本 发表文 于《海中上学 数 》学 2009 第5 期
从
不可“能到“”可能所”发的思考引
13340 0江海浙盐元济级高学 中明 一、问题卢提的出 中高数教学几师都有乎这过的体样验，等比在列数求和公式推的方法—导—“错位减”法的相 学时教基，本“以而启不发而告终”，是乎已成这一了种空见司惯现实的于．，有人断言“错是位相减 法”让学要自己去发生现“不可是”的能是真．“的可不”能？吗笔者着一带质份开始了自己疑研．究二 原教、行为剖析 学者查阅了笔自过己去过用的教案所和有有这节内关的听容课记笔并认，真进地行比对分析结 果发现，无论，自己是教法还是别人的教法的基本同．即一开始雷教都是师先回等顾数列差和求式 公推导的法方—“倒—序相加”法，的是想借此目引来发生学考思，去发等比数现列的求公和的式导 推法方—“—位错相减”．在复习过法倒序“相”法加之，教师便用差后不多的引导来语织组教学“，节本课我们要 习等比学数的前 列n 和项公，…式请…大家考思等，数比列 的n 和又该如项何求来？呢”… 结…果乎几生学是沉默都无．语于，教师只得是说自自画，一讲到底 ．上面师采取的教法教是“类比”．但，从“倒是相序”到加“错相减位”思，跨维度大很表面，两上者又 有共没同，难以类比．学生之点所启以不发，原而在因学生于乏探究缺必须所的“手架”脚无法而 登．那么，攀种方两法间之竟究有有可没以类比相通的之呢？处经反过复磨，琢笔者现此处的庐 山真面发其实就目是“减少式和项数的．”差数列求等和公式导推时用的“到倒相加”序只不过一是种 手，而段通过“序相倒加，保留首”尾项两减少，式的和项才是数根本的．假如目教师在习复时没揭 有这示一根目的本复，习不就能到起效有的“铺垫的”作用学生在，下接来的探中究遇失败也就遭无 可非了．因议，此错“相位”减的法发，欲让现学从“不可生”变能“可能成，可”以此为切以点为学生搭入建“脚手架” ．、三教新学 设计1 ． 巧设“铺”垫 想要探究成，功否能确准把握学思生的维点，起适作时“铺好垫是关”键．者在笔学时教作如了 下设计，先在后个平行班中两试教，均得成获．功问 题 1： 导等推数列求差公式用和的是什方法？ 生 1么：倒相加序． 根据生的回学，答教师板书下内容以，为作思暗示维“的伏”．
S 笔n= a1 +a 2 + a+ n …①…S n = a n a+ n− 1 + a+1 ……
①+②②得：
2 S
n =( a1 +a n +)( 2 a a +n 1 ) −+ + (an − +1 a2 ) + (a n+a1 )师
（：）式中※每个号有何括系关为？么什
？（※）
生 2由：差等数列的性可知质，个括每号值的都等相所以， S2 n= n ⋅ (a1 +a ) n．师 对：！那么谁回能答以“倒上序加”相的为实现是了什样的么目？（标这 一是个键性关的题问，
1-
-
示暗学通过生式中和“不变量”合的并可以减少和，式项数的．） 生：减3少项．数 问 题2已知 ： nS
1=1 1 + ++， 样求 怎S n （？ 又是一 这个关 性键 的问 1×题2 2× 3 × (n n+ 1)
示暗学生，使“正用抵消负”减是少和项式的数一又径．途 ） 4生用：项求裂法． 师和为：么要“什裂项”可以达？什到么目？的生 ：可以4负抵消，使和式正的数减项少 ．：很好！师上两例以我们使知，数道列求和数项比多，较果如没现有成的式可公以用的话套 减，项少数是现求和实基本的策略至于．减和式项数的方法不止以上少两，种们可以我对针不同的 况情选不同的方择．法 2．比类 推 演问 3题：何求 如S 46 =1 + 2+ 2 + 2+ + 2 ？2 3 63
（学生
沉默 片刻， 有 举 人手言 发） 生：5
S4 6 =1 +2 + 2 2 + 2 3 ++ 623
…
…①
在①
两式同乘边以2 得：
2 S，6 4= 2 +2 2 + 2 3 + 2+ 64①—
得②：
……
②
S− 6 4 =1− 264 ， ∴ S
4 = 2
64
6−
．1
师：很
！好你是么想到怎种方法这的？ 生 5我盯：着减“少式和项数”这个目标进思行考慢，发现在慢①两式边乘同以2 以 后和式，中绝大 分部是项样一，类比的差数等列求公和式推的时导用“①+② ”以及，裂“项和求”正的负抵消我， 便了“①—用②” ．师：巧妙！很我们让给这同位学明发的方法一取名个——称“位相减错法”强调这是一个．常 重要非方的法今，后在列数求和经中常用会到 ．在其中一班教个时学，有生还学出了如下新的提法解． 6生：老，师还有我一种解．在法等式①边两加上 1都，：
1得 + 6S4= 1 +1 + 2 + 22 2 3++ + 236
= 2(+ 2) + 2 +22 3 + + 2 6
3=
2 2 (+ 22 + 2) 3 ++ 2 6 3
……
=2 6 3+2 63 = 264
∴ S 6 =4 26
4
1−
-2-
师：很有
创！说说造你怎会想么此到的？ 生法6 “：倒项加”法将序每个号 括(1 + a an) 、 a(2 + an − 1) …、变…成“了变量不，通过”合减少 并了和的式项．数以所我 紧，盯“减少和项数式这 个目标”并发，现 2+ 2=2 2 ， 2 2 + 22= 2 ，3这且 个论结还以可往传下，不递地合断就可并减少和的式数．项 点（评 ：从学生的表 现以 看可出 教，师前所面作的铺“垫 ” 分 十奏 ，效为学成生习学迁 的“移脚手”架 ． 3）． 拓展延伸 ：师么如何求和 那Sn =a 1 +a1 q+ a 1q + + a1
q 2 n−
1
生？7：也可 “用错相位”减．法…… 师 ：如将果和式中q 的 数 系1a改 连续为自数然即 ， S = 1 n 2+ q+3 q + n+
q
n2−1
，该又怎
样
求和呢来 生 ？8：还用能“位相错”法！减这结论还个可以推广到q 的数是任系意一个等的差数的列项 ．师： 位同这学 的 思是 ：意若{ a n} 是 差数列，等则 Sn= a +1a 2 q + a q + 3+ a n q
2n − 1
能用“错
相减位法”和．其他同求有学没有议异 （？多许生在下面学论议，示表意．教同师继追问续，有没有更大还胆猜想？）的 ：设 师 { a n }非是零等数差列， {bn} 等是数比列，则列数 { an ⋅ b }n 称“差比数列”它的，前n 项 和 能否“错用位减相”来求呢法？这个 问题留今天的作作，业请家自大己总结一“错位相减”法的下适用 范 ．围…… 四 、课后思 按反“新教学照设计”组织教学每节，上均课实了两现目个标：一学生是自发现了主“位相错减法”， 二是“错位减”相在新法问题情境中的生学够有能效迁地移这个从．“不可”到“能能可”的学教案留例 我给什么启们呢示？ ．1类要 比抓住问 的题本 “原教学质行为”与“教学新设计虽然”一始都复习开倒序“相加法”但，效果却是大不相同新．前授的复习是为 以了旧新，能引否起“到引”的果效，关键于在这个复习没有有把握新旧住识知相联互系的 本质“倒序相加”．“和错相位”减数是列求的两和方种，法们的它能功能都到起“少减和式数”的项作 用， 使别的方用目法也的如是此，个这本质要教师去需挖掘和揭，示则学否就难生以领其悟中的奥，秘无 进行类法学比习如果．教师抓住“了减少式项数和”一本质这，再发启生学在新的问题境中尝试 情“类比—推—演”，生学维思的可以定扩向，迁移就能散利实顺．现学还可生以从中验“类体——比推演”这 种想思方法本的原性意．总之，“类义比”论是“教”还无是“学，都是常用的技术”，然而欲取想得 想的理效，果必须抓问题住的质本行类比．进2 ．究探需 合要 理“的垫铺” 探不是究学生去“让大海针捞”，能脱离学生的不认基知和现础有经．验了为保探确究的功， 成师教必须真认析分学生现有认的知础基和经与验知新识间的之差距，个“这差距就是”学的生“近发 最区展”．生学过通探能否越究过这“最个发近区展需”要铺垫“（”有层次推策进）略即，一用定背的景知 识关键和的性技能、略策、甚至括文字包图象和等息信暗示的作铺，为垫学生供提种教一协助 ， 学帮助学生成在现完能力下向高有知学习任认的务难攀度．升新教“设计学的”功就在于成教师了做以
3-
-
下几个
关键的“性垫铺：”一是示了“倒序揭加”相法本质是为的“了减少和式数”项；是让学生明二数 列确求和
在没有现成式公可套以用的况情下，少和式的减项是数种基一策略本；三是学为提生一个供 比容较易探究特殊的列数S 64= 1 2+ +2 ++ 2 ，让学生 尝，试现解发决题问规的；则四从
是 63
2特殊到
般一层层进推让学生总，结纳归内，规则，形成数学化法和技方．能3 “ 参．与” 探究有 助 于迁 “移原教行为学”，下错位相“”法是减教师 讲的，不是授生自学主现发，的学没生参有与探究的过 程，以所学生的知只认停在模留仿的面，层在遇新到问的情题时境如“，比差”列数和，求移迁比较 难困，这一点广大师都教有体 会“新．教学计设让”生参学与整个了探究过 的，程学使生对错“位 减相”法知知底，根象特别深刻印自，然移就比迁容易．较如正富兰克林所“言听的我过忘会，看到记的我会 记住参与，的能我理解会并应”．
用--4