=___________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
lim
ln(1+x 216. 求极限) x →0sec x -cos x
.
17. 设y=ln(arctan(1-x)), 求y '.
18. 求不定积分 ⎰
dx
x (1+ln x )
.
19. 设z=2cos2
(x-1
2
y), 求∂2z ∂x ∂y .
x 2y 2z 2
20. 设z=z(x,y)是由方程
a 2+b 2+c 2
=1所确定的隐函数，求dz .
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21. 设y=cot
x
22
+tan
x
, 求y ' .
22. 计算定积分⎰
a
x 2a 2-x 2dx (a >0) .
x
23. 计策二重积分
⎰⎰
e y
y 轴所围成的闭
D
y 3
, 其中D 由直线x+y=1, y=1
2及区域.
五、应用题（本大题共9分）
24. 由y=x3, x=2及y=0所围成的图形分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得的两个旋转体的体积.
六、证明题（本大题共5分）
25．设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1. 证明：至少存在一点ξ∈（0，1）
，使f(ξ)=1-ξ.
全国2008年10月高等教育自学考试
高等数学（一）试题
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
1. 设函数y =f (x ) 的定义域为(1，2) ，则f (ax )(a
1a , 2a )B.[2a , 1a
)C.(a，2a)D.(2
a , a ]
2. 设f (x )=x |x |，则f ′(0)=( ) A.1B.-1C.0D. 不存在
3. 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.
ln x
B. x lim
→+∞x lim cos 2x C. x →∞x lim ln x D. lim e -x ln x →11-x →+∞x
x x
4. 设f (x ) 是连续函数，且
⎰0
f (t ) dt =x cos x ，则f (x )=( )
A.cos x -x sin x B.cos x +x sin x C.sin x -x cos x D.sin x +x cos x 5. 设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-
p 5
，则需求价格弹性函数
为( )A. p p
1
1
p -250B.
250-p
C.
p 5250-p
D.
p 5
p -250
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
6．设f (x )=
x
1+x
，则f (f (x ))=_______.
7．
lim
ln(1+n )
n →∞ln n =_______.
8．x lim →a
(x -a ) sin
1
a -x
=_______.
9．设f ′(0)=1，则lim
f (3t ) -f (-t )
x →0
2t
=_______.
10．设函数y =x +k ln x 在[1，e ]上满足罗尔定理的条件，则k =_______. 11．曲线y =ln
x 的竖直渐近线为_______.
12．曲线y =x ln x -x 在x =e 处的切线方程为_______.
1
13．⎰
22-1
=_______.
2
-x
2
dx 14．微分方程xy ′-y ln y =0的通解是_______. 15．设z =(x +y ) e xy ，则∂z
∂y
(0, 0) =_______.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16．求极限lim
4-x 2
-2
x →0
1-cos 2x
.
17．设y=e -arc cot x
，求y ′.
18．求不定积分
⎰
dx +2x -x
2
.
19．设z =x +y +
1
，求
∂2z xy
∂y ∂x
(1, 1) .
20．设F (u ，v ) 可微，且F u
'≠F v '，z （x ，y ）是由方程F （ax +bz ，ay -bz ）=0(b ≠0) 所确定的隐函数，求∂z
∂y
.
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21．设y =ln(1+x +x 2+2x ) +arcsin
1
1+x
(x >0), 求y ′.
22．计算定积分⎰
1
ln(1+x ) 0
(2-x ) 2
dx .
23．计算二重积分I=⎰⎰e
-y 2
dxdy ，其中D 是由x =0，y =1及y =x 所围成的
D
区域.
五、应用题（本大题9分）
求由抛物线y =x 2和y =2-x 2所围成图形的面积，并求此图形绕x 轴旋转一周所成立体的体积.
六、证明题（本大题5分）
设f (x ) 在[0，1]上连续，且当x ∈[0，1]时，恒有f (x )
2x -
⎰
x
f (t ) dt =1在
（0，1）内至少存在一个根.
全国2010年7月高等教育自学考试
高等数学(一) 试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1. 若f (x ) 为奇函数, 且对任意实数x 恒有f (x +3)-f (x -1)=0,则f (2)=（ ） A. -1B.0C.1D.2 2. 极限
x lim →∞(1-3
x
) x =（ ）
A.e -3B.e -2C.e -1D.e 3
3. 若曲线y =f (x ) 在x =x 0处有切线, 则导数f ＇(x 0) （ ） A. 等于0B. 存在C. 不存在D. 不一定存在 4. 设函数y =(sinx 4) 2, 则导数
d y
d x
=（ ）
A.4x 3cos(2x 4)B.4x 3sin(2x 4)C.2x 3cos(2x 4)D.2x 3sin(2x 4) 5. 若f ＇(x 2)=
1x
(x >0),则f (x )=（ ）
A.2x +C B.
1x
+C C.2
x +C D. x 2+C
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6. 若f (x +1)=x 2-3x +2,则f (
x )=_________.
n
7. 无穷级数1-
12+14-18+ +⎛ 1⎫
⎝-2⎪⎭
+ 的和为_________. 8. 已知函数f (x )=1
1+x
, f (x 0)=1,则导数f ＇(x 0)=_________. 9. 若导数f ＇(x lim
h
0)=10,则极限h →0f (x =_________. 0-2h ) -f (x 0
) 10. 函数f (x )=(x -1) 2
的单调减少区间为_________.
11. 函数f (x )=x 4-4x +3在区间[0,2]上的最小值为_________. 12. 微分方程y 〃+x (y ＇) 3+sin y=0的阶数为_________. 13. 定积分
⎰
2
-2
|x |sin x d x =_________.
2
14. 导数
d
d t d x
⎰
x 1
4
=_________.
+t
15. 设函数z =
x 2+y 2
, 则偏导数
∂z
∂x
=_________. 三、计算题(一) （本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16. 设y =y (x ) 是由方程e x -e y =sin(xy ) 所确定的隐函数, 求微分d y .
17. 求极限lim
e x -e -x -2x
x →0tan x -x
.
18. 求曲线y =x 2ln x 的凹凸区间及拐点.
+∞
19. 计算无穷限反常积分I =
⎰
1
-∞x +x +1
d x .
20. 设函数z=arc cot y
∂2z x
, 求二阶偏导数∂x 2, ∂2z ∂x ∂y .
四、计算题(二) （本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21. 设f (x ) 的一个原函数为e -x 2
, 求不定积分⎰ xf ＇(x )d x .
22. 求曲线y =ln x 及其在点(e,1)的切线与x 轴所围成的平面图形的面积A
.
23. 计算二重积分
I =
⎰⎰
e (x -1)
2
D
x +1
d x d y , 其中D 是由曲线y =x 2-1及直线
y =0,x =2所围成的区域
.
五、应用题（本大题9分）
24. 设某厂生产q 吨产品的成本函数为C (q )=4q 2-12q +100,该产品的需求函数为q =30-.5p , 其中p 为产品的价格.
(1)求该产品的收益函数R (q ) ； (2)求该产品的利润函数L (q ) ；
(3)问生产多少吨该产品时, 可获最大利润? 最大利润是多少？
六、证明题（本大题5分）
25. 证明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0,1)内至少有一个实根.
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