2013年华约自主招生数学试题解析
1．设A ={x |x ≥10, x ∈Z }，B ⊆A ，且B 中元素满足：
任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9． （1）求B 中的两位数和三位数的个数； （2）是否存在五位数，六位数？
（3）将B 中的元素从小到大排列，求第1081个元素．
解析（1）所有的两位数共90个，其中数字相同的有9个，两数字之和为9的有9个， 所以B 中的两位数有90―9―9＝72个；
所有的各数位的数字互不相同三位数共9×9×8＝648个，
其中含有数字0和9的有4×8＝32个，
含有数字1和8，2和7，3和6，4和5的各有4×8＋2×7＝46个， 所以B 中的三位数有648―32―46×4＝432个；
另解（1）将10个数字分为5组：（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），每组中的两数不能同时出现在一个元素中．
对于两位数，若最高位为9，则共有2×4＝8个，
若最高位不为9，则共有2×4×4×2＝64个，所以B 中的两位数有72个； 对于三位数，若最高位为9，则共有A 4×2×2＝48个， 若最高位不为9，则共有A 4×2×A 4×2×2＝384个， 所以B 中的三位数有48＋384＝432个；
（2）对于五位数，若最高位为9，则共有A 4×2×2×2×2＝384个， 若最高位不为9，则共有A 4×2×A 4×2×2×2×2＝3072个， 所以B 中的五位数有3072＋384＝3456个； 显然B 中不存在六位数．
（3）B 中的两位数和三位数共有72＋432＝504个， 在B 中的四位数中，千位上为1，2，3的各有192个，
1
4
4
1
2
2
而504＋192×3＝1080个，
所以第1081个元素应为四位数中，千位上为4的最小数，即4012．
2．已知sin x +sin y =
11
，cos x -cos y =，求cos(x +y ) ，sin(x -y ) ． 35
解析 由sin x +sin y =
11
，得sin 2x +sin 2y +2sin x sin y = ……①
93
11
，得cos 2x +cos 2y － ……② 2cosx cosy =
255
由cos x -cos y =
1134
， +=
925225
17208
所以 cos(x +y ) =1． =
225225
两式相加，得2－2cos(x +y ) =又由sin x +sin y =
x +y x －y 11
，得2sin cos = ……③
2233
由cos x -cos y =
x +y x －y 11
，得－2sin sin = ……④
2255
x －y 3
两式相除，得tan =－，
25
3x －y
2155所以 sin(x －y ) ==－=－．
x －y 917
1+1+tan 2
252
2tan
3．点A 在y =kx 上，点B 在y =-kx 上，其中k >0，OA OB =k +1，且A ，B 在y 轴同侧．
（1）求AB 中点M 的轨迹C 的方程；
（2）曲线C 与抛物线x =2py (p >0) 相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方程．
2
2
0， 解析 （1）设A (x 1, kx 1) ，B (x 2, －kx 2) ，x 1x 2＞
22222222
由 OA OB =k +1，得(x 1+k x 1)(x 2+k x 2) =(k +1) ，
2
所以x 1x 2=1．
kx 1－kx 2x 1－x 2x 1+x 2
设点M 的坐标为M (x , y ) ，则x =，y = =k
222
2
y y
所以 x 2－() 2=x 1x 2=1，即点M 的轨迹C 的方程为 x 2－2=1．
k k
（2）因为曲线C 与抛物线x =2py (p >0) 相切，得 2pk y －y =k ，
2222
2pk ) －4k =0，得k =由 ∆=(－
222
11
，此时y =，
p p
11
两切点坐标为(2, ) ，(2, ) ，即切点分别在两定直线x =2上．
p p 1=0和2x +py +1=0． 切线方程分别为2x －py －
4．7个红球，8个黑球，任取4个． （1）求恰有1个红球的概率；
（2）记取黑球个数为x ，求其分布列和期望； （3）取出4球同色，求全为黑球的概率． 解析 （1）恰有1个红球的概率为（2）黑球个数为x =0, 1, 2, 3, 4，
13
C 7C 84C 15
=
7×5656
； =
7×15×13195
黑球数为0的概率为
C 74C 80
4C 1531C 7C 84C 15
=
355
； =
7×15×1319535×840
； =
7×15×13195
黑球数为1的概率为
=
黑球数为2的概率为
C 72C 82
4C 1513C 7C 84C 15
21×2884
； ==
7×15×13195=
7×5656
； =
7×15×13195
黑球数为3的概率为
黑球数为4的概率为其分布列为
0C 7C 844C 15
=
7×1010
； =
7×15×13195
x 的数学期望为0×
[1**********]＋1×＋2×＋3×＋4×＝． [**************]15
51015
（3）由（2）知4球同色的概率为 ， +=
195195195
10
2
所以，取出4球同色，全为黑球的概率为 =．
153195
5．已知a n +1=a n +ca n ，n =1, 2, 3, ，a 1>0，c >0．
（1）证明对任意的M >0，存在正整数N ，使得对于n >N ，a n >M （2）设b n =
2
1ca n +1
，记s n 为b n 前项和，证明s n 有界，且d >0时，存在正整数k ，n >k
时0
1
2
0，于是 解析 （1）由a 1>0，c >0，知a n +1－a n =ca n ＞
a n +1－a n =a n +ca n 2－a n －1－ca n －12=（a n －a n －1）（1+c （a n +a n －1））＞a n －a n －1
a n +1－a n ＞a n －a n －1＞a n －1－a n －2＞ ＞a 2－a 1
所以
a n =a n －a n －1+a n －1－a n －2+ +a 2－a 1+a 1＞(n－1)(a 2－a 1) =(n－1) ca 12
2
1) ca 1>M ，n >对任意的M >0，要使a n >M ，只需(n －
M
+1， ca 12
M
取N =[2+2]，于是n >N ，a n >M ．
ca 1
2ca n a n a n +1－a n 11====2（2）b n =， =－
ca n +1ca n +a n a n +1ca n a n +1ca n +1ca n a n +1ca n
1
a n
所以 s n =
1111
=，s n －＞0， －
ca 1ca n +1ca 1ca n +1
2
由（1）知a n +1＞nca 1，所以
11111
=
所以s n 有界； 令d =
11
，得 ， =n nc 2a 12dc 2a 12
取k =[
11
0k n
ca 1dc 2a 12
6．设x , y , z 是两两不等且大于1的正整数，求所有使得xyz 整除(xy －1) (y z －1)(zx －1) 的
x , y , z ．
解析 因为(xy －1) (y z －1)(zx －1) ＝(xy z) －xy z(x+y +z) ＋xy +y z +zx －1， 而(xy z) －xy z(x+y +z) 能被xyz 整除， 于是只需xy +y z +zx －1能被xyz 整除即可．
又x , y , z 是两两不等且大于1的正整数，不妨设x >y >z
∴ xyz ≤xy +y z +zx －1
当然 2xy ≤xy +2y +2x －1，即xy ≤2y +2x －1，∴xy
∴ (x , y , z ) =(2, 3, 5) =(2, 5, 3) =(3, 2, 5) =(3, 5, 2) =(5, 2, 3) =(5, 3, 2) ．
2
2
1． 7．设f (x ) =(1－x ) e －
（1）证明当x >0时，f (x )
x
（2）令x n e
x n +1
=e x n －1，x 1=1，证明x n 递减且x n >
1
． 2n
0) e －1=0， 解析 （1）因为f (0) =(1－
又当x >0时，f (x ) =－e +(1－x ) e =－xe 0时，f (x )
'
x
x
x
（2）由x n e
x n +1
=e －1，得e
x n x n +1
e x n －1x
=，又e >1+x ，可得x n >0．
x n
x
10时，f (x )
x n e x n >e x n －1=x n e x n +1，∴e x n >e x n +1，即x n +1＜x n ，x n 递减．
下面用数学归纳法证明 x n >
1
． 2n
*
n =1时显然成立，假设n =k （k ∈N ）时，x k >
1k ， 2
e x －11
构造函数g (x ) =，当x >0时，g (x ) 为增函数，∴g (x k ) >g (k ) ．
x 2
x
x
又当x >0时，e >1+，再设函数h (x ) =x (g (x ) －e 2) ，
2
x x x
x x ' x 222
则h (x ) =e －（1+）e =e （e －(1+) ) ＞0，h (x ) 在(0, ÷∞) 上是增函数，
2211111k +1x
h (k ) >0，∴g (k ) >e 2， ∴e k +1>e 2, x k +1>k +1,
222
x 2
由数学归纳法知，对于正整数n ，有x n >
1n ． 2