比的意义和性质
一、课例背景分析
本单元是在学生学习了分数的意义和性质和分数乘除法的基础上教学的。由于比与分数有着密切的联系，把比放在分数除法之后进行教学，既加强了知识间的内在联系，又为以后学习比例及相关知识打下基础。
二、信息窗解读
信息窗1——人体中的比
该信息窗是以学生熟悉的人体为载体，呈现了头长、臂长、腿长、身高几个信息，简单明了、一目了然。借助“怎样用算式表示赵凡的臂长和腿长的关系呢？”等问题，引入对比的意义、求比值、比的基本性质、化简比的学习。
借助信息窗提供的信息，“合作探索”中安排了四个红点。第一、二个红点部分是学习比的意义和求比值的方法。教材分别提出“怎样用算式表示赵凡的臂长和腿长的关系呢？” 和“怎样用算式表示赵凡的头长和身高的关系呢？”两个问题展开探索。
比的概念实质是对两个数量进行比较，表示两个数量间的倍比关系。任何相关的两个数量的比都可以抽象为两个数的比。教材由一个数是另一个数的几分之几和一个数是另一个数的几倍引出：可以把这两种数量间关系的表示法统一起来，都叫做一个数和另一个数的比。另外，求一个数是另一个数的几倍或几分之几都是用除法计算的，所以通常就把两个数相除也叫做两个数的比。
此后，出现的“想一想：比、分数和除法之间有什么关系？比的后项可以是0吗？”，旨在引领学生在寻找相同点和不同点的过程中，加深对这些概念的掌握，体会到它们之间的内在联系，从而构建起完整的知识体系。
第三、四个红点部分是学习比的基本性质和化简比的方法
教材引领学生将比的前项和后项同时乘或除以相同的数，通过观察发现比值不变，从而得出比的基本性质。接着根据比的基本性质化简比，教材提供的例子 中化简比有三种情况：一是第四个红点14：21，是学习化简整数比的方法：用比的前、后项分别除以他们的最大公因数，直到前、后项是互质数为止；二是借助想一想“怎样将13：化成最简单的整数比？”，学习化简分数比的方法，108
即根据比的基本性质，把比的前、后项分别乘上分母的最小公倍数，把分数比转化成整数比，进而化简；三是借助想一想中1.25：4，学习化简小数比的方法：即根据小数点位置移动引起小数大小变化的规律，把小数比转化成整数比，再化简。
自主练习的设计，形式多样，素材丰富，同时，把比的意义进行了扩充。比如自主练习第2题，一架客机3小时飞行2400千米，写出路程与时间的比，求出比值，并说说比值的实际意义。为什么说这是对比的意义的扩充呢？我们知道，除了同类量可以相比以外，根据实际应用的需要，不同类量也可以相比。比如路程和时间的比，质量和体积的比等。当然，不同类量的比，必须有关联才行，这样，比的结果就是一个新的量。路程和时间的比就是速度，质量和体积的比就是密度。这道题可以作为半例题使用，帮助学生进一步理解比的意义。
本信息窗最后，教材还提供了“你知道吗？”栏目，给学生介绍是人面部“三停五眼”的常识。
三、课堂回顾
信息窗1：比的意义和性质
教学内容：教学比的意义及性质，自主练习题。
教学目标：理解比的意义、比的基本性质，学会应用。
教学过程：
一、创设情景，提出问题
1、揭题提问，明确目标。
谈话：同学们，今天我们学习一个新的数学概念“比”（板书课题），看到这个课题你们想知道什么？（根据学生回答，随机板书：什么叫比、比的作用等）
2、创设情景，呈现信息。
谈话：什么叫做比呢？下面我们借助人体图进行研究，请看图：从图中你们发现了哪些数学信息？
3. 根据信息，提出问题。
根据赵凡的腿长和臂长你能提出哪些数学问题？（估计学生可能提出求差、商等问题，如果学生提不出用除法解答的问题，教师要顺势引导）
[设计意图]：根据提供的信息提出有用的数学问题为引出比的概念做好铺
垫。利用新教材直观形象的优点，提高学生的学习兴趣，使学生在轻松愉悦、和谐的课堂氛围中学习、探究，体验学数学快乐。
二、自主探究，学习新知
（一）学习比的意义
1.解决第一个红点问题，认识同类量的比。
（1）讲解规定。
谈话：你能用算式表示臂长是腿长的几分之几吗？（板书算式）你能用算式表示腿长是臂长的几倍吗？（板书算式）
谈话：臂长是腿长的几分之几我们还可以说成臂长和腿长的比是72∶96或72/96。
腿长是臂长的几倍，还可以说成腿长和臂长的比是96：72或96、72。
（2）试一试。
谈话：你能用算式表示头长是身高的几分之几吗？用比怎样表示吗？你能用算式表示身高是头长的几倍吗？用比怎样表示？
2.解决第二个红点问题，认识不同类量的比。
谈话：赵凡3分钟走了330米，怎样用算式表示赵凡的行走速度？（板书：330÷3）330表示什么？3呢？我们也可以用比表示路程和时间之间的关系，路程和时间的比就是330：3。
3.分析素材，总结意义。
（1）同桌合作总结。
谈话：刚才我们认识了比，到底什么叫做两个数的比呢？两个数的比和除法有什么关系？先自己想一想，在和同桌说说（教师巡视指导）。
（2）班内交流总结。
谈话：什么叫做两个数的比？（板书：两个数相除又叫做两个数的比）96－72能写成96：72吗？为什么？（强调：两个数相除）
[设计意图：解决两个红点问题，始终按照“用算是怎样表示？还可以用比表示”的顺序组织，有利于学生形成清晰的表象，进而通过观察、比较、归纳、概括形成概念。]
4.学习比各部分名称及比值的意义。
（1）讲解概念。
谈话：两个数的比都是由几部分组成的？前面的数叫比的前项，后面的数叫比的后项，中间的两个小圆点叫比号。比的前项除以后项的商叫做比值（板书）
372 ∶ 96 = 72÷96 = 4
∶ ∶ ∶ ∶
前 比 后 比
项 号 项 值
（2）求比值。
谈话：怎样求比值？（接着出示练习题让学生求出几个比的比值，并强调：比值是一个数可以是小数、整数、分数。）
5.对比分析，学习比与分数、除法之间的关系。
（1）找联系。
谈话：同学们，72∶96还可以怎样写？ （72） ，它和72÷96 有什么关96
72系？（随机板书：，72∶96=72÷96），比和除法、分数之间有什么联系？（比96
和除法、分数之间可以互相转化，可以划等号）；比的后项可以是“0”吗，为什么？（后项相当于分母，„„）
（2）找区别。
谈话：比、除法、分数有什么区别？（引导学生明确：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个量之间的倍比关系。）
（二）学习比的基本性质
1、解决第三个红点问题，类比猜想---验证迁移，总结性质。
（1）类比猜想。
谈话：我们已学习了分数的基本性质，请同学们想一想，分数的基本性质是什么？（出示分数基本性质）比有没有这样的性质呢？会有什么样的性质？（显示学生猜想的性质）
（2）验证迁移。
谈话：我们猜想有这样的性质，到底有没有？怎么办？（验证），你打算怎样验证？
（3）班内交流总结。
比也有这样的性质吗，为什么？（引导学生交流例证）
[设计意图：引导学生通过类比猜想---验证迁移的方法探索比的基本性质，有利于他们迁移已有的分数基本性质同化比的基本性质，体会数学学习方法。]
2. 解决第四个红点问题，应用性质化简比。
（1）独立解答。
谈话：运用比的基本性质可以化简比，你能把14∶21化成最简单的整数比吗？不仅会做，还要想清楚根据什么，有了一种方法，看有没有另一种，先自己化简。
（2）班内交流。
（3）做一做。将1.25：4化简成最简单的整数比。
三、自主练习、应用拓展
1.80页第1题。
（1）独立解答。
（2）班内交流。
（3）补充练习。你能写出血小板与红细胞的寿命比并化简求比值吗？
2.80页第2题。（同上）
四、全课总结。
这节课你都学会了什么？
三、课堂教学分析
本节课的教学设计体现了教师对教材的深刻理解，很好的落实了教材的编写意图，尽最大努力发挥了教材的功能。同时以学生的认知水平和已有的经验为基础，注重知识之间的联系，训练了学生的数学思维。
本节课教学内容有两项。一是教学比的意义，二是教学比的基本性质。教学比的意义时，按照“创设情境，提供素材---分析素材，形成表象---借助素材，总结概念---举例外延--深化概念巩固拓展”的流程组织教学的，重视提供素材，帮助学生形成清晰的表象；重视引导学生分析素材，归纳概括本质特征，学生在理解掌握了概念的同时提高了数学思考能力。教学比的基本性质时，按照“类比猜想—验证迁移—应用深化”的流程组织教学。重视过程教学，重视学法指导，学生在获得基本性质的同时提高了学习能力。
1.情境创设生动有趣。
人体对于每个学生来说再熟悉不过，但其中隐藏着比的奥秘却不为学生所知。正是这种熟悉而又陌生的矛盾冲突，容易激发学生的求知欲望。
2.注重数学思想方法的指导。
教材第一个信息窗中第二个红点：以“我们学过分数的基本性质，比有没有这样的性质呢？”作为切入点，启发学生调动原有的知识经验，运用迁移来解决面临的新问题，旨在渗透比较、类推、化归的数学思想方法。
3.教师引领，初步认识比。
教学第一个红点问题时，让学生先自己试着用算式表示赵凡臂长和腿长的关系，然后在小组中交流，大多数学生会用除法算式或分数来表示。在学生交流汇报后，教师可以向学生介绍新的方法，也就是用比来表示它们的关系。臂长和腿长之间的关系还可以说成：臂长和腿长的比是72比96，记作72：96或72/96；腿长和臂长之间的关系还可以说成：腿长和臂长的比是96比72，记作96：72或96/72。通过除法与比之间的相互联系，让学生初步感知数学中一种新的对两个同类量进行比较的数学方法。在学生初步理解后，可让学生结合具体情境，说说比中每个数的意义，渗透对比的意义的理解。最后，教师介绍比的读法、写法和各部分的名称，使学生进一步认识比。
为了增加学生的感性认识，又提供一些数量让学生用比描述两个量之间的关系。同时，还可以让学生体会用比描述两个数量之间关系具有简洁性。
4.自主探究，深刻理解比的意义。
教学第二个红点问题时，就可以充分运用知识的正迁移，让学生先自己尝试着用算式表示头长与身高的关系。在刚才学习的基础上，学生有的可能用“22.5÷180”表示头长是身高的几分之几；可能用“180÷22.5”表示身高是头长的几倍。还有的学生可能用比来表示头长与身高的关系：头长与身高的比是22.5：180；身高与头长的比是180：22.5。
之后，进一步拓展，说出情境中其他能用比表示的两个数量，及自己头长、臂长、腿长、身高中存在的比。练习时还着重使学生弄清楚，当比的前项和后项交换位置以后，比的具体含义是不一样的。
结合自主练习第2题，让学生理解同类量和不同类量之间的关系都可以用比来表示，从而进一步理解比的意义。
5.回顾探索过程，抽象比的概念。
引导学生回顾前面自主探究、合作交流的过程，通过观察、分析、概括等方法，抽象概括出比的意义，教学比号、比的前项、后项和比值，注意辨别比和比值的区别。
6.拓展辨析，构建完整的知识体系。
在学生充分理解比的意义的基础上，教师可以让学生进一步辨析“比、分数和除法之间有什么关系”，使学生在寻找相同点和不同点的过程中，加深对这些概念的掌握，体会到它们之间的内在联系，从而构建起完整的知识体系。教学时着重使学生弄清了以下两点：（1）比值的表示法，通常用分数表示，也可以用整数、小数表示。(2)比的后项不能是零。比与分数、除法三者之间的关系，可以整理成下表：
7.探究规律，启发思维。
出示对比性题目，引导学生根据商不变的性质和分数的基本性质填空，并进
一步引导学生发现，比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变。然后在全班中交流，使学生体会到这个规律是一个普遍存在的规律，初步渗透比的基本性质。
8.交流合作，形成概念。
结合学生根据自主探究，计算出的结果，以及得出的初步结论，引领学生从乘或除以的角度初步概括规律，然后在启发学生从数的范围考虑，特别是0的问题，进行多角度的总结之后，概括完整规律，形成科学概念。
教学第四个红点问题“运用比的基本性质化简比”时，先启发学生思考，运用比的基本性质可以解决什么问题。使学生意识到可以把比化简。然后教师可以直接呈现红点问题：“你能把14：21化成最简单的整数比吗？” 学生根据比的基本性质有的前项和后项都同时除以最大公约数；有的改写成分数形式的比，用约分的形式化简比。让学生明确最简单的整数比就是比的前后项是互质的整数，跟约分时约成最简分数本质是一样的，只不过4：1不可以再写成4。
此时，还要结合实例，让学生明白为什么要化简比，什么叫做最简单的整数比。如：五·一班有学生45人，五·二班有学生40人。五·一班和五·二班的人数比是45：40，化简成9：8，能使数量间的关系更加简明，计算更加简便。
在学生能够掌握整数的化简比的基础上，引导学生想一想，比的前项和后项不是整数的情况，该怎样化简。教师应引导学生明确两种情况，一种是比的前项和后项都是分数的应怎样化简？最好是能够变成整数的，那就要乘最小公倍数。第二种情况是比的项是小数的应怎样化简？最好是先化成整数，再按照整数的化简方法进行化简。
7.自主练习：
自主练习第1题是比的意义的基本练习，除了按教材要求写出红细胞与血小板寿命的比以外，还写出了血小板与红细胞寿命的比，并在比较中明确：这两个比的前后项交换了位置，意义就不同了，从而加深对比的意义的理解。
第2题说出比值的意义，其实比和除法是一回事，学生总是认为比比较抽象，不太好理解。
第3题，通过本练习使学生更好的巩固比的意义，比的前项、后项的概念，关键之处是要学生明确比值是前项除以后项所得的商，通常用分数表示，也可以
用小数或整数表示，它是一个结果，只有扎实掌握了，后面才能与化简比区分出来。
第4题，不仅巩固比的意义、求比值，更重要的是根据比值进行比较，找出谁射的准些。
第5题，各种形式的化简比的练习。可让学生先求比值再化简比，目的是引导学生明确化简比与求比值的联系与区别。
自主练习6、7、8、9、10，是根据实际问题写比并且化简比。