概率與資訊中的分析引理
及相關定理證明
一一兼談中國大陸一道高考壓軸題的數學背景
徐瀝泉·張建良
0.引言
概率論與資訊學中導出某些隨機變量的重要的分佈函數時屢次要用到數學分析中的結論。本文將詳細而嚴格地論證兩條分析引理,它們是產生卜瓦松(Poisson)分佈,常態分佈(N(x,σ))和熵與資訊中申農定理(1948年由美國工程師C.E.Shannon的開創性論文Amathe-maticaltheoryofcommunication,BellSystemTech.,27(1948),379-423,623-656發表後確立)的重要機制。兼談2001年中國數學高考壓軸題(大陸卷)的數學背景。
1.引理I—產生卜瓦松分佈和常態分佈的重要機制
1.1.引理I與卜瓦松分佈
引理I:若f(x)是嚴格單調函數和連續函數且∀x,y∈R,f(x)·f(y)=f(x+y)成立,則f(x)=ax,a>0且a=1。