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第三十七讲 最值问题
告诉你本讲的重点、难点
分析、解答最值问题的基本方法是列举、比较，通过比较找到规律，得出最大或最小．这种方法适用于有限的情形．
看老师画龙点晴，教给你解题诀窍
【例l 】 在五位数22576的某一位数码后面再插入一个该数码，得到的六位数中最大的是几？
分析与解 我们可以把所有的五种情况都列出来，找出最大的一个．这五种情况分别是：222576，222576，225576，225776，225766. 可以看出225776最大，不过我们也可以通过分析找到答案，要想得到的数最大，就要在数字变小之前插入，从2→ 2→ 5→7数字保持不变或变大，这时插入不合适，而从7到6，数字在变小，在7的后面插入就可以使数字不变小，这时得到的数就最大．想一想，要想得到的六位数最小，应该在什么位置插入呢？
【例2】用20厘米长的铁丝可以围成各种长方形，如果长和宽都是整厘米数，围成的长方形面积最大是多少？ 分析与解我们可以列表找出面积就最大的情况：
从表中可以看出，当长方形的周长不变时，长和宽的长度越接近，面积就越大．所以围成的长方形面积最大是25平方厘米．
【例3】把16拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？分析与解对于这一类整数的分拆的原则是：
1．一般都尽量分成若干个3相加（比如6 = 3+3，则3×3=9，若分成6=2+2+2，则2×2×2=8，比分成3小）；
2．不分成1（因为1乘任何数都等于原数，不能使乘积扩大）；
3．-般都不分成4或4以上的（例如：6=3+3，那么3×3=9，如果分成6=4+2，那么4×2=8，这里很容易看出3×3的积比4X2的积大，同样，如9=4+5，4×5—20，如果分成9-3+3+3，那么3X3X3=27，3×3×3的积比4×5大）．所以分成若干个3相加后，不能再分成3时就分为2,2的个数不要超过2个．
16÷3=5......1
16=3+3+3+3+2+2
3⨯3⨯3⨯3⨯2⨯2=324
应该拆成四个3和两个2，积最大是324.
(注意当除以3余1时，因为不能拆出1，所以要拿一个3和1凑成4，分成2+2)
【例4】有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为8888，这类自然数中最小的是几？
分析与解 因为一个自然数位数越多这个数就越大，要找这类自然数中最小的，就要让位数尽可能少，由于各个数位上的数字之和为8888，是一定的，要想位数少，就要每个数位的数尽可能大，所以要尽可能多地用9，8888÷9=987......5，所以这个数最小也要是988位数，要让这个988位数尽可能小，最高位就要小，所以这个数最小是5999 99⋅
987个9
【例5】将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：
[**************]...9899100从中划去170个数字，不改变原数字的顺序，剩下的数字形成一个22位数，这个22位数最大是多少？最小是多少？
分析与解 由于剩下的数字形成的是一个22位数，要想这个22位数尽量大，那么高位上要尽可能是