第五章 方差分析
课后习题参考答案
5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数：
设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(α=0. 01)
解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：记
H 0:μi =0(i =1, 2, 3)
2
⎫1⎛r n i 2
S T =∑∑X ij - ∑∑X ij ⎪⎪=208. 167n i =1j =1⎝i =1j =1⎭
r
n i
1
S A =∑
i =1n i
r
⎛n i ⎫⎫1⎛r n i
∑X ij ⎪- ∑∑X ij ⎪=70. 467 ⎪⎪n ⎝j =1⎭⎝i =1j =1⎭
22
S e =S T -S A =137. 7
当
H 0成立时，
S A /(r -
1)~F (r -1, n -r )S e /n -r
F =
本题中r=3
经过计算，得方差分析表如下：
查表得
F 1-α(r -1, n -r )=F 0. 95(2, 27)=3. 35且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原
假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。
(2)软件计算解答过程
从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。
5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示：
试在显著水平α=0.05下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求
μ1-μ2, μ1-μ3及μ2-μ3的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命
X i N (μi , σ2)(i =1,2,3) 。
解：手工计算过程： 1. 计算平方和
S T =∑∑(X ij -) 2=ns 2=(n -1)(s *)2=14*59. 429=832
S e =∑∑(X ij -i ) =∑n i S =∑(n i -1)(S i *)2=4*(15. 8+10+28. 3) =216. 4
2
2i
i =1
i =1
r
r
S A =∑∑(i -) =∑n i (i -) 2=4*[(42. 6-39) 2+(30-39) 2+(44. 4-39) 2]=615. 6
2
i =1
r
其检验假设为：H0：2. 假设检验：
，H1：。
F =
S A /(r -1) 615. 6/2307. 8
===17. 0684
S e /(n -r ) 216. 4/1218. 0333
F >F 1-α(r -1, n -r ) =F 0. 95(2, 12) =3. 89
所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。
3. 对于各组之间的均值进行检验。
对于各组之间的均值进行检验有LSD-t 检验和q 检验。SPSS 选取LSD 检验（最小显著差t 检验），原理如下： 其检验假设为：H0：
，H1：
。
，即LSD （the least
方法为：首先计算拒绝H0，接受H1所需样本均数差值的最小值significant difference，LSD ）。然后各对比组的
与相应的LSD 比较，只要对比组的
大于或等于LSD ，即拒绝H0，接受H1；否则，得到相反的推断结论。
LSD-t 检验通过计算各对比组的
与其标准误之比值是否达到t 检验的界值
|A -B |
≥t 1-α(N -r )
11MS e (+)
n A n B
由此推算出最小显著差LSD ，而不必计算每一对比组的t 值
LSD =|A -B |≥t 1-α(N -r ) MS e (
11+) n A n B
如果两对比组的样本含量相同，即时，则
LSD =|A -B |≥t 1-(N -r ) MS e
2
2n
μA -μB 的置信区间为：
2
（|A -B |±t 1-α(N -r ) MS e n
2MS e
=n 则本题中
2*18. 033
=2. 6865
2
=t 0. 975(12) *2. 686=2. 1788*2. 686=5. 852n
t 1-α(N -r ) MS e
所以
μ1-μ2的置信区间为：
μ2-μ3, μ1-μ3的置信区间为：
（12.6-5.852, 12.6+5.852）, 即：（6.748，18.452） 同理可得
（-20.252，-8.548），（-7.652，4.052）
从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（1.85.852)，乙和丙之间(14.4>5.852)有显著差异(显著水平为0.05) 。
SPSS 软件计算结果： 1. 方差齐性检验
方差齐性检验结果
从表中可以看出，即方差相等的假设成立。
2. 计算样本均值和样本方差。（可用计算器计算）
描述性统计量
3.
从表中可以看出，F 值为17.068,P 值为0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。
4. 方差分析表
单因素方差分析表
从表中可以看出，F 值为17.068,P 值为0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 5. 最小显著性差异法（LSD ）结果
多重均值比较（Multiple Comparisons）
(I) 厂
工
Mean
(J) 工厂 Difference (I-J)
95% 置信区间
标准差
Sig.
下限 6.75
-7.65 -18.45 -20.25 -4.05 8.55
上限 18.45 4.05
-6.75 -8.55 7.65 20.25
1 2 12.600(*) 2.686 .001 3 -1.800 2.686 .515 2 1 -12.600(*) 2.686 .001 3 -14.400(*) 2.686 .000 3 1 1.800 2.686 .515 2 14.400(*) 2.686 .000 * The mean difference is significant at the .05 level. 从表中可以看出μ1-μ2的置信区间为：
（12.6-5.852, 12.6+5.852）, 即：（6.748，18.452） 同理可得μ1-μ3, μ2-μ3的置信区间为：
（-7.652，4.052），（-20.252，-8.548） 从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（sig=0.515）。而甲和乙之间(sig=0.001)，乙和丙之间(sig=0.000)有显著差异(显著水平为0.05) 。 5.3 对用5种不同操作方法生产某种产品作节约原料试验，在其它条件尽可能相同的情况下，假定原料节约额服从方差相等的正态分布，试问：操作法对原料节约额的影响差异是否显著？哪些水平间的差异是显的？(α=0. 01) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：
r
n i
H 0:μi =0(i =1, 2, 3, 4, 5)
2
⎫1⎛r n i 2
S T =∑∑X ij - ∑∑X ij ⎪⎪=89. 910n i =1j =1⎝i =1j =1⎭记 1
S A =∑
i =1n i
r
⎛n i ⎫⎫1⎛r n i
∑X ij ⎪- ∑∑X ij ⎪=55. 537 ⎪⎪n ⎝j =1⎭⎝i =1j =1⎭
22
S e =S T -S A =34. 373
当0成立时，
本题中r=5，经过计算，得方差分析表如下：
H
F =
S A /(r -1)~F (r -1, n -r )S e /n -r
查表得F 1-α(r -1, n -r )=F 0. 95(4, 15)=3. 06且F=6.058>3.06，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约额有显著影响。 (2)从上表可以看出，工厂使用的操作法这个因素的检验统计量F 的观测值为6.059，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.01，拒绝原假设，认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约额有显著影响。
(3)判断各种操作方法之间的差异的显著，使用SPSS 软件中最小显著性差异法（LSD ）计算。
以看出，在给定的置信水平α=0. 01时，操作法A1和A4，A1和A5，A2和A4，A2和A5的P 值都小于0.01，因此可以认为他们之间的差异显著。
5.5 在化工生产中为了提高得率，选了三种不同浓度，四种不同温度情况做实验。为了考虑浓度与温度的交互作用，在浓度与温度的每一种水平组合下做两次实验，其得率数据如下面的表所示(
假定数据来自方差相等的正态分布，试在α=0. 05的显著水平下检验不同浓度、不同温度以及他们之间的交互作用对得率有无显著影响。 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：
H 01:αi =0(i =1, 2, 3)
H 02:βj =0(j =1, 2, 3, 4)
H 03:γij =0(i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4)
为了便于计算，记
T ij ∙=∑X ijk =t X ij ∙
k =1
t
T i ∙∙=∑∑X ijk =st X i ∙∙; (T 1∙∙=90, T 2∙∙=68, T 3∙∙=92)
j =1k =1r
t
s t
T ∙j ∙=∑∑X ijk =rt X ∙j ∙; (T ∙1∙=56, T ∙2∙=67, T ∙3∙=65, T ∙4∙=62)
i =1k =1
T =∑∑∑X ijk =rst X =∑T i ∙∙=∑T ∙j ∙=250
i =1j =1k =1r
s
t
i =1
j =1
2
W =∑∑∑X ijk =2752
i =1j =1k =1
r s t r s
则有：
T 2S T =W -=147. 833
rst
1r 2T 2
S A =∑T i ∙∙-=44. 333
st i =1rst
1s 2T 2
S B =∑T ∙j ∙-=11. 5
rt j =1rst S A ⨯B
1r s 2T 2=∑∑T ij ∙--S A -S B =27. 000t i =1j =1rst
S e =S T -S A ⨯B -S A -S B =65. 000
当
H 01成立时，
F A =
S A /(r -1)~F (r -1, rs (t -1))
S e /rs t -1
当
H 02成立时，
F B =
S B /(s -1)~F (s -1, rs (t -1))S e /rs t -1
当
H 03成立时，
F A ⨯B =
S A ⨯B /(r -1)(s -1)~F ((r -1)(s -1), rs (t -1))S e /rs t -1
本题中r=3,s=4,t=2，经过计算，得方差分析表如下： 方差来源 浓度A
温度B 交互作用A ⨯B 误差 总和 查表得
平方和 44.333 11.500 27.000 65.000 147.833
自由度 2 3 6 12 23
均方 22.167 3.833 4.500 5.417
F 值 4.092 0.708 0.831 .
F 1-α(r -1, rs (t -1))=F 0. 95(2, 12)=3. 89且F A =4.092>3.06，在95%的置信度下，
拒绝原假设，认为浓度的差异对化工得率有显著影响。
F 1-α(s -1, rs (t -1))=F 0. 95(3, 12)=3. 49 且F B =0.708
假设，认为温度的差异对化工得率无显著影响。
F 1-α((r -1)(s -1), rs (t -1))=F 0. 95(6, 12)=3. 00且F C =0.831
在95%的置信
度下，接受原假设，认为温度和浓度的交互作用之间的差异对化工得率无显著影响。
(2)软件计算解答过程
从上表可以看出，因素
A 浓度的检验统计量F 的观测值为4.092，对应的检验概率p 值为0.044，小于0.05，拒绝原假设，认为浓度之间的差异对化工得率有显著影响。
因素B 温度的检验统计量F 的观测值为0.708，对应的检验概率p 值为0.566，大于0.05，接受原假设，认为温度之间的差异对化工得率无显著影响。
交互作用的检验统计量F 的观测值为0.831，对应的检验概率p 值为0.568，大于0.05，接受原假设，认为温度和浓度的交互作用之间的差异对化工得率无显著影响。
假定数据来自方差相等的正态分布，问 (1)工人之间的差异是否显著 (2)机器之间的差异是否显著 (3)交互作用是不是显著(α=0. 05) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：
H 01:αi =0(i =1, 2, 3, 4)
H 02:βj =0(j =1, 2, 3)
H 03:γij =0(i =1, 2, 3, 4; j =1, 2, 3)
为了便于计算，记
T ij ∙=∑X ijk =t X ij ∙
k =1
t
T i ∙∙=∑∑X ijk =st X i ∙∙; (T 1∙∙=156, T 2∙∙=159, T 3∙∙=153, T 4∙∙=159)
j =1k =1r
t
s t
T ∙j ∙=∑∑X ijk =rt X ∙j ∙; (T ∙1∙=206, T ∙2∙=198, T ∙3∙=223)
i =1k =1
T =∑∑∑X ijk =rst X =∑T i ∙∙=∑T ∙j ∙=627
i =1j =1k =1r
s
t
i =1
j =1
2
W =∑∑∑X ijk =11065
i =1j =1k =1
r s t r s
则有：
T 2S T =W -=144. 75
rst
1r 2T 2
S A =∑T i ∙∙-=2. 75
st i =1rst
1s 2T 2
S B =∑T ∙j ∙-=27. 167
rt j =1rst S A ⨯B
1r s 2T 2=∑∑T ij ∙--S A -S B =73. 500t i =1j =1rst
S e =S T -S A ⨯B -S A -S B =41. 333
当
H 01成立时，
S A /(r -1)~F (r -1, rs (t -1))S e /rs t -1
F A =
当
H 02成立时，
S B /(s -1)~F (s -1, rs (t -1))S e /rs t -1
F B =
当
H 03成立时，
S A ⨯B /(r -1)(s -1)~F ((r -1)(s -1), rs (t -1))S e /rs t -1
F A ⨯B =
本题中r=4,s=3,t=3
经过计算，得方差分析表如下：
查表得
F 1-α(r -1, rs (t -1))=F 0. 95(3, 24)=3. 01且F A =0.532
在95%的置信度下，接受原
假设，认为机器的差异对日产量无显著影响。
F 1-α(s -1, rs (t -1))=F 0. 95(2, 24
)=3. 40 且F B =7.887>3.40在95%的置信度下，拒绝原
假设，认为工人的差异对日产量有显著影响。
F 1-α((r -1)(s -1), rs (t -1))=F 0. 95(6, 24)=2. 51且F C =7.113>2.51，在95%的置信度下，拒
绝原假设，认为机器和工人的交互作用之间的差异对日产量有显著影响。
从上表可以看出，因素A 机器的检验统计量F 的观测值为0.532，对应的检验概率p 值为0.665，大于0.05，接受原假设，认为机器之间的差异对日产量无显著影响。
因素B 温度的检验统计量F 的观测值为7.887，对应的检验概率p 值为0.002，小于0.05，拒绝原假设，认为工人之间的差异对日产量有显著影响。
交互作用的检验统计量F 的观测值为7.113，对应的检验概率p 值为0.000，小于0.05，拒绝原假设，认为工人和机器的交互作用之间的差异对日产量有显著影响。
5.4一位老师想要检查三种不同的教学方法的效果，为此随机地选取了水平相当的15位学生，把他们分成三组，每组五人，每一组用一种教学方法。过一段时间后，这位教师给这15
试问，在显著性水平α=0.10下，这三种教学方法的效果有显著差异？这里假定学生成绩服从方差相等的正态分布。 解：一、手工计算结果 1. 计算平方和
S T =∑∑(X ij -) 2=ns 2=(n -1)(s *)2=604.933S e =∑∑(X ij -i ) =∑n i S =∑(n i -1)(S i *)2=852.800
2
2i
i =1
i =1
r
r
S A =∑∑(i -) 2=∑n i (i -) 2=1457.733
i =1
r
其检验原假设为：H0： 2. 假设检验：
μ甲=μ乙=μ丙
F =
S A /(r -1) 604.933/2302.467
===4.256
S e /(n -r ) 852.800/1271.067
F >F 1-α(r -1, n -r ) =F 0. 95(2, 12) =3. 89
所以拒绝原假设，即认为学生成绩和教学方法显著相关。 二、软件结果
1.
从上表可以看出，P 值为0.908>0.05,说明三个样本方差齐。 2. 进行方差分析如下表：
方差分析表
P 值为0.04> 0.1,F0.9.(2,12)=2.81
3. 进一步分析有下表，
多重比较
(I) 方(J) 方
Mean 法 法
(I-J) 1 2 3
2 3 1 3 1
95% Confidence Interval Upper Lower Sig. Bound Bound .034 -29.62 .539 .034 .211 .539
-20.02 1.18 -4.62 -8.42
-1.18 8.42 29.62 23.82 20.02
Tukey HSD
Difference Std.
Error
5.332 5.332 5.332 5.332 5.332
-15.400(*) -5.800 15.400(*) 9.600 5.800
2 -9.600 5.332 .211 -23.82 4.62 Scheffe 1 2 -15.400(*) 5.332 .042 -30.26 -.54 3 -5.800 5.332 .569 -20.66 9.06 2
1 15.400(*) 5.332 .042 .54 30.26 3 9.600 5.332 .238 -5.26 24.46 3 1 5.800 5.332 .569 -9.06 20.66 2 -9.600 5.332 .238 -24.46 5.26 LSD 1 2 -15.400(*) 5.332 .014 -27.02 -3.78 3 -5.800 5.332 .298 -17.42 5.82 2 1 15.400(*) 5.332 .014 3.78 27.02 3 9.600 5.332 .097 -2.02 21.22 3 1 5.800 5.332 .298 -5.82 17.42 2 -9.600 5.332 .097 -21.22 2.02
从上表可以看出，甲方法和乙方法在显著水平0.05下有显著差异（P 值＝0.034
5.7 一火箭使用四种燃料，三种推进器做射程试验。每种燃料与每种推进器的组合作一次试验(假定不存在交互作用) 假定数据来自方差相等的正态分布，问燃料之间、推进器之间有无显著差异(α=0. 05). 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：
H 01:αi =0(i =1, 2, 3, 4)
H 02:βj =0(j =1, 2, 3)
为了便于计算，记
T i ∙=∑X ij =s X i ∙(T 1∙=179. 7, T 2∙=154. 8, T 3∙=170. 2, T 4∙=182. 7)
j =1r
s
T ∙j =∑X ij =r X ∙j (T ∙1=15155. 7, T ∙2=14499. 3, T ∙3=10834. 98)
i =1
T =∑∑X ij =rs X =687. 4
i =1j =1r
s
2W =∑∑X ij =40489. 98
i =1j =1
r s
T 2
S T =W -=1113. 417
rs 则有：
11r 2T 2
S A =∑T i ∙-=157. 590S B =
r s i =1rs ，T 2
T -=223. 847∑rs j =1
s
2∙j
S e =S T -S A -S B =731. 980
当
H 01成立时，
F A =
S A /(r -1)~F (r -1, (r -1)(s -1))S e /r -1s -1
当
H 02成立时，
F B =
S B /(s -1)~F (s -1, (r -1)(s -1))S e /r -1s -1
本题中r=4,s=3，经过计算，得方差分析表如下：
查表得
F 1-α(r -1, (r
-1)(s -1))=F 0. 95(3, 6)=4. 76且F A =0.739
受原假设，认为燃料的差异对射程无显著影响。
F 1-α(s -1, (r -1)(s -1))=F 0. 95(2, 6)=5. 14 且F B =0.449
原假设，认为推进器的差异对射程无显著影响。 (2)软件计算解答过程
从上表可以看出，因素A 燃料的检验统计量F 的观测值为0.431，对应的检验概率p 值为0.739，大于0.05，接受原假设，认为燃料之间的差异对射程无显著影响。
因素B 推进器的检验统计量F 的观测值为0.917，对应的检验概率p 值为0.449，大于0.05，接受原假设，认为推进器之间的差异对射程无显著影响。
5.8为了考察蒸馏水的PH 值与硫酸铜溶液的浓度（单位：%）对化验血清中白蛋白与球蛋
假定数据来自方差相等的正态总体。（假定不存在相互作用） 解：手工计算结果：
为了方便和提高计算精度，记
原假设为：
H 01:μph=5.40=μph=5.60=μph=5.70=μph=5.80H 02:μ浓度=0.04=μ浓度=0.08=μ浓度=0.10T i ⋅=s X i ⋅=∑X ij
j =1r s
T ⋅j =r X ⋅j =∑X ij
i =1
T =rs X =∑∑X ij
i =1j =1
r s
W =∑∑X ij 2
i =1j =1
r s
则有：
T 2
S T =W -=7.769
rs
1r 2T 2
S A =∑T i ⋅-=5.289
s i =1rs 1s T 22
S B =∑T ⋅j -=2.222
r j =1rs S e =S T -S A -S B =0.258当H 01成立时，F A =
S A /(r -1)
F (r -1,(r -1)(s -1))
S e /(r -1)(s -1)
S B /(s -1)
F (s -1,(r -1)(s -1))
S e /(r -1)(s -1)
当H 02成立时，F B =
本题中：r=4,s=3
经过计算，得方差分析表如下：
方差来源 酸度 浓度 误差 总和
平方和 5.289 2.222 .258 7.769
自由度 3 2 6 11
均方 1.763 1.111 .043
F 值 41. 25.84 .
查表，得F0.99(3,6)=9.78,F0.99(2,6)=10.9
F(酸度) ＝41＞9.78,F(含量) ＝25.84＞10.9, 所以拒绝原假设。此结果说明在显著水平1％下，ph 值和浓度对蛋白比有显著影响 二、SPSS 输出结果
组间效应检验
Dependent Variable: 白蛋白和球蛋白之比
a R Squared = .967 (Adjusted R Squared = .939)
从表中可以看出，因素PH 值的检验统计量F 的观测值为40.948，检验的概率p 值为0.000，小于0.01，拒绝零假设，可以认为PH 值之间差异显著，对白蛋白和球蛋白之比影响不全相等。因素浓度值的检验统计量F 的观测值为25.800，检验的概率p 值为0.001，小于0.01，拒绝零假设，可以认为浓度值之间差异显著，对白蛋白和球蛋白之比影响不全相等。