应用概率统计试题

042应用数学

一、填空题 （每小题3分，共21分）

PAB1．已知P(A)0.4,P(B)0.3,P(AB)0.6,则

2．设XBn,p,且E(X)12 , D(X)8 ,则np 3．已知随机变量X在[0，5]内服从均匀分布，则

4．设袋中有5个黑球、3个白球，现从中随机地摸出4个，则其中恰有3个白球的概率为 .



P1X4 ,PX2 ,EX .

2

N,5．设X1,X2X19是来自正态总体

6．有交互作用的正交试验中，设A与B皆为三水平因子，且有交互作用，则AB的自由度为 .

i1

的一个样本，则YX

2

1

19

2

i

7．在MINITAB菜单下操作，选择StatBasic Statistics2Sample T可用来讨论

的问题，输出结果尾概率为P0.0071，给定

0.0，可做出1 的判断.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

6

PA0.6,P(B)0.7,P(A|B),

7则结论正确的是（ ） 1．设A,B为两随机事件，

（A）A,B独立 （B）A,B互斥 （C）BA （D）PABPAPB

1x与F1xbF2x是某一随2x分别为随机变量X1与X2的分布函数.为使FxaF2. 设F

机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）

32221313a,b;a,b;a,b;a,b.

55（B）33（C）22（D）22 （A）

3．设X1,X2,X8和Y1,Y2,Y10分别来自两个正态总体N1,9与N2,8的样本，且相互独立，

S12与S22分别是两个样本的方差，则服从F7,9的统计量为（ ）

3S128S129S125S1222225S9S8S3S （A）2 （B）2 （C）2 （D）2

4. 设Y关于X的线性回归方程为Y01X,则0、1的值分别为（ ） （Lxx10,Lyy780,Lxy88,x3,y24）

（A）8.8，-2.4 （B）-2.4，8.8 （C）-1.2，4.4（D）4.4，1.2 5．若











Tt10分布，则T2服从（ ）分布.

（B）（C）F(1,10)（D）t(100) （A）

四、计算题（共56分）

1．据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律： P{孩子得病}=0.6 ，P{母亲得病 | 孩子得病}=0.5 ，

P{父亲得病 | 母亲及孩子得病}=0.4 ，求母亲及孩子得病但父亲未得病 的概率.（8分）

2.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为0.6，若第一次及格则第二次及格的概率也为0.6；若第一次不及格则第二次及格的概率为0.3.

（1）若至少有一次及格则能取得某种资格，求他取得该资格的概率？

F10,1

t9

（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率？（12分）

bx2, 0x1fx

0, 其它，求 3．假定连续型随机变量X的概率密度为

（1）常数b，数学期望EX，方差DX；

（2）Y3X1的概率密度函数gy.（12分）

4. 某工厂采用新法处理废水，对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度，得到10个数据（单位：

mg/L）:

22 , 14 , 17 , 13 , 21 , 16 , 15 , 16 , 19 , 18 而以往用老办法处理废水后，该种有毒物质的平均浓度为19.问新法是否比老法效果好？假设检验水

平0.05，有毒物质浓度

XN,2

.（12分）

（

S2

8.544,u0.0251.96,u0.051.64,t0.025102.228,t0.02592.262,t0.0591.833） 5. 在某橡胶配方中，考虑三种不同的促进剂（A），四种不同份量的氧化锌（B），每种配

(SST98.67,SSA25.17,SSB69.34,F0.01(3,4)16.69,F0.01(2,6)10.92,F0.01(3,6)9.78, F0.01(3,12)5.95,F0.01(4,12)5.41,F0.05(2,6)5.14,F0.05(3,6)4.76,F0.05(3,4)6.59)

四. 综合实验报告（8分）

052应用数学

一、 填空题（每小题2分，共26=12分）

1、设一维连续型随机变量X服从指数分布且具有方差4，那么X的概率密度

函数为：。

x02、设一维连续型随机变量X的分布函数为F0,

x2

Xx,0x1，



1,1x

则随机变量Y2X

的概率密度函数为：

。 3、设总体X服从正态分布N

服从正态分布 。

,，它的一个容量为100的样本的均值

2

是参数的估计量，若是的无偏估计量。 4、设

5、在无交互作用的双因素试验的方差分析中，若因素A有三个水平，因素B 有四个水平，则误差平方和SSE的自由度dfE

。

6、设关于随机变量Y与X的线性回归方程为Y

X，则 01

0

（

,1

。

Lxx147.7,Lyy11.0941,Lxy40.1820,x27.4,y3.6121 ）

二、单项选择题（每小题2分，共26=12分）

1、 设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布，且X的分布律为：

PX02,PX11 2

maxX,Y的分布律为（ ）

11

则随机变量Z

AP

CP

A

4,PZBPZ01

Z04,P0,PZZ114DPZ0

2、若随机变量X的数学期望E（X）存在，则EEEX（ ）

Z02,PZ112

34

B

X

CEXDEX

3

3、设X为随机变量，下列哪个是X的3阶中心矩？（ ）

1n3

AXi

ni1

4、设两总体X

1n

BXiX

ni1



3

CEX

3

DEXEX

3

2

~N1,12,Y~N2,2，且1,2未知，从X中抽取一

容量为n1的样本，从Y中抽取一容量为n2的样本，对检验水平，检验假设：

2222

H0:122,H1:122, 由样本计算出来的统计量FSXSY的观察

值应与下列哪个临界值作比较？（ ）

(A)F1(n11,n21)

(B)F1(n1,n2)(C)F(n11,n21)(D)F(n1,n2)

5、在对回归方程的统计检验中，F检验法所用的统计量是：（ ）

AF

SSRn2BF

SS Rn1SSCF

SSR

ESSE

SSDF

SSE

ESSR

（其中SSR是回归平方和，SSE是剩余平方和，n是观察值的个数）

6、设总体X

~N,2，从X中抽取一容量为n的样本，样本均值为X，

则统计量YnX2

服从什么分布？（ ）



AN0,1B21C2n1Dtn1

三、判别题（每小题2分，共26=12分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”） 1、设A、B是两个随机事件，则PABPAPB （ ）

2、设Fx是服从正态分布N1,1的随机变量的分布函数，则

Fx1Fx （ ）

3、相关系数为零的两个随机变量是相互独立的。 （ ）

4、如果X、Y是两个相互独立的随机变量，则

DXYDX

D Y （ ） 5、若两随机变量具有双曲线类型的回归关系，则可作适当的变量代换转化为

线性回归关系。（ ） 6、用MINITAB软件做有交互作用的双因素试验的方差分析时可在菜单中选择：

StatANOVABalancedANOVA...... （ ）

四、计算题（每小题8分，共87=56分）

1、 一射手对同一目标独立进行四次射击，若至少命中一次的概率为，

（1） 求该射手的命中率

p；

（2） 求四次射击中恰好命中二次的概率。

2、 如下图，某人从A点出发，随意沿四条路线之一前进，当他到达B1，B2，

B3，B4 中的任一点时，在前进方向的各路线中再随意选择一条继续行进。 （1） 求此人能抵达C点的概率；

（2） 若此人抵达了C点，求他经过点B1的概率。

3、某公共汽车站从早上6时起每隔15分钟开出一趟班车，假定某人在6点以后 到达车站的时刻是随机的，所以有理由认为他等候乘车的时间X服从 fx均匀分布，其密度函数为：

x0,150,

x0,15 ，求

（1） 此人等车时间少于5分钟的概率

p；此人的平均等车时间E（X）。

4、 设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为

fx,y4xy,0x1,0y1



0,其余地方

（1）判断X与Y是否相互独立；（2）求概率P0X2,XY1X

5、设某种清漆9个样本的干燥时间（单位：h）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，

6.3，5.6，6.1，5.0，设干燥时间总体服从正态分布N时间的置信度为0.95的置信区间。 （t0.05

,，求平均干燥

2

81.860,t0.02582.306,t0.0591.833,t0.02592.262）

6、 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005,今在生产的一批导线中取 样品9根，测得S

0.007，设总体为正态分布，问在水平0.05下

能否认为这批导线的标准差显著地偏大？ （0.05

2

222

815.51,0.025817.53,0.05916.92,0.025919.02）

7、 有三台机床生产某种产品，观察各台机床五天的产量，由样本观察值算出

组间平方和SSA

560.5，误差平方和SSE540.83，总离差平方和

SST1101.33，试问三台机床生产的产品产量间的差异在检验水平

0.05下是否有统计意义？

（F0.052,123.89,F0.053,123.49,F0.052,153.68,F0.053,153.29）

五、综合实验（本题8分，开卷，解答另附于《数学实验报告》中）

062应用数学

一、 填空题（每小题2分，共26=12分）

1、设服从0—1分布的一维离散型随机变量X则P=________。

2、设一维连续型随机变量X服从正态分布N

的概率密度函数为__________________________。

3、设二维离散型随机变量X、Y的联合分布律为：

则a, b满足条件：___________________。 4、设总体X服从正态分布N

XP01p1p

， 若X的方差是

，

2,0.2，则随机变量Y2X1

X

Y

1

2

3

b

是

, ，

2

12

的方差

a

X1,X2,...,Xn是它的一个样本，则样本均值X

________。

5、假设正态总体的方差未知，对总体均值  作区间估计。现抽取了一个容量

为n的样本，以

X

表示样本均值，S表示样本均方差，则 的置信度为1-

的置信区间为：_______________________________。

ybx6、求随机变量Y与X的线性回归方程YabX

a，在计算公式Lxy



b Lxxn

中，Lxx

xix

2

，Lxy



。

i1



二、单项选择题（每小题2分，共26=12分） 1、设A，B是两个随机事件，则必有（ ）

(A)P(AB)P(A)P(B)(B)P(AB)P(A)P(AB)(C)P(AB)P(A)P()

(D)P(AB)P(A)P(A)P(B)

2、设A，B是两个随机事件，PA,PB,PBA



则（ ）

(A)P(AB)BP(AB)CP(AB)DP(AB)3、设X，Y为相互独立的两个随机变量，则下列不正确的结论是（ ）

(A)E(XY)E(X)E(Y)

(B)D(XY)D(X)D(Y)

(C)D(XY)D(X)D(Y)

(D)

XY0

4、设两总体X

~N1,2,Y~N22,,未知，从X中抽取一容量为

n1的样本，从Y中抽取一容量为n2的样本，作假设检验：

H0:12,H1:12,

T所用统计量

）

服从（ A自由度为n1n21的t分布

B自由度为n1n22的t分布

C自由度为n1n21的t分布

D自由度为n1n22的t分布

5、在对一元线性回归方程的统计检验中，回归平方和SSR的自由度是：（ ）

A

n1

B

n2

C1D1,n 2

6、设总体X

~N,2，从X中抽取一容量为n的样本，样本均值为X，

则统计量YnX2

服从什么分布？（ ）

S

AN0,1Btn1C2n1DF1,n 1

三、判别题（每小题2分，共26=12分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）

1、（ ）设随机变量X的概率密度为fX(x)，随机变量Y的概率密度为

fY(y)，则二维随机变量（X、Y）的联合概率密度为fX(x)fY(y)。

2、（ ）设

x是服从标准正态分布N0,1的随机变量的分布函数，

X是服从正态分布N

,2

的随机变量，则有PXa2

1

3、（ ）设二维随机变量（X、Y）的联合概率密度为

fx,y，随机变量

gX,Yx

y

Z的数学期望存在，则EZgx,yfx,ydxdy

4、（ ）设总体X的分布中的未知参数的置信度为1的置信区间为

T1,T2, 则有PT1T21。

5、（ ）假设总体X服从区间[0,a]上的均匀分布，从期望考虑，a的矩估

计是

a

ˆ2X （

X

是样本均值）。

6、（ ）用MINITAB软件求回归方程，在菜单中选择如下命令即可得：

StatANOVABalancedANOVA......

四、计算题（每小题8分，共87=56分）

1、某连锁总店属下有10家分店，每天每家分店订货的概率为p，且每家分 店的订货行为是相互独立的，求

（1） 每天订货分店的家数X的分布律；（2） 某天至少有一家分店订货的概率。 2、现有十个球队要进行乒乓球赛，第一轮是小组循环赛，要把十支球队平分成 两组，上届冠亚军作为种子队分别分在不同的两组，其余八队抽签决定分组， 甲队抽第一支签，乙队抽第二支签。

（1）求：甲队抽到与上届冠军队在同一组的概率； （2）求：乙队抽到与上届冠军队在同一组的概率；

（3）已知乙队抽到与上届冠军队在同一组，求：甲队也是抽到与上届冠军队在

同一组的概率。

3、已知随机变量X服从参数为的指数分布，且PX1（1）参数； （2）P

1

，求 2

X2X1

xx，求： 22x2

0,Fx2sinx1,4、设一维随机变量X的分布函数为：X

1,

（1） X的概率密度；（2） 随机变量Y=2(X+1)的数学期望。

5、 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为

4xy,0x1,0y1

fx,y ，求

0,其余地方

（1）该二维随机变量的联合分布函数值F



,1

；

（2）二维随机变量（X，Y）的函数Z=X+Y的分布函数值FZ(1)。

6、 用某种仪器间接测量某物体的硬度，重复测量5次，所得数据是175、173、178、174、176，而

用别的精确方法测量出的硬度为179(可看作硬度真值)。设测量硬度服从正态分布，问在水平 =0.05下，用此种仪器测量硬度所得数值是否显著偏低？

(t0.05(4)2.132,t0.05(5)2.015,t0.025(4)2.776,t0.025(5)2.571)

7、 某厂生产某种产品使用了3种不同的催化剂（因素A）和4种不同的原料（因素B），各种搭配

都做一次试验测得成品压强数据。由样本观察值算出各平方和分别为：SSA=25.17，SSB=69.34，SSE=4.16，SST=98.67，试列出方差分析表，据此检验不同催化剂和不同原料在检验水平 =0.05下对产品压强的影响有没有统计意义？

（F0.05(2,6)5.14,

F0.05(3,6)4.76,F0.05(4,6)4.53）

五、综合实验（本题8分，开卷，解答另附于《数学实验报告》中）

072 大学数学Ⅱ

一、 填空题（每小题2分，本题共12分）

1．若事件A、B相互独立，且PA0.5，PB0.25，则PAB 2．设随机变量

则PX4

,PX3

；

；

3．设随机变量X服从参数为的Poisson分布，且已知E(X1)(X2)1，则

4．设X1,X2,,Xn 是来自正态总体N(,2)的样本，则E()D(X)； 5．设X1,X2,,X16

116是来自总体X~N(2,)的一个样本，Xi，则16i1

2

48



~

6．假设某种电池的工作时间服从正态分布，观察五个电池的工作时间（小时），并求得其样本均值和标准差分别为：43.4,s8.08，若检验这批样本是否取自均值为50（小时）的总体，则零假设为 ，

其检验统计量为 。

二、单项选择题（每小题3分，本题共18分）

1．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数， 其各位数字之和等于9的概率为（ ）．

A．

13

； 125

B．

16； 125

C．

18； 125

D．

19． 125

x,0x1;

2．如果随机变量X的密度函数为f(x)2x,1x2;，

0,其它.

则PX1.8（ ）． A．0.875； B．

1.8

f(x)dx； C．0xdx； D．2xdx．

1.81.8

3．设物件的称重X~N(,0.01),为使的95%的置信区间的半长不超过0.05, 则至少应称多少次？（ ）． [注:u0.0251.96,u0.051.64] A．16；

B．15；

C．4；

D．20．

Cx4,x[0,1]

4．设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则常数C=（ ）．

0,其他

A．

11

； B．5； C．2； D．． 52

5．在一个已通过F检验的一元线性回归方程中，若给定xx0,则y0的1的预测区间精确表示为（ ）．

ˆ0ˆ0t(n2),yt(n2)]； A

．[y

22ˆ0ˆ0t(n2),yt(n2)]； B

．[y

22

ˆ0C

．[y

ˆ0t(n2),yt(n2)]；

22ˆ0,y]．

22

2

2

ˆ0D

．[y

6．样本容量为n时，样本方差S是总体方差的无偏估计量，这是因为（ ）． A．ES



2

2

； B．ES



2

2

n

； C．S； D． S．

2222

三、解下列各题（6小题，共48分）

1．设总体X~N0,1，X1,X2,,Xn为简单随机样本，且F(1)

n

3

Xi2Xi2

i4i1n

3

．证明：

F~F(3,n3)． （6分）

x1;0,



2．已知连续型随机变量X的分布函数为 F(x)abarcsinx,1x1;

1，x1.

① 试确定常数a,b； ② 求P{1X

1

}； ③ 求X的密度函数．（10分） 2

3．若从10件正品、2件次品的一批产品中，无放回地抽取2次，每次取一个，试求第二次取出次品的概率． （6分） 4．设X的密度函数为 f(x)

1xe,x(,)． 2

① 求X的数学期望EX和方差DX；

② 求X与X的协方差和相关系数，并讨论X与X是否相关． （8分）

2

5．设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，其中D是由曲线yx和直线yx所围

成．试求(X,Y)的联合分布密度及关于X,Y的边缘分布密度 fX(x)与fY(y)，并判断X,Y是否相互独立．（10分）

6．设随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布，试证明：YXc（c为常数）也服从均匀分布． （8分）

四、应用题：以下是某农作物对三种土壤A1,A2,A3，两种肥料B1,B2，每一个处理作四次重复试验后所得产量的方差分析表的部分数据，分别写出各零假设，并完成方差分析表，写出分析结果

(0.01)． （12分）

已知参考临界值：F0.012,186.01,F0.011,188.29,F0.013,185.09,

F0.012,233.42,F0.011,234.28,F0.013,233.03

五. 综合实验报告（10分）