习 题
6−1作图示杆件的轴力图。 解：在求AB 段内任一截面上的轴力时，在任一截面1−1处截断，取
（a ）
40kN 20kN 25kN
300
400
（b ）
（c ） （d ）
（e ）
（f ） N2 F
F N 图（kN ）
（g ）
20
习题6−1图
左段为脱离体（图c ），并设轴力F N1为拉力。由平衡方程求出：
F N 1=20kN
同理，可求得BC 段任一截面上的轴力（图d ）为
F N2=20-40=-20kN
求CD 段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体，并设轴力F N 3为拉力（图e ）。由
-F N3-25+25=0∑F x =0,
F N3=0kN 同理，可得DE 段内任一横截面上的轴力F N 4为（图f ）
F N4=F 4=25kN 按轴力图作图规则，作出杆的轴力图（图g ）。
6−2 作图示杆件的轴力图。已知：F =3kN 。
解：取图示脱离体，并由对应的脱离体平衡求出轴力分别为：
作轴力图
F
轴力图
F
6−3 设在题6−1中杆件的横截面是10mm 20mm 的矩形，试求各杆件截面上的应力值。
解：由习题6-1解知杆件各段轴力，其对应的应力分别为：
6−4 图示一圆周轴CD 与套管 AB 紧密配合。现欲用力F 将轴自套管内拔出。设轴与套管间的摩擦力q （按单位面积计）为常数。已知q 、a 、b 及d ，试求：
(1) 拔动轴CD 时所需
的F 值；
(2) 分别作出轴CD 和套管 AB 在F 力作用下的轴力图。 解：（1）F 应等于轴与套
管间的摩擦力，即
F=qπdb
q πdb
（2）轴CD 与套管的轴力图如图b
q πdb
6−5在图示结构中，所有各杆都是钢制的，横截面图b 面积均等于3×10-3mm 2，力
F = 100kN 。求各杆的应力。
取C 节点为脱离体，有
求各杆应力
6−6图示一三角架，由两杆AB 和
BC 组成，该两杆材料相同，
抗拉和抗压许用应力均为[σ]，截面面积分别为A 1和A 2。设h 保持不变，而杆AB 的倾角
θ可以改变。试问当θ等于多少度时，该三角架的重量最小。
B
解：取B 节点为脱离体，由节点平衡求各杆的轴力
根据强度条件，有
杆的总重量为
6−7 图示一面积为100m m ×200mm 的矩形截面杆，受拉力P=20kN的作用。试求
（1）θ=30º的斜截面m −m 上的应力；
（2）最大正应力和最大切应力的大小及其作用面的方位角 解：（1）由斜截面应力计算公式
则
;
（2）最大正应力
最大切应力
6−8图示钢杆的横截面面积为200mm 2，钢的弹性模量E =200GPa ，求
各段杆的应变、伸长及全杆的总伸长。
解：（1）由截面法直接作轴力图
（2）计算各段截面的应力
习题6−8图
(3) 计算各段截面的应变
(4) 计算各段截面的的伸长
(5) 计算杆件总伸长
6−9图示一阶梯形截面杆，其弹性模量E =200GPa ，截面面积A Ⅰ=300mm2，A Ⅱ=250mm2，A Ⅲ=200mm 2，作用力F 1=30kN ，F 2=15kN ，F 3=10kN ，
F 4=25kN 。试求每段杆的内力、应力、
应变、伸长及全杆的总伸长。
解：（1）由截面法直接作轴力图 （2）计算各段截面的应力
（3）计算各段截面的应变
（4） 计算各段截面的的伸长
轴力图
（5）计算杆件总伸长
6−10 图示一三角架，在节点A 受铅锤力F =20kN 的作用。设杆AB 为圆截面钢杆，直径d =8mm ，杆AC 为空心圆管，面积A =40⨯10-6m 2，二杆的E =200GPa 。试求节点A 的位移值及其方向。
解: (1) 求各杆的轴力，取A 节点为脱离体，并由
(2) 求各杆的伸长
(3) 求A 点的位移及方向 A
点的水平位移为：
A 点的竖向位移为：
A 点的总位移为：
=
与水平杆的夹角：
6−11 图示一
三角架，在节点A 受F 力作用。设AB 为圆截面钢杆，直径为d ，杆长为l 1；AC 为空心圆管，截面积为A 2，杆长为l 2。已知：材料的容许应力[σ]=160MPa，F =10mm，A 2=50⨯10-8m 2，l 1=2.5m，l 2=1.5m。试作强度校核。 解：(1) 求各杆的轴力，取A 节点为脱离体，并由
（2）计算各杆截面的应力
故满足强度条件，结构是安全的。 6−12 图a 示一桁架，每杆长均为1m ，并均由两根等边角钢焊接而成（图b ）。设F =400kN，钢的许用应力[σ] =160MPa。试对每杆选择角钢型号（对受压杆不考虑压弯的因素）。
解：（1）求支座反力 F A =F B =F /2=200kN
（2）求各杆轴力，由于对称，只需计算： A 节点：
D 节点：
（3）由强度条件计算各杆的截面面积
对于AD 、CD 、CE 、BE 、DE 杆查表知选
2
对于AC 、BC 杆查表知选
2
6−13 三角架ABC 由AC 和BC 二杆组成。杆AC 由两根No.12b 的槽钢组成，许用应力[σ] =160MPa；杆BC 为一根No.22a 的工字钢，许用应力[σ] =100MPa。求荷载F 的许可值[F ]。
解：(1) 求各杆的轴力，取A 节点为脱离体，并由
（2）由强度条件确定许用荷载
所以许用荷载为[F]=420kN。
6−14 图示石柱桥墩，压力F = 1000 kN，石料密度ρ=25 kN /m2 ，许用应力[σ] =1 MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积。 （1）等截面石柱；
（2）三段等长度的阶梯石柱；
（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力[σ]。
解：（1）采用等截面石柱
结构如图a 所示，设柱的横截面面积和长度分别为A 、l ，底部截面轴力最大，为
强度条件为
于是有
所用石料体积为
2、采用三段等长度的阶梯石柱
结构如图b 所示，按从上到下顺序，设各段横截面面积和长度分别为A 1 , l 1 ， A 2 , l 2 和
A 3 , l 3 。显然，各阶梯段下端截面轴力最大，分别为
F N1 = F +ρA 1l 1 , F N2 = F +ρA 1l 1 +ρA 2l 2 , F N3 = F +ρA 1l 1 +ρA 2l 2 +ρA 3l 3 由石柱的各段均应满足强度条件，于是得
所用石料体积为
3、采用等强度石柱
所谓等强度石柱，即要求每一个横截面上的应力都等于许用应力[σ] 。取x 坐标如图c 所示，则根据等强度要求，有
由于不同截面上轴力不同，因而横截面面积必须随x 坐标变化才能满足上式。为确定横截面面积随x 坐标的变化规律，在石柱中x 处取d x 微段，设微段上截面的面积为A (x ) ，则下截面的面积为A (x )+dA (x ) ，微段石柱的受力情况如图d 所示。
考虑微段的静力平衡，有
[A (x ) + d A (x )]⋅[σ] = A (x )[σ] +ρA (x )d x d A (x )[σ] =ρA (x )d x
设桥墩顶端截面( x = 0)的面积为A 0 ，对上式积分，得x 截面的面积为
由于
石柱下端截面积
石柱的体积可由积分求得。也可用下面的简便方法求解：
石柱下端截面的轴力F N (l ) = F + G ，式中G 为石柱的自重，G =ρV 3 由石柱的下端截面强度条件得
所以，石柱的体积为
三种情况下所需石料的体积比值为24∶19. 7∶18，或1. 33∶1. 09∶1。 讨论：计算结果表明，采用等强度石柱时最节省材料，这是因为这种设计使得各截面的正应力均达到许用应力，使材料得到充分利用。
6−15 滑轮结构如图，AB 杆为钢材，截面为圆形，直径d =20 mm ，许用应力[σ]=160 MPa，BC 杆为木材，截面为方形，边长a =60mm ，许用应力[σ]= 12 MPa。试计算此结构的许用载载[F ]
解：(1) 求各杆的轴力，取A 节点为脱离体，并将滑轮作用力直接作用在节点上，由
（2）由强度条件确定许用荷载
F
所以许用荷载为[F]=21.6kN。
6−16 图示结构由刚性杆AB 及两弹性杆EC 及FD 组成，在B 端受力F 作用。两弹性杆由相同材料所组成，且长度相等、横截面面积相同，试求杆EC 和FD 的内力。
解：：该结构为一次超静定，需要建立一个补充方程。
⑴静力方面 取脱离体如图b 所示，F DF 、F CE 且以实际方向给出。建立有效的平衡方程为
l 3
ΣM A =0, F DF +F CE l -F l =0 (a )
22
⑵几何方面 刚性杆AB 在F
作用下变形如
（b ）AB 杆受力
图a 所示，CE 杆的伸长Δl CE 与DE 杆的伸长Δl DF 几何关系为：
1
Δl DF =Δl CE (b )
2
(3) 物理方面 根据胡克定律，有
F F
Δl DF =DF , Δl CE =CE (c )
EA EA
将式（c ）代入式（b ）得
1
F DF =F CE (d )
2
此式为补充方程。与平衡方程（a ）联立求解，即得
36
F DF =F , F DE =F (e )
55
6−17 一钢螺栓穿过铜套管，在一端由螺母拧住（此时，螺母与套管间无间隙，螺杆和套管内无应力）。已知螺栓杆的直径D 1=20mm，，螺距p =1mm，铜套管的外径D 2=40mm，内径d 2=22mm，长度l =200mm，钢和铜的弹性模量分别为
E 1=200GPa， E 2=100GPa。试求当再将螺母拧紧
1/4圈时，螺栓和套管内的应力（不计螺栓头和螺母的变形）。 解：（1）受力分析：螺栓对垫圈的作用力等于套管对垫圈的作用力，即F N1=F N2。
（2）根据题意，其位移条件为
其中，
分别为螺栓的伸长及套管的缩短，考虑F N1=F N2，可计算出
将
代入得
(3) 螺栓横截面的应力为拉应力
套管横截面的应力为压应力
6−18 图示杆件在A 端固定，另一端离刚性支撑B 有一定空隙δ=1mm。试求当杆件受F =50kN的作用后，杆的轴力。设E =100GPa，A =200mm2。
（b ）
（c ）
解：在外力作用下B 端将于支座接触，支座产生反力，取图（b ）所示情况
进行分析，并作出轴力图（c ）。
位移条件：
代入有
最终杆件轴力图为（c ）。
6−19 图示一圆筒形容器的纵截面图，容器装满密度为ρ的液体。试求离顶面距离y 处纵截面上的正应力σt （设σt 沿壁厚平均分
布）。
解：在y 处取dy 微段并沿径向截开，如图（a ）
由
（a ）