万有引力和航天
第一节：计算天体的质量和密度
基础知识填空
1、；
卡普勒第二定律是： ；
卡普勒第三定律是： ，
其表达式是 ，当把轨道近似看作圆时，表达式可改写
为 ，其中常数k由 决定。
2、通过计算推导可得太阳对行星的引力F∝m（m是行星质量），由于太阳与行星间r2
相互作用，两者的地位是相同的，既然太阳吸引行星，行星也必然吸引太阳，所以可推
得行星对太阳的引力F’（设太阳质量为M）满足 ，而根据作用力
和反作用力的关系，F和F’的大小是相等的，所以我们可以推得太阳与行星间的引力满
足 ，加入比例系数G，写成等式就是 ，这就是 定律的表达式，（其中G是 ，由 通过著名的 实验测量得到的）根据等式，该定律可表述为 。
3、不考虑地球自转时，万有引力等于，公式表达
为 ，化简后得到黄金代换式 。
4、环绕模型算中心天体质量：提供向心力，表达式写作 =Fn，若向心力表达式用Fnm2r，则中心天体质量M2力表达式用Fnmr，则中心天体质量M= ，若向心力表达式T
v2
用Fnm，则中心天体质量M。若该天体的半径为R，则以上3r
种表达式下中心天体的密度可分别写作 ， ，
（请区分环绕半径r和星球半径R）
2
练习题
（多选为7、8、9）
1、在力学理论建立的过程中有许多伟大的科学家做出了贡献，下列有关科学家和
他们的贡献说法错误的是（ ）
A．卡文迪许通过实验测出了引力常量G
B．惯性定律是可以被实验直接验证的
C．伽利略斜面实验合理外推解释了自由落体是匀变速运动
D．开普勒发现了行星运动的规律
2、宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一
颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是（ ）
A.天体A、B的质量一定相等 B.两颗卫星的线速度一定相等
C.天体A、B表面的重力加速度一定相等 D.天体A、B的密度一定相等
3、已知引力常量为G，根据下列所给条件不能估算出地球质量的是（ ）
A．月球绕地球的运行周期T和月球中心到地球中心间距离R
B．人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运行周期T
C．地球绕太阳运行的周期T和地球中心到太阳中心的距离R
D．地球半径R和地球表面重力加速度g
4、据报道，一颗来自太阳系外的彗星于2014年10月20日擦火星而过．如图所示，设火星绕太阳在圆轨道上运动，运动半径为r，周期为T．该彗星在穿过太阳系时由于受到太阳的引力，轨道发生弯曲，彗星与火星在圆轨道的A点“擦肩而过”．已知万有引力恒量G，则（ ）
A.可计算出彗星的质量
B.可计算出彗星经过A点时受到的引力
C.可计算出彗星经过A点的速度大小
D.可确定彗星在A点的速度大于火星绕太阳的速度
5、2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的“神舟七号”飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功．如果“神舟七号”飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，已知地球的半径为R，引力常量为G，在该轨道上，关于“神舟七号”飞船，下列说法中正确的是（ ）
A．运行的角速度为ω2R
B．地球表面的重力加速度大小可表示为
C．运行时的向心加速度大小为
D．运行的线速度大小为
6、绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星a、b，已知a的轨道半径大于b的轨道半径，则对于两颗卫星下列说法正确的是（ ）
A．a周期大 B．a角速度变大
C．a速度大 D．a向心加速度大
7、已知引力常量是G，在下列各组物理数据中，能够估算月球质量的是（ ）
A．月球绕地球运行的周期及月、地中心距离
B．绕月球表面运行的飞船的周期及月球的半径
C．绕月球表面运行的飞船的周期及线速度
D．月球表面的重力加速度
8、宇航员在宇宙飞船中测出自己绕地球做圆周运动的周期为T，离地高度为H，地球半径为R，则根据T、H、R和引力常量G，能计算出的物理量是（ ）
A．地球的质量和飞船的质量 B．地球的平均密度
C．飞船线速度的大小 D．飞船所需的向心力
9、假如一颗做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加为原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则（ ）
A．根据公式F=B．根据公式
v=，可知地球提供的向心力将减小为原来的 ，可知卫星运动的线速度将减小为原来的
C．根据公式a=rω2可知卫星的向心力加速度将减小为原来的
D．根据公式F=m rω2，可知地球提供的向心力将增大为原来的2倍
10、2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射.标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平.飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道.已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，引力常量为G,求：
⑴地球的质量； ⑵飞船在上述圆形轨道上运行的周期T.
11、对某行星的一颗卫星进行观测，已知运行的轨迹是半径为r的圆周，周期为T，已知万有引力常量G，求：
（1）该行星的质量多少？
（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的
，则此行星表面重力加速度为多大？
12
、物体在月球表面上的重力加速度等于地球表面上重力加速度的，将物体以10m/s的初速度竖直上抛，（g地取10m/s2）求：
（1）物体上升的最大高度是多少？
（2）物体落回地面的时间是多少？
13、一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T （万有引力常量为G），求：该行星的质量M和平均密度ρ
14、宇航员站在星球表面上某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t小球落回星球表面，测得抛出点和落地点之间的距离为L．若抛出时的速度增大为原来的2倍，则抛出点到落地点之间的距离为L．已知两落地点在同一水平面上，该星球半径为R，已知引力常量为G，求该星球的质量及其表面的重力加速度大小．
15、2005年10月12日，我国继“神舟”五号载人宇宙飞船后又成功地发射了“神舟”六号载人宇宙飞船.飞船入轨运行若干圈后成功实施变轨进入圆轨道运行，经过了近5天的运行后，飞船的返回舱于10月17日凌晨顺利降落在预定地点，两名宇航员安全返回祖国的怀抱.设“神舟”六号载人飞船在圆轨道上绕地球运行n圈所用的时间为t，若地球表面的重力加速度为g，地球半径为R.求：
（1）飞船的圆轨道离地面的高度；
（2）飞船在圆轨道上运行的角速度.
计算天体的质量和密度参考答案
1、【答案】B
2、【答案】D
3、【答案】C
4、【答案】D
5、【答案】C
6、【答案】A
7、【答案】BC
8、【答案】BC
9、【答案】AB
gR210、【答案】（1）M （2
）T2G11、【答案】（1）该行星的质量是．
（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的，则此行星表面重力加速度为
12、【答案】（1）物体上升的最大高度为30m；
（2）物体落回地面的时间为12s
13、【答案】该行星的质量M是，平均密度是
14、【答案】该星球的质量为，其表面的重力加速度大小为．
15、【答案】（1）飞船的圆轨道离地面的高度是
（2）飞船在圆轨道上运行的角速度是
. ﹣R；
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