解题秘籍
高三·理化生
关于斜面摩擦力做功的一个推论
◆陈宏奎
一、
结论推导
如图1所示, 固定的斜面长为L , 倾角为θ, 一个质量为m 的物块从顶端滑至底端, 物块和斜面间的动摩擦因数为μ, 试求物块在斜面上运动过
图1
解析 原始处理方法是利用功的定义分别求出
物体从a 、b 、c 三个斜面顶端滑到底端过程中摩擦力做功大小再进行比较. 一旦熟悉模型理解结论, 知道在斜面上两点间滑动的物体, 滑动摩擦力做功在数值上等于μm g 与两点间水平位移的乘积, 与斜面的倾角大小无关, 可立即得出本题答案为D 选项. 本题为该结论的直接应用, 提高了解题效率
.
例2 如图3所示, DO 是水平面, AB 是斜面, 初速为v 0的物体从D 点出
发沿D B A 滑动到顶图3
点A 时速度刚好为零, 如果斜面改为AC , 让该物体从D 点出发沿DCA 滑动到A 点时速度刚好为零, 不计拐角处能量损失, 则物体具有的初速度为(已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且不为零)
( )
A . 大于v 0
B . 等于v 0
C . 小于v 0D . 决定于斜面的倾角
解析 设物体的质量为m , 物体与路面之间的动摩擦因数处处相同为μ, 物体沿DB A 滑到顶点A 时, 可理解为在水平面上D B 上滑行和斜面B A 上滑行两个阶段. 第一阶段物体在水平面上DB 上滑行克服摩擦力做的功为W 1=μmg ×DB , 第二阶段物体在斜面B A 上滑行过程中借助结论可知, 物体克服摩擦力做的功为W 2=μm g ×BO . 则全程物体克服摩擦力做的功为W =W 1+W 2=μmg ×DO , 同理物体沿
图2
程中克服滑动摩擦力所做的功.
解析 对物块受力分析结合功的定义, 物块在斜面上运动过程中克服滑动摩擦力所做的功W f =μm g cos θ×L =μm gs . ①
结合图1, ①式中s =L cos θ, 根据几何关系可知, s 为斜面A B 在水平面上的投影OB 的长, 上式可以理解为物块在斜面上由A 滑到B 过程中, 滑动摩擦力所做的功在数值上等于μm g 与两点间水平位移的乘积.
同理可证明在该物理情境下, 若物块沿斜面上滑, ①式仍成立.
结论 在斜面上两点间滑动的物体, 滑动摩擦力做功在数值上等于μm g 与两点间水平位移的乘积, 与斜面的倾角大小无关.
熟练运用该结论可以迅速准确地解决题中“隐含”该模型的一类问题.
二、
经典回顾
例1 如图2所示, 质量为m 的物体沿底面长度均为L 、倾角不同的a 、b 、c 三个斜面从顶端滑下, 物体和斜面间的滑动摩擦因数相同, a 、b 、c 三个斜面与水平面的夹角的关系是θ1>θ2>θ3, 物体从a 、
b 、c 三个斜面顶端滑到底端过程中, 摩擦力做功大小分别是W 1、W 2和W 3, 则它们的关系是( )
A . W 1>W 2>W 3 B . W 1=W 3>W 2C . W 1
D . W 1=W 2=W 3
D CA 滑到顶点A 过程中, 全程物体克服摩擦力做的
功也等于W =W 1+W 2=μmg ×DO . 故物体具有的初速度仍为v 0, 选项B 正确.
例3 如图4所示, 在北戴河旅游景点之一的滑沙场有两个坡度不同的滑道AB 和AB ′(都可看作斜面) . 甲、乙两名旅游者分别乘两个完全相同的滑沙
2009年第10期
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橇从插有红旗的A 点由静止出发同时沿AB 和AB ′滑下, 最后都停在水平沙面BC 上. 设滑沙橇和沙面间的动摩
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顶端沿左边或右边由静止开始下滑(α
平面间的动摩擦因数相同, 斜面与水平面连接处可视为光滑, 图中水平面上的O 点位于斜面顶点正下方则(
)
图4
擦因数处处相同, 斜面与水平面连接处可视为光滑,
滑沙者保持一定姿势坐在滑沙橇上不动. 下列说法中正确的是
( )
图5
A . 甲在B 点的速率等于乙在B ′点的速率
B . 甲滑行的总路程比乙短C . 甲全部滑行过程的水平位移一定比乙全部滑行过程的水平位移大
D . 甲、乙停止滑行后回头看A 处的红旗时视线的仰角一定相同
解析 设斜面高为h , s 为斜面在水平面上的投影的长, 滑沙者质量为m , 动摩擦因数处处相同为μ, 滑沙者由A 点滑到水平面上时速度大小为v , 从A 点滑到水平面上由动能定理结合已知结论可列式m v 2=m gh -μm gs , 由该式可推理甲在B 点的速2
率大于乙在B ′点的速率, A 选项错误.
设滑沙者停止的位置与O 点距离为x , 滑沙者从出发到停止, 全程可得0=m gh -μmg x , x 为定μ
A . 距离OA 等于OB B . 距离OA 大于OB
C . 距离O A 小于OB D . 条件不足, 无法判定提示 本题看似条件不太充分, 斜面体两端倾角没有具体给出, 联想到问题可能与倾角无关, 就可以用模型结论来快速处理. 由0=mg h -μm g x , 可知距离O A 等于OB .
2. 如图6甲所示, 一个带正电的物体m , 由静止开始从斜面上A 点滑下, 滑到水平面BC 上的D 点停下来, 已知物体与斜面及水平面之间的动摩擦因数相同, 不计物体经过B 处时的机械能损失. 现在AB C 所在空间加上竖直向下的匀强电场, 再次让物体m 由A 点静止开始下滑, 结果物体在水平面上的D ′点停下来, 如图6乙所示, 则下列说法中正确的是
(
)
值, 与滑沙者质量m 以及各自滑道的倾斜程度无关,
滑沙者停止在同一位置, 甲、乙停止滑行后回头看A 处的红旗时视线的仰角一定相同, 则C 选项错误, D 正确.
在■ABB ′中, 由几何关系AB +BB ′>AB ′, 由于滑沙者最终停止在同一位置, 则甲滑行的总路程比乙长, B 选项错误. 点评 通过以上三例, 不难发现在这类“缺少确定的斜面倾角”条件的斜面体问题中, 往往可以灵活运用本文总结的结论, 摩擦力做功与斜面的倾角大小无关, 这是破题的关键思路! 我们要善于借助已知模型的结论, 做到“一点带动一片, 盘活全面”, 才能更好更深入地解决这一类问题.
三、新题鉴赏1. 如图5所示, 小物块可以分别从固定斜面的
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图6
A . D ′点一定在D 点左侧
B . D ′点一定在D 点右侧C . D ′点一定在D 点重合
D . 无法确定D ′点在D 点左侧还是右侧
提示 加了竖直向下的匀强电场后, 从等效的观点看只是增加了物体的“重力”, 复合场中物体的“重力”为电场力与原来重力的合力. 由0=mgh -μm g x , 得x 为定值, 与物体重力m g 无关, 并不μ
影响物体在水平面上停止的位置, 仍停在D 点.
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开始运动处的水平距离为
巩固训练
1. 如图7所示, 在同
s (如图9所示) , 不考虑物
体滑至斜面底端的碰撞作用, 并认为斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同, 求动摩擦因数μ
.
图7
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一竖直平面内的A 、C 两点之间有三条轨道, 一质
量为m 的物体分别沿三条轨道从顶端A 以相同的速率滑下, 物体和所有
接触面间的滑动摩擦因数相同, 物体分别从a 、b 、c 三条轨道顶端滑到C 点时, 关于到达C 点时速度大小下列说法正确的是
A . 沿a 轨道滑到C 点时速度最小B . 沿b 轨道滑到C 点时速度最大C . 沿c 轨道滑到C 点时速度最大D . 沿三条轨道滑到C
点时速度大小相等2. 如图8所示, 物体以一定的初速度沿水平面由A 点滑到B 点, 克服滑动摩擦力做功为W 1; 若该物体从C
沿两斜面滑到D , 克服图8滑动摩擦力做功为W 2. 已知物体与各接触面的动摩擦因数均相同且水平距离AB 等于CD 长, 则( )
A . W 1=W 2
B . W 1
C . W 1>W 2D . 无法确定
3. 一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止,
量得停止处到
( )
图9
4. 图10中ABCD 是
一条长轨道, 其中AB 段是倾角为θ的斜面, CD 段是水平的. BC 是与AB 和
C D 都相切的一小段圆弧, 其长度可以略去不计. 一质量为m 的小滑块在A 点从静止状态释放, 沿轨道滑下, 最后停在D 点, A 点和D 点的位置如图10所示. 现用一沿着轨道方向的力推滑块, 将它缓慢地由D 点推回到A 点时停下. 设滑块与轨道间的动摩擦因数为μ, 则推力对滑块做的功等于( )
A . m gh
C . μm g (s )
sin θ
B . 2m gh
D . μm gs +μmg h cot θ
图10
参考答案1. D 2. A 3. μs
4. B 注意当用力推滑块, 将它缓慢地由D 点推回到A 点时停下, 这段过程中滑动摩擦力所做的功与小滑块在A 点从静止状态释放, 沿轨道滑下, 最后停在D 点过程中滑动摩擦力所做的功相同
.
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