奇数阶幻方的杨辉方法

奇数阶幻方的杨辉方法

从三阶幻方谈起。三阶幻方是指将1，2，3，„，8，9这九个数排列成一个3×3方阵，使三横行、三竖列和两条对角线上的三个数之和都相等。这个相等的和数就叫做三阶幻方的幻和。我们很容易求得这个幻和：

1289

3

453

15。

要排出一个三阶幻方，中心这个数是一个关键。这个数有四条线通过它，为此，我们把三数之和为15的算式全部列出来：

15915，16586815，215，2715，

344915，456815，35715，215。

（一共八个式子，幻方的三行、三列和两条对角线也正好是八个，所以上列八个式子正好表示行、列和对角线上的组成情形。）5这个数在上列八个式子中出现了四次，这表明中心数就是5。中心这个数定好之后，再确定四个角上的数，每个角上的数有三条线通过它，

2,4,6,8这四个数在上列八个式子中各出现了三次，由此我们可以确定四个角上的数就是2,4,6,8这四个数。首先可以任意指定某一个角是2，那么与2构成对角线

438

951

2

76

的另一端只能是8；余下的两个角就是4,6。中心和四角这五个数确定之后，

图 1

余下的四个数不难计算求得。图1给出了三阶幻方的一个示例。 关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：九子斜排，上下对

易，左右相更，四维挺进。参见图2。

图

2

438

951

276

如图2所示，它形象的表达了杨辉的方法。这个方法可以变通一下：“上下对易，左右相更”改为上、下、左、右的各个元素各向对方移动三格，这样不仅可以省去“四维挺进”，而且最后得到的方阵是一个标准的33方阵。参见图3。

杨辉的方法不仅可以构造三阶幻方，而且还可以构造任

图 3

438

951

276

意奇数阶幻方。

杨辉的方法：设n为奇数。

1．将1,2,3,,n21,n2排成一个斜的nn方阵；

n12

2

2．以为中心作一个nn方阵（格）；

3．将位于这个nn方阵外的所有元素都向方阵内平移n格，即得。 取n5,7为例，参见图4，5：

[1**********]3

44

45

46

47

48

49

图 5

16111621

2223

24

25

图 4

27

3813

91419

20

15

104

5

[***********][***********]19215

1217

18

29

31017

111825

192633

273441

42

35

2820

2112

13

14

4

5

6

7

[***********][***********][***********][***********][**************]28

1623

2431

3239

40

3037

38

以下我们试着来研究奇数阶幻方的杨辉方法，这一次我们不画格子，而借用坐标格点来

l

代替格子，我们仍然从三阶幻方开始。 第一步：（九子）斜排

在点0,2处标记1，在点1,1处标

l记2，在点2,0处标记3，这算第1段；1,0,0,1处,分1别标记在点1,

图 6

4,5,6，这算第2段；在点2,1,1,1,0,2处标记7,8,9，这是第3段。如图6的

左边所示。 第二步：画正方形

以点1,1,1,1,1,1,1,1为顶点作一个正方形。我们看到1,9,3,7这四个数在

这个正方形外。

第三步：把位于正方形外的四个数，都向正方形内平移3个单位，就得到了三阶幻方。如图6所示。

为了分析方便，我们引进如下的记法：

第1段：我们记f1x,2xxa1,a11,x0,1,2，即

f10,21, f11,12, f12,03；

第2段：记f2x,xxa2,a25,x1,0,1，即

f21,14, f20,0,5, f21,16；

第3段：记f3x,2xxa3,a39,x2,1,0，即

f32,07, f31,18, f30,29。

这样我们建立了一个函数列fix,bixxai,i1,2,3，这个函数列又取决于两个等差数列：a11,a25,a39，公差da431；b1312,b20,b32，db2。各个函数的定义域的第一个数0,1,2也是一个公差为1的等差数列。

现在我们来验算： 三横行：

1．492f21,1f30,2f11,1150911

15915，

2．357f12,0f20,0f32,0210529

15915，

3．816f31,1f10,2f21,1190115

15915；

三竖列：

1．438f21,1f12,0f31,1152119

15915，

2。951f30,2f20,0f10,2090501

15915，

3．276f11,1f32,0f21,1112915

15915；

主对角线：456f21,1f20,0f21,1150515

55515；

副对角线：258f11,1f20,0f31,1110519

15915。

我们看到，除主对角线外，每一个算式都归结为

a1a2a315915，

可见数列a1,a2,a2诸项的和就是幻和。

五阶幻方，这时数列a1,a2,a3,a4,a5是首项为1，公差为da516的等差数列，而

数列b1,b2,b3,b4,b5是首项为b1514，公差为db2的等差数列。

第一步：斜排

第1段：令f1x,4xxa1,a11,x0,1,2,3,4，即

f10,41, f11,32, f12,23, f13,14, f14,05；

第2段：令f2x,2xxa2,a27,x1,0,1,2,3，即

f21,36, f20,27, f21,18, f22,09, f23,110；

第3段：令f3x,xxa3,a313,x2,1,0,1,2，即

f32,211, f31,112, f30,013, f31,114, f32,215；

第4段：令f4x,2xxa4,a419,x3,2,1,0,1，即

f43,116, f42,017, f41,118, f40,219, f41,320；

第5段：令f5x,4xxa5,a525,x4,3,2,1,0，即

f54,021, f53,122, f52,223, f51,324, f50,425。

第二步：画正方形

以点2,2,2,2,2,2,2,2为顶点作一个正方形，这个正方形外有12个数。 第三步：把位于正方形外的每一个数，都向正方形内平移5个单位，就得到了五阶幻方。

如图7所示。

图

验算： 五横行：

1．11247203f32,2f51,3f20,2f41,3f12,2

21312507119211713192565；

2．41225816f13,1f31,1f50,4f21,1f43,1

31113025173191713192565；

3．17513219f42,0f14,0f30,0f54,0f22,0

21941013425271713192565；

4．101811922f23,1f41,1f10,4f31,1f53,1

37119011133251713192565；

5．23619215f52,2f21,3f40,2f11,3f32,2

22517019112131713192565。

五竖列：

1．114171023f32,2f13,1f42,0f23,1f52,2

21331219372251713192565；

2．24125186f51,3f31,1f14,0f41,1f21,3

12511341119171713192565；

3．72513119f20,2f50,4f30,0f10,4f40,2

07025013010191713192565；

4．20821142f41,3f21,1f54,0f31,1f11,3

11917425113111713192565；

5．31692215f12,2f43,1f22,0f53,0f32,2

21319273252131713192565。

主对角线：

1112131415f32,2f31,1f30,0f31,1f32,2 213113013113213131313131365。

副对角线：

38131823f12,2f21,1f30,0f41,1f52,2 21170131192251713192565。.

我们再一次看到，除主对角线外，每一个算式都归结为

a1a2a3a4a51713192565。

f10,4

主对角线

第4行第5行第1行第2行第3行第4行第5行第1行第2行

现在我们转向一般的讨论，但是为了直观，我们借用5阶幻方的“斜排”图来解释（参见图8）。设n2k1为奇数。

首先我们注意到我们所定义的函数fix,yxai，i1,2,,n1,n可以

f2-1,3f11,3f3

f4-3,1f3f2f13,1f5-4,0f4f

f2

f14,0

f5-3,-1f4f3f23,-1

f5

副对角线

解读为“横坐标加常数，其中ai是等．．．．．．ai”差数列

a1,a2,,an1,an

f5-1,-3f41,-3

f50,-4

的项，首项a11，公差为dn1。

借助图8，我们可以看到这样的事实：无论哪一行、列或副对角线上各数的和，都归结为

第四列 第五列 第 一列 第二列第 三列第四列 第五列 图 8

第 一列 第二列

a1a2an1an

n1an2

，

因为这个和式中的“横坐标”都抵消了。利用等差数列的有关公式，容易求得

ana1n1d1n1n1n，

2

所以

a1a2an1an

n1n

2

2



；

至于主对角线上各数的和，所有的横坐标抵消以后，则化为nak1，因为

2

a1

n1k11kd2

n1

n12

，

所以nna1n

2



k12

。

以上的讨论，说明用杨辉的方法，的确可以构造任意奇数阶幻方。

【附记】用来排幻方的n2个数不必是从1开始的自然数列，只要是等差

数列即可，公差也不必是1。例如取

5,8,11,14,17,20,23,26,29

这九个数，这是首项为5，公差为3的等差数列。用杨辉法可以排成如图9所示的三阶幻方。

[**************]0

图 9