高二数学月考试题 2011.9.
一、选择题
1. 已知m , n 是两条不同的直线，α, β, γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是
A ．若α⊥γ, β⊥γ, 则α∥β B ．若m ⊥α, n ⊥α, 则m ∥n C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β B
2. 某个几何体的三视图及其尺寸如图所示（单位：cm ），该几何体的表面积和体积分别为
A ．24πcm 2,12πcm 3 B ．15πcm ,12πcm C ．24πcm 2,36πcm 3 D ．36πcm ,24πcm A
3．设a ，b ，g 是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题
①若a ^b ，b ^g ，则α⊥γ； ③若l ^a ，l //b ，则a ^b ；
②若l 上两点到α的距离相等，则l //α； ④若a //b ，l Ëb ，且l //a ，则l //b .
俯视图
2
3
2
3
侧（左）视图
其中正确的命题是(D)
（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ (D)③④
4、设a,b,c 是空间三条不同的直线，α，β，γ是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若a ⊥α, b ⊥α，则a //b ；②若a ⊥α, b ⊥β, a //b ，则α//β；
③若b ⊂α, b ⊥β，则α⊥β；④若c 是b 在α内的射影，a ⊂α且a ⊥c ，则a ⊥b . 其中正确的个数是 ( )A 1 B 2 C 3 D 4 D
5. 若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（C ） A
正视图
俯视图
32
π 25
32
π 25
32π B
．25
D
．C
．
128
π 25
6. 一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是
4
π，则正方体的表面积3
是( ) （A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）3 7．（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题）
一个体积为如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为 （ A ）
A
． C
． 【答案】
A
B ．8 D ．12
【解析
】设正三棱
柱的底边长为a ，则
=，解得a =4，又
由V =
2
h =解得
h =3，所以三棱柱的左视图的面积为3⨯=，故选A 。
8. 棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E 是DC 的中点, 则AB 1与D 1E 所成角的余弦值为( ) A. C
9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
A. A. 12 B.
正（主）视图
侧（左）视图
53 B. C. D.
510103
56 C. 3D. 4
10．（
2011北京西城区期末） 如图，四边形ABCD 中，
俯视图
C
AB =AD =CD =1, BD = BD ⊥CD . 将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A '-BCD ，使平面A 'BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是
（A ）A 'C ⊥BD
D
（B ）
∠BA 'C =90
（C ）CA '与平面A 'BD 所成的角为
30
B 二、填空题
（D ）四面体A '-BCD 的体积为
1 3
11. 如图，在长方体ABCD -A 四1BC 11D 1中，棱锥A 1-ABCD 的体积与该长方体的体积之比为__________． 1:3
12．已知一个空间几何体的三视图如图所示，
A D 1
1
A
1
C
其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．
13. （北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科）下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_______________．
4 3
14. 如图，在直三棱柱ABC -A 1BC 中，11
A C ⊥B C ，
AC =BC =AA 1=2. 则直线AC 1和A 1B 1所成角
的大小为 ；直线AC 1和平面
ABB 1A 1所成角的大小为60︒. 30.
15. （2011北京朝阳区期末）
已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的
侧面积等于
16 ．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为
17. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，M 是BB 1的中点，那么直线AC 1与CM 所成角的余弦值是 .
（11
）
A ．3 B ．23 C ．22 D ．4
15
三、解答题
19. 如图1，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示.
（Ⅰ）证明：AD ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求三棱锥D -ABC 的体积；
（Ⅲ）在∠ACB 的平分线上确定一点Q ，使得PQ //平面ABD ，并求此时PQ 的长.
解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥BC ，
又AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，…………………2分 所以BC ⊥AD . …………………3分 由三视图可得，在∆PAC 中，
P A =A =C 4，D 为PC 中点，所以
D
AD ⊥PC ，…………………4分
所以AD ⊥平面PBC ，……………5分 （Ⅱ）由三视图可得BC =4，
由（Ⅰ）知∠ADC =90，BC ⊥平面
C
PAC ，
又三棱锥D -ABC 的体积即为三棱锥B -ADC 的体积， …………7分 所以，所求三棱锥的体积V =
11116
⨯⨯⨯4⨯4⨯4=. …………9分 3223
（Ⅲ）取AB 的中点O ，连接CO 并延长至Q ，使得CQ =2CO ，点Q 即为所求.
…………………10分
因为O 为CQ 中点，所以PQ //OD ， 因为PQ ⊄平面ABD ，OD ⊂平面ABD ， 所以PQ //平面ABD ，…………………12分 连接AQ ，BQ ，四边形ACBQ 的对角线互相平分， 所以ACBQ 为平行四边形， 所以AQ =4，又PA ⊥平面ABC ， 所以在直角∆PAQ 中，
PQ =
=…………………14分