梅州市2010年初中毕业生学业考试
数 学 试 卷
说 明：本试卷共4页，23小题，满分120分。考试用时90分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、
试室号、座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改
动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 5.本试卷不用装订,考完后统一交县招生办(中招办)封存。 参考公式：抛物线yaxbxc的对称轴是直线x=
2
bb
,顶点坐标是（，2a2a
4acb2
）. 4a
一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的. 1．2的相反数是
A. 2 B. 1 C.
11 D.
22
2．图1所示几何体的正视图是
A B C D 3．图2是我市某一天内的气温变化图，根据图2, 下列说法中错误的是
．．A．这一天中最高气温是24℃
B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃ C．这一天中2
时至14时之间的气温在逐渐升高
t
) 图2
D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低 4
．函数y
x的取值范围是
A．x1 B．x1 C．x1 D．x1 5．下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是
A．圆 B．正方形 C．矩形 D．正三角形 二、填空题：每小题3分，共24分．
6．如图3,在△ABC中, BC=6cm，E、F分别是AB、AC的中点,则EF=_______cm. 7. 已知反比例函数y
k
1),则k___________. (k0)的图象经过点(1，
x
图3
8. 分解因式：a1=____________.
2
9. 甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中的进球数分别为：9、9、11、7, 则这组数据的:①众数为_____________;②中位数为____________;③平均数为__________. 10. 为支援玉树灾区,我市党员捐款近600万元, 600万用科学记数法表示为__________. 11. 若x1，x2是一元二次方程x2x10的两个根，则x1+x2的值等于__________. 12. 已知一个圆锥的母线长为2cm,它的侧面展开图恰好是一个半圆,则这个圆锥的侧面积
等于_______cm.(用含的式子表示)
13. 平面内不过同一点的n条直线两两相交,它们的交点个数记作an,并且规定a10.那么:
①a2_____;②a3a2_______;③anan1______.(n≥2,用含n的代数式表示)
三、解答下列各题：本题有10小题，共81分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
14．本题满分7分．
如图4,Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=60°,AC=2.按以下步骤作图: ①以A为圆心,以小于AC长为半径画弧,分别交AC、AB于点E、D; ②分别以D、E为圆心,以大于
2
2
1
DE长为半径画弧,两弧相交于点P; ③连结AP交BC于点F.那么: 2
（1）AB的长等于__________;（直接填写答案） （2）∠CAF=_________°. （直接填写答案） 15．本题满分7分．
图4
计算：|2|()1(3.14)0cos45.
16.本题满分7分．
解方程：
12
12
x2xx22x1.
17.本题满分7分．
在平面直角坐标系中,点M的坐标为(a,12a) .
(1)当a1时,点M在坐标系的第___________象限; （直接填写答案）
(2)将点M向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时,求a的取值范围.
18．本题满分8分．
(1)如图5, PA,PB分别与圆O相切于点A,B.求证:PA=PB.
(2)如图6,过圆O外一点P的两条直线分别与圆O相交于点A、B和C、D.则当___________时,PB=PD.(不添加字母符号和辅助线， 不需证明，只需填上符合题意的一个条件)
19．本题满分8分．
如图7, 东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园, 矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆. 设矩形的宽为x,面积为y.
(1) 求y与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围;
(2) 生物园的面积能否达到210平方米?说明理由.
20．本题满分8分．
图
5
图
6
某校九年级有200名学生参加了全国初中数学联合竞赛的初赛，为了了解本次初赛的成绩情况，从中抽取了50名学生, 将他们的初赛成绩（得分为整数，满分为100分）分成五组：第一组49.5～59.5；第二组59.5～69.5；第三组69.5～79.5;第四组79.5～89.5；第五组89.5～100.5.统计后得到图8所示的频数分布直方图（部分）.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）第四组的频数为_________________.（直接填写答案）
（2）若将得分转化为等级，规定得分低于59.5分评为“D”，59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～100.5分评为“A”.那么这200名参加初赛的学生中,参赛成绩评为“D” 的学生约有________个. （直接填写答案）
（3）如果把抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成一个培训小组，再从这个培训
小组中随机挑选2名学生参加决赛.用列表法或画树状图法求：挑选的2名学生的初赛成绩
恰好都在90分（含90分）以上的概率. 21.本题满分8分．
东艺中学初三(1)班学生到雁鸣湖春游,有一项活动是划船.游船有两种,甲种船每条船最多只能坐4个人,乙种船每条船最多只能坐6个人.已知初三(1)班学生的人数是5的倍数,若仅租甲种船，则不少于12条；若仅租乙种船,则不多于9条.
(1)求初三(1)班学生的人数;
(2)如果甲种船的租金是每条船10元,乙种船的租金是每条船12元.应怎样租船,才能使每条船都坐满,且租金最少?说明理由.
22．本题满分10分．
如图9，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证:PE=PF； （2）当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由；
（3）若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且
AP时，求∠A的大小. BC2
23．本题满分11分．
如图10，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D
图
10
点在E点右方）.
（1）求点E,D 的坐标;
（2）求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式； (3)过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.
梅州市2010年初中毕业生学业考试数学试卷
参考答案与评分意见
一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的. 1、 A； 2、A； 3、D； 4、B； 5 、D. 二、填空题：每小题3分，共24分．
6、3. 7、-1. 8、(a-1)(a+1). 9、①9(1分);②9(1分); ③9(1分). 10、610. 11、2. 12、2
6
. 13、①1(1分);②2(1分)；③ n－1（1分）.
三、解答下列各题：本题有10小题，共81分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
14．本题满分7分．
(1)4. …………………………………3分 (2)30. …………………………………7分 15．本题满分7分．
原式 …………………………………4分 2
=1+2=3. …………………………………7分 16．本题满分7分．
解:由原方程得
12
. …………………………………2分
x(x1)(x1)2
x10,得
12,得
…………………………………4分 xx1
2xx1,解得x1. …………………………………6分 经检验x1是原方程的根.原方程的解是x1.
(或直接求解) 17．本题满分7分．
(1)二. …………………………………2分
(2)依题意得,N(a-2,2-2a). …………………………………4分 点N在第三象限,则有
…………………………………7分
a20,
22a0.
解得1
(1)证明:连OA,OB. ∵PA,PB是圆O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB.…………………………2分 ∵OA=OB,OP=OP. ……………………… 4分 ∴Rt△OAP ≌Rt△OBP. ∴PA=PB. …………………………6分
(2) ∠OPA=∠OPC.(或PA=PC,或AB=CD,或圆心O到PB,PD的距离相等,或弧AB与弧CD相等) …………………………………8分 19．本题满分8分．
解:(1)依题意得,矩形的长为402x. …………………………………1分 ∴yx(402x)2x40x. …………………………………3分 又402x0,0x20. …………………………………4分 (2)若能达到,则令y210.得
2x40x210.
2
2
即x20x1050. …………………………………6分
2
b24ac20241050.该方程无实数根.
所以生物园的面积不能达到210平方米. …………………………………8分 (可先求矩形面积的最大值,再比较得结论) 20．本题满分8分．
(1)2. …………………………………2分 (2)64. .…………………………………5分 (3) 解:由(1)及已知,培训小组有4人,其中得分90分以下的2人,记为A1,A2,得分90分以上
或画树状图:
…………………………………7分
由表中(或树状图)可以看出,从这个小组中挑选2人,共有12种结果,而有2人为90分以上的结果为2种, 所求概率为
p
21
. .…………………………………8分 126
21．本题满分8分．
(1)解:设该班有
m人,依题意得
44
即初三(1)班有45或50人. …………………………………4分 (2) 设租用甲船x条,乙船y条,则有 4x+6y=45,该方程没有整数解.或
4x6y50,即2x3y25. …………………………………5分 由于x,y都是正整数，所以(x,y)的可能取值为(2,7),(5,5),(8,3),(11,1) .……6分
所需租金: w10x12y2x100. …………………………………7分
因为20,所以w随x的增大而增大，所以当x2时，租金w最少.
…………………………………7.5分
所以租用甲种船2条,乙种船7条时,每条船都坐满,且租金最少. ……………………8分 (2)解法二: 设租用甲船x条,乙船y条,则有 4x+6y=45,该方程没有整数解.或
4x6y50,即2x3y25. …………………………………5分
所需租金: w10x12y2x100. ……6分
因为租用甲船平均每人需2.5元, 租用乙船平均每人只需2元,所以租用甲船最少时,才能使租金最少.
当x=2时,y=7, 即租用甲种船2条,乙种船7条时,每条船都坐满,且租金最少. …8分 22．本题满分10分．
（1）证明: ∵EC平分∠BCA, ∴∠BCE=∠PCE.
∵MN∥BC，∴∠PEC=∠BCE.
∴∠PEC=∠PCE, ∴PE=PC. …………2分 同理可证PC=PF.
∴PE=PF. …………………………………3分
（2）四边形BCFE不可能是菱形. …………………4分
若BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知
FC⊥EC.…………………………………5分
因为在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线,所以BF⊥EC不能
成
立
,
所
以
四
边
形
BC不F
可能是菱
形. …………………6分
（3）当AECF为正方形时，P是AC的中点,且EF⊥AC．
∵EF∥BC，∴AC⊥BC.
∴△ABC是以ACB为直角的直角三角形.………………………………… …8分
∵
AP3BCBC3
,在Rt△ABC中, tanA. BC2AC2AP3
∴∠A=30°. …………………………10分
23．本题满分11分．
解：（1）∵B(4,1),则A(4,0),设OD=x,得DA=4-x. …………………………1分 因为D是以BC为直径的圆与x轴的交点, ∴∠CDB=90°,∴∠ODC+ ∠BDA=90°. ∵∠OCD+∠ODC=90°, ∴∠OCD= ∠BDA.. ∴Rt△OCD∽Rt△ADB.
∴
OCAD
.……………………………3分
ODAB
34x2
,即x4x30.
x1
解得x11,x23.
可得E(1,0),D(3,0). …………………………4分 (2) ∵C(0,3),D(3,0),B(4,1).
c32
设过此三点的抛物线为yaxbxc(a0)，则9a3bc0……………6分
16a4bc1.
解得a
15
,b,c3. 22
过B,C,D三点的抛物线的函数关系式为y
（3）假设存在，分两种情况讨论：
125
…………7分 xx3
22.
①当∠BDQ=90°时，由(1)可知∠BDC=90°，且点C在抛物线上，故点C与点Q重合，所求的点Q为（0，3）; …………………………………8分 ②当∠DBQ=90°时，过点B作平行于DC的直线BQ，假设直线BQ交抛物线于另一点Q. ∵D（3，0），C(0,3)，直线DC为yx3. ………………………8.5分 ∵BQ∥DC,故可设直线BQ为yxm.
将B(4,1)代入,得m=5.(或直线DC向上平移2个单位与直线BQ重合)
直线BQ为yx5. …………………………………9分
yx5
x1x4
由得或 125
y6y1yxx3..22.
又点B(4,1), ∴Q(-1,6).
故该抛物线上存在两点(0,3),(-1,6)满足条件．…………………………………11分