第二章习题答案
1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解：
S = 1000s 20|7%+X X =
50000-1000s 20|7%
s 10|7%
s 10|7%
= 651.72
2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有
1000=X +250a 48|1.5%
解得X = 1489. 36
3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1
。试计算该年金的现值。 解：
P V =n a n |i =n
1-v 1n
Y -X X
1
n
=
(n + 1)n -n
(n + 1)
n
n 2n +2
4．解： a 2n ]5．已知：a 7]解：
=a n ]+a n ](1-d )
n
则d
= 1-() n
。计算i 。
= 5.58238, a 11]= 7.88687, a 18]= 10.82760
a 18]=a 7]+a 11]v
7
解得i = 6. 0%
=
s 10]+a ∞]
s 10]
6. 证明：证明：
1
1-v 10
(1+i )
s 10]+a ∞]
s 10]
=
10
-1
1i i = 1010
(1+i ) -11-v
i
+
1
7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半
年200元，然后减为每次100元。 解：
P V =100a 8p]3%+100a 20]3%= 2189.716
8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金
帐号上存入1000元，共计25年。然
后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，
后15年的年利率7%。计算每年的退休金。
解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日
1000 s 25]8%￢=X a 15]7%
解得X = 8101. 65
9．已知贴现率为10%，计算a 8]。 解： d = 10%，则
i =
11-d
-1 =
19
8
= 5.6953
8]= (1 +i ) a
1-v i
10. 求证：
n ](1)a
=a n ]+ 1-v ；(2)s n ]=s n ]-1 + (1 +i )
n
n
并给出两等式的实际解释。
=证明： (1)a ¨n ]
1-v d
n
=
1-v i
n
=
1-v i
n
+ 1-v
n
1+i
=所以a ¨n ]
a n ]+ 1-v (1+i ) -1
d
n
n
(1+i ) -1
i
1+i
n
= (2)s ¨n ]
==
(1+i ) -1
i
n
+ (1 +i ) -1
n
=所以a ¨n ]
s n ]-1 + (1 +i )
n
12. 从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利
率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。 解：
PV = 100a 49】1. 5% − 100a 2]1. 5% = 3256. 88 AV = 100s 49]1. 5% − 100s 2]1. 5% ￢ = 6959. 37
13. 现有价值相等的两种期末年金A 和B 。年金A 在第1－10年和第21－30年中每 年1元，在第11－20年中每年2元；年金B 在第1－10年和第21－30年中每年付款金 额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v 10，计算Y 。
解： 因两种年金价值相等，则有
a 30]i +a
10]i v
10
=
12
=Y a 30]i -Y a
1010
i v
10
所以Y
=
3-v 1+v
-2v -2v
3030
= 1.8
14. 已知年金满足：2元的2n 期期末年金与3元的n 期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n 年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i 。 解： 由题意知，
2a 2n ]i + 3a n ]i = 362a n ]i v = 6
n
解得i = 8. 33% 15. 已知
a 7]a 11]
=
a 3]+s X ]a Y ]+s Z ]
。求X ，Y 和Z 。
解： 由题意得
1-v 1-v
711
=
(1 +i )
X Z
-v
3Y
(1 +i ) -v
解得
X = 4, Y = 7,Z = 4 16. 化简a 15](1 +v 15解：
a 15](1 +v
15
+v
30
) 。
+v
30
) =a 45]
17. 计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一
次2000元，半年结算名利率9%。
解： 年金在4月1日的价值为P = (1+4. 5%)/4. 5% × 2000 = 46444. 44 ，则
P V =
P (1 +i )
2+
3
= 41300.657
18. 某递延永久年金的买价为P ，实利率i ，写出递延时间的表达式。 解： 设递延时间为t ，有
P =
1i v
t
解得t
=-
ln iP ln (1+i )
19. 从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一
定的金额X ，直至永远。计算X 。
解： 设年实利率为i ，由两年金的现值相等，有
20]i =1000a
X i v
29
30
解得X
= 1000((1 +i )
-(1 +i ) )
10
20. 某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前n 年，A 、B 和C 三人 平分每年的年金，n 年后所有年金由D 一人继承。如果四人的遗产份额的现值相
同。计算(1 +i ) n 。
解： 设遗产为１，则永久年金每年的年金为i ，那么A,B,C 得到的遗产的现值 为
i 3a n ]i
n
，而D 得到遗产的现值为v n 。由题意得
n
1-v 3
=v
所以(1 +i ) n
= 4
21. 永久期末年金有A 、B 、C 、和D 四人分摊，A 接受第一个n 年，B 接受第二
个n 年，C 接受第三个n 年，D 接受所有剩余的。已知：C 与A 的份额之比为0.49， 求B 与D 的份额之比。 解： 由题意知
P V C P V A
=a n ]v
2n
a n ]
= 0.49
那么
P V B P V D
=
a n ]v
1i
n
v
3n
= 0.61
22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。 解：
100a n ]4.5%v 1000
44
解得n = 17
列价值方程
100a 16]4.5%+X v 1 = 1000
2
解得X = 146. 07
23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果
以同样的年利率计算货币的价值在n 年内将增加一倍，计算n 。 解： 两年金现值相等，则4⨯a 36]i 由题意，(1 +i ) n
= 2
= 5⨯18，可知v
18
= 0.25
解得n = 9
24. 某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k 个月后一 次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k 。 解： 由题意可得方程
100a 60p 1% ￢ = 6000(1 + i ) −k 解得k = 29 25. 已知a 2]i
= 1.75，求i 。
解： 由题意得
1-v = 1.75i
2
解得i = 9. 38%
26. 某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年
的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解：
27. 某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K 元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。 解： 由题意可得价值方程
10000 = 105K a 2]4%v +K a 2]4%+ 10000v 则K =
10000-10000v
3
10
5
3
10
105a 2]4%v +a 2]4%v
= 979.94
28. 贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i ，后面的利率为j 。计算首次付款金额X 的表达式。 解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程
1
P (1 +i ) 2=X + 2X 所以X =
a 4]i
+ 2X a 5]j (1 +i )
1
-4
P (1 +i ) 2
1 +2a 4]i +2a 5]j (1 +i )
-4
29. 已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。 解：
30. 计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知 年利率为12%。（缺命令） 解：
P V = 4⨯400 + 4⨯600v = 11466.14
5
31. 已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现 值表达式。 解：
32. 给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解：
P V =
1s 4]i
a 24]i v =
3
(1 +i )
27
24
-1
4
(1 +i ) [(1 +i ) -1]
=
a 28]-a
4]
s 3]+s 1]
33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R 元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R 的表达式。
解： 设年实利率为i ，则(1 + 2%)2 = 1 + i 。有题意得
750i +750s 20]p i i
=R a 30]i
解得R = 1114. 77
34. 已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。
解： 由题意知
1is 3]i
=12591
解得i = 20%
35. 已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R 元的永久期初年 金，计算R 。 解： 由题意得
20 =
1d =
R a 2]i i
解得R = 1. 95
36. 已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延 时间。
解： 设贴现率为d ，则1 +
i
(2)
2
=
1(1-d )
12
设递延时间为t ，由题意得
∞]10000 = 2⨯500v a
t
(2)
解得t
(2)
=
ln 20 + ln(1-(1-d ) )
ln (1-d )
(2)
1
2
37. 计算：3a n (])
2
=2a 2n ]= 45s 1]，计算i 。
解：
3⨯
i i
(2)
a n ]i = 2⨯
i i
2
a n ]i = 45⨯
i i
2
s 1]i 解得：v =
n
12
, i =
130
39. 已知：δt
=
t
11+t
δs d s
。求ˉ的表达式。 n ]
-
=解：ˉn ]
⎰0e
n
⎰
d t = ln(1 +n )
40. 已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t ，使得只要在该时刻一次性
支
付一个货币单位，则两种年金的现值相等。 解： 第一种年金的现值为⎰0v
1
t
d t =
1-e
-δ
δ
第二种年金的现值为e -δt ，则
1-e
-δ
δ
=e
-δt
所以t
= 1 +
1
δ
ln
δi
41. 已知：δ = 0. 08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现
值。（结果和李凌飞的不同）
1
解： 设季度实利率为i 。因a (t )
80]i = 100(1 +i ) P V = 100a
1-v i
80
=e
δt
，则e 4
δ
= (1 +i )
所以
= 4030.53
42. 现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定
速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？ 解： 设年实利率为i ，则i
=e -1设基金可维持t 年，由两现值相等得
δ
40000 = 2400a t ]i 解得t = 28
43. 已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值
相等，计算该永久年金的现值。 解： 由题意：
11(1+i )
6
=
13(1+i )
2
7
⇒i =
211
n
P V =v + 3v + + (2n -1) v + =v [1 +P V + 2(v +v + )]=v (1 +P V + 2
v 1-v
)
2
解得:PV = 66
44. 给出现值表达式A a |+
B (D a ) |所代表的年金序列。用这种表达式给出如
下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。
解： 年金序列：A + nB,A + (n − 1) B, . . . ,A + 2B,A + B 所求为25a 25|+
3(D a ) 25|
45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率
为16％。若记：A
=a 10|8%
，试用A 表示这个年金的现值。
解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：
300a 10|8%+ 500(D a ) 10|8%=300A +
2⨯(10-A )
i
(2)
= 6250-325A
47. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:
100
v
4
i -vd
解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久
年金. . .。从而
P V =v
4
100i
11a 2|i i
= 100v
4
11
2
i 1-v
= 100
v
4
i -vd
48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。
(4)(4)
(I a ) 证明其现值为：1600a 元 10|1|
证： 首先把一年四次的付款折到年初：m
= 4, n = 1,R = 100m
2
= 1600
(4)
) 元 从而每年初当年的年金现值：1600(I (4)a 1|(
(I 再贴现到开始时：1600a 10|
4)
) a 1|
(4)
元
49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利
率8％，计算现值。 解： 半年的实利率：
P V = 1 +
1.031 +j 1.031 +j
) +
-1
j = (1 + 8%)-1 = 3.923%
2
2
12
1.03
(1 +j )
+
= (1-
= 112.59
50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。 证明当前的准备金为：
a 6000a 证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12,R = 500m = 4|9/12|
(12)
6000 从而
每年初当年的年金现值：
a 6000a 贴现到当前：6000a 4|9/12|9/12|
(12)
(12)
51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第
三
个k 年每年底还3R ；依此类推。给出现值表达式。
解： 把此年金看成从第nk 年开始的每年为R 的永久年金(n = 0, 1, 2, · · · ): 每个年金的值为
R a ∞
在分散在每个k 年的区段里：
R (a ∞|) a k |
R a ∞|a k |
2
再按标准永久年金求现值：v
52. X 表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X 表示首次付款
从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, · · · 的现值。计算贴现率。 解： 由题意：
X =
11i 1+i
1
1
1
20X = (+2) 2
i i (1+i )
解得：i = 0. 05 即：d
=
i 1+i
= 0.04762
53. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v 4 = 0. 75，计算现值。与原答案有出入 解： (期初年金)
∞
P V = 1 + 6v + 11v + =
49
∑
i =1
(5n -4) v
(4n -4)
=
5(1-v )
4
2
-
41-v
4
= 64
V (期末年金) P ¨
=v + 6v + 11v + =v P V = 59.5587
510
54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k ) t ，年利率i ，如果：0
该年
金现值。与原答案有出入
解： 由于0
P V =⎰0(1 +k ) e
∞
t
-δt
d t =⎰0(
∞
1 +k 1 +i
) d t =
t
1
ln (1 +i ) -ln (1 +k )
59. 计算m + n 年的标准期末年金的终值。已知：前m 年年利率7%，后n 年年利 率11%，s m |7%
= 34, s n |11%= 128
。
n
解： 由s n |的表达式有：(1 + 0.11) = 0.11n |11%+ 1
n
A V =s m |7% ⨯(1 + 0.11) +s n |11%=s m |7%⨯(0.11s n |11%+ 1) +s n |11%= 640.72
60. 甲持有A 股票100股，乙持有B 股票100股，两种股票都是每股10元。A 股票每 年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所
有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B 股 票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也 是以年利率6%进行投资，并且在n 年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同，分别对n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。 解： 设X 为买价，有价值方程：
0.4s 10|6%+ 2 = 0.8s n -10|6%+X (1 + 0.06)
-(n -10)
从而有：
X = (0.4s10|6%￢+ 2-0.8s n -10|6%)(1 + 0.06)
(n -10)
解得：X =
5. 22 n = 15 2. 48 n = 20
61. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半 年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐 款5000元。(从1991年的7月开始？) 每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖 金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。 解： 由题意：
A V = 100000(1+4%
)
20
+5000
s 20|4%s 2|4%
-12000(1+4%)
s 20|4%s 2|4%
= 109926.021
62. 已知贷款L 经过N （偶数）次、每次K 元还清，利率i 。如果将还贷款次数减少
一半，记每次的还款为K 1，试比较K 1与2K 的大小。 解： 由题意：
K 1a m |i =K a 2m |i ⇒K 1=K [1 +
1(1 +i )
m
]
63. 已知贷款L 经过N 次、每次K 元还清，利率i 。如果将每次的还款额增加一倍， 比较新的还款次数与N/2的大小。 解： 由题意：
2K a M |i =K a N |i ⇒v
M
=
1 +v
2
N
> v
N 2
即：M