HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Wuhan 430074, Hubei, P. R. China 中国·武汉 Tel(027)
《计算材料学》课程设计
指导老师：江建军
教授
电子科学与技术系 2004 年 6 月
电子 0102B3 组
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微波介质陶瓷的介电特性数值计算
万文涛 洪毅 黄文佳 陈婷 杨伟伟 王旭曦 袁大双 黄钏 饶伟 贺策林 李树平 （华中科技大学电子科学与技术系，武汉 430074）
摘要：对于微波介质陶瓷,建立数学模型,
讨论了介电常数与组分，温度，频率的关系。对于组分，重
点讨论运用蒙特卡罗有限元法计算出波介质陶瓷的宏观介电常数 ε m ，结果显示由二维模型和三维模型计 算得出的介电常数 ε m 大小位于串并联模型之间,而且由二维模型计算得出的介电常数 ε m 比由三维模型得 出的结果小，因为实际的一个由两相构成的微波介质陶瓷的相都是以三维形式分布的,所以由三维模型计 算出的介电常数 ε m 比用二维计算的结果要精确；对于频率，介电常数随它的变化不明显；由于温度的变 化灰引起结构以及组成物质的相的变化，只讨论了BaTiO3一类MWDC和温度的变化关系。
关键词：微波介质陶瓷；蒙特卡罗有限元法；介电常数；二相化合物
Dielectric Properties Culculated of MicroWave Dielectric Ceremoes(MWDC) ( Department of Electronics Science & Technology,Huazhong university,Wuhan 430074,China)
Abstract: As to the MicroWave Dielectric Ceremoes, the mathematics model is established,and the relations between dielectric constant and many factors is discussed,such as component,temperature and frequency.In the aspect of component, great importance is taken to using monte carlo and finite element method to culculate the macro dielectric constant of MWDC 。 The results are displayed in curves ,which use two-dimension and three-dimension models and are manifested between the results of serial model and parallel
model.Furthermore,the values which are simulated in two-dimension model are smaller than the ones in three-dimension,for the two-phase MWDC are distributed in three dimensions actually.So it’s preciser to use the three-dimemsion model.In the frequency of microwave,the dielectric constant doesn’t vary obviously.Besides, the changes of temperature can lead to the varieties of the construction and phases of materials,so we only discuss the changes with temperature of BaTiO3。 Keywords:MWDC,Monte Carlo method,finite element method,two-phased materies
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1 引言
微波介质陶瓷(MWDC)是近十余年才迅速发展起来的一类新型功能电子陶瓷。以其优异的微波介电 性能在微波电路系统中发挥着介质隔离，介质波导以及介质谐振等一系列电路功能，并正在为微波电路 的小型化，集成化，商品化做出重要贡献。应用于微波电路的介质陶瓷，除了必备的机械强度，化学稳 定性及经时稳定性外，应满足如下介电性能的要求：在微波频率下相对介质常数εr应大;在微波频率下 的介质损耗tanδ应很小，或换言之品质因数Q(1/tanδ)应很高;谐振频率温度系数τf应很小。微波介 质陶瓷的介电常数的影响因素有组分,频率,温度. 对于组分,一般情况下，对于单一相的由某一化合物构成的微波介质陶瓷，除非能够用实验仪器直 接测量其介电常数，否则很难直接从公式计算出其介电常数，而在微波介质陶瓷这一领域，也有很多是 以两相和多相存在的，对于每一相的介电常数的具体值，我们往往都能通过查找各种关于微波介质陶瓷 介电特性的资料得到，这样如何从各相的介电常数比较精确地计算出混合相的介电常数问题，我们就必 须解决了。微波介质陶瓷是一个典型的多相体系，一般说来，它既含有主晶相，又含有副相。例如：在 BaO-Sm2O3-TiO2体系中，除了有BaO•Sm2O3•TiO2主晶相外，还有一定的副相Ba2Ti9O20存在。多相体系 的介电常数取决于各相的介电常数，体积浓度，以及相与相之间的配置情况。 ， 对于多相的情况,设每相的介电常数分别为 ε1 , ε 2 ,… ε t ，浓度分别为X1,X2,…Xt（X1+X2+…+Xt =1） 现阶段可用于计算的模型有串并联和对数模型:
ε = x1ε1 + x2ε 2 + " + xt ε t
ε −1 = x1ε1−1 + x2ε 2−1 + " + xt ε t−1
ln ε = x1 ln ε1 + x2 ln ε 2 + " + xt ln ε t
(并联模型) (串联模型) (对数模型)
并联模型和串联模型实际上代表了两种极端的情况,它们分别给出了 ε m 的上限和下限,用它们计算 ε m 与 实验结果相差很大,实际中很少采用.对数模型在计算 ε m 时相对精确一些,应用比较广泛,但是这种模型并 未真正从材料介电特性的物理本质出发,它只能定性反映复合介质介电常数的大致变化趋势,不能作为精 确的定量计算公式.为了更加精确的计算微波介质陶瓷的宏观介电常数,引入蒙特卡罗有限元分析,得到了 比较精确的模型. 对于频率和温度,由于用于微波频段的微波介质陶瓷器件应该在该频段稳定工作,所以介电常数在该 频段应该为一常数.至于温度,由于其变化会引起微波介质陶瓷的结构和它的组成相发生变化,所以也较难 讨论,但是对于钙钛矿型的微波介质陶瓷我们可以通过简单的模型来讨论它的介电常数与温度的关系.
2 介电常数与组分的关系
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2.1 由二相化合物构成的 MWDC 的介电常数的计算
2.1.1 电磁学原理 用右图 1 所示的长方形方格代表一微波介质陶瓷，在 x,y 方向的边 长分别为 nx , n y (图 1)。介质区介质的（相对）介电常数不是常量，而 是坐标的函数，即 ε = ε ( x, y ) 。介质区的底面（y=0）为负电极，施加 零电位；顶面（y= n y ）为正电极，施加正电位 u0 。从而介质内部电位 分布 u = u ( x, y ) 满足： u ( x,0) = 0 ； u ( x, n y ) = u0 介质内任一点的电场强度为： E = −∇u (1)
图 1:长方形单元格及其划分
在忽略介质区外电场能量的情况下，电容器的总静电储能为：
W=
→ 1 1 ε ( x , y ) | E ( x, y ) |2 dxdy = ∫∫ ε ( x, y ) | ∇u ( x, y ) |2 dxdy （2） ∫∫ 2 S 2 S
式中积分域 S 为整个介质区域（ （2）式及（4）式省去了真空电容率 ε 0 项，对问题的实质及计算结果 并无影响） 。根据电磁场中的汤姆逊原理，在一定的边界条件和初始条件下，电磁场的分布必使该电 磁场所具有的能量达到最小，因此有
∂W / ∂u ( x, y ) = 0 ， ∀( x, y ) ∈ S （3）
根据（2）式和（3）式，并结合边界条件（1）式，设法求得介质内的电位分布 u ( x, y ) ，在代入（2） ，则其电容量和储 式可求出储能 W。对于上述平行板电容器，如果介质的宏观介电常数为 ε m （未知） 能分别为： C = ε m nx / n y （4）
1 2 （5） W = Cu0 2
由（4） ， （5）二式可得 ε m 的计算公式： ε m = 2n yW / nxu0 （6）
2
2.1.2 用 MC-FET 法建模 上述（1）~（3）式为连续形式，为了便于计算机求解，按照有限元法的 思想，利用完全二次多项式插值将介质区的连续场离散化，最终（1）~（3） 式转化为线性方程组求解。 作为实际两相复合介质中两相以微粒形式混合情况的近
图 2:单元格的填充
，并将这些单元格按照图 1） 所示 似，将长方形方格划分为 nx × n y 个单位正方形单元格（如图 1）
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的规律编号，第 I 个单元格的介电常数为 ε i 。用计算机产生两相的随机 分布，使两相体积比为 V1 : V 2 。图 2 给出了 V1 : V2 = 0.4 : 0.6 时的几种可能 分布。每个正方形单元又被进一步划分为两个等腰直角三角形作为有限 单元（如图 3） 。在每个有限单元中，取 6 个节点，电势的插值函数为
u = C1 + C2 x + C3 y + C4 x 2 + C5 xy + C6 y 2
每个单元的静电场能为 w(u ) =
(7) (8)
图 3:子单元格划分
1 ε i (∇u ) 2 ds 2∫
将所有单元的能量相加，并求最小值，到出一线性方程组。求解此方程组， 即得出在此特定两相介质空间中的静电场能，从而导出等效介电常数。 对每种初始条件（介电常数比和体积分数） ，重复计算 20 次，记录平均值 ε m 和标准差，将计
⎛ εm − ε f 算结果对公式拟合，拟合效果用残差 χ = ∑ ⎜ ⎜ ε i ⎝ m
2
⎞ ⎟ ⎟ 评估，其中 ε f 为拟合值。这样，经过逐 ⎠i
2
次超松弛迭代法和回归分析，可以得出二维的宏观介电常数计算公式：
V εm
2
−V 0
V 2 −V 0 V 2 −V 0 ， (9) = V1ε1 + V2ε 2
式中 V0 = 0.35 ， ε1
图 4: ε1 =6, ε 2 =92 二相化合物的介电常数曲线
2.1.4 结果分析
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(1)用二维蒙特卡罗有限元法得出的曲线位于串并联之间,比较准确的得出了二相分布时的宏观介电 常数的值. (2)和常用的对数模型相比,用蒙特卡罗有限元方法模拟是由物理理论相对严格推导的,有比较强的物 理意义,也较为精确. (3)用二维蒙特卡罗有限元法模拟得出的曲线中间有一极点,此时介电常数为无穷大,这与实际不符,模 型需要改进. 2.1.5 模型改进 （1）模型改进 由于实际的介质分布都是三维的， 所以在蒙特卡罗二维模型的基 础上， 对 z 方向进行模拟， 如图 5 的三维的模型， 在介质区的底面 （z=0） 为负电极，施加零电位；顶面（z= nz ）为正电极，施加正电位 u0 。 从而介质内部电位分布 u = u ( x, y , z ) 满足：
u ( x, y ,0) = 0 ； u ( x, y, nz ) = u0 （10）
同二维的电磁学原理一样，则其电容量和储能分别为：
图 5:三维单元格的划分
C = ε m nx n y / nz （11）
1 2 （12） W = Cu0 2
由（11） ， （12）二式可得 ε m 的计算公式： ε m = 2nzW / nx n y u0 （13）
2
（2）模拟方法及过程 在 nx × n y × nz 的正方形格子上进行模拟计算， 用标准的蒙特卡罗抽样方法决定每个格子被 ε1 相 和 ε 2 相所占据,从而实现指定的体积分数。 为了提高计算精度，将每一单元格进一步划分为 6 个体积相等的四面体形子单元格，将它们编 号 1~6。不难看出，这 6 个单元格在空间上有明显的对称关系。每个正方形单元又被进一步划分为 两个等腰直角三角形作为有限单元。在每个有限单元中，取 6 个节点，电势的插值函数为
u = C1 + C2 x + C3 y + C4 x 2 + C5 xy + C6 y 2
每个单元的静电场能为 w(u ) =
(14)
1 ε i (∇u ) 2 ds ∫ 2
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图 6: 一种可能的二相分布(V2=0.4)
图 7:三维子单元格的划分和结点编号规则
将所有单元的能量相加，并求最小值，到出一线性方程组。求解此方程组，即得出在此特定两相介质 空间中的静电场能，从而导出等效介电常数。对每种初始条件（介电常数比和体积分数） ，重复计算
⎛ εm − ε f 20 次，记录平均值 ε m 和标准差，将计算结果对公式拟合，拟合效果用残差 χ = ∑ ⎜ ⎜ ε i ⎝ m
2
⎞ ⎟ ⎟ 评估， ⎠i
2
其中 ε f 为拟合值。这样，经过逐次超松弛迭代法和回归分析，可以得出三维的宏观介电常数计算公 式：
α α α ， (16) εm = V1ε1 + V2ε 2
0
式中 α = (V1 + 20V1V2 + 5V2 ) / 11 ， V1 + V2 = 1 , ε1
2 2
（3）程序模拟 我们用matlab和labview两种工具对由二相化合物构成的MWDC的介电常数的进行了模拟，再次 选取由 ε1 =6 (BeO), ε 2 =92(BaO•Sm2O3•TiO2)构成的微波介质陶瓷进行模拟.模拟结果如下：
图 8: ε1 =6, ε 2 =92 二相化合物的介电常数曲线 电子 0102B3 组 7
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(4) 实验验证 由参考资料 7 可得数据: 下表（1） ：. 表 1:模型计算值与实际值的比较
ε1 = 1.25 , ε 2 = 28.5 的体积分数下实际值,与各模型算的值相比的结果见
ε
0.2 V2 0.4 0.6
串联 6.7 12.15 17.6
并联 1.55 2.02 2.93
对数 1.83 2.69 3.95
二维 2.79 7.05 14.30
三维 3.33 8.22 14.40
实际 3.13 7.75 14.98
(5) 结论 通过利用蒙特卡罗有限元法模拟两相复合介质内的电场分布并计算其宏观介电常数，得出如下 结论：两相复合介质内的电场分布不均匀，低介相中的电场强度高于高介相。三维模拟比二维模型 更能精确反映实际复合介质中的电场分布情况，因而计算宏观介电常数更接近实验值。
3 介电常数与频率的关系
复介质常数 ε (ω ) 可用下式表示:
( ze) 2 / mV ε 0 ε (ω ) = 2 = ε ' (ω ) − jε '' (ω ) 2 ωT − ω − jγω
换算得到:
(1)
ε ' (ω ) =
( ze) 2 / mV ε 0 2 (ωT − ω 2 ) (2) 2 2 2 2 2 (ωT − ω ) + γ ω
'
由于在微波范围内,离子晶体的 ε (ω ) 不会因为频率而变化,即在微波下保持恒定,故在微波范围内,微波介 电陶瓷的宏观介电常数 ε r 在频率变化时基本保持不变,在直角坐标系上的图像近似为直线.
4 介电常数与温度的关系
1) 模型建立 微波介电陶瓷介质特性的温度稳定性很重要,其宏观介电常数 ε r 的温度特性一般可以用介质常数的
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温度系数 τ ε 表示为:
τε =
1 dε r ε r dT
(3)
微波介质陶瓷的 τ ε 要与陶瓷本身的热膨胀系数 α 相互匹配补偿,才能保质介质器件的谐振频率
f 0 的高度稳定性. f 0 的温度系数 τ f (=
1 df 0 ) 在一定的条件下与 τ ε 和 α 有如下的关系: f 0 dT 1 2
τ f = −(α + τ ε ) , (4)
一般要求介质谐振器件的 τ f = 0 .而陶瓷的线热膨胀系数 α 为正,其值在 α =(6~9)*10-6/oC左右. 当温度 T > T0 时,由居里定律可以得到: ε r =
C ; (5) T −θ0
当温度 T
1 dε r 1 ⎞ ⎛ ,τ f = − ⎜ α + τ ε ⎟ ,τ f = 0 可以得到: ε r dT 2 ⎠ ⎝
ε r = exp(−2α T + C ) . (6)
2) 程序模拟 查找资料可得, α = (6 ~ 9) × 10 / C, C = 1.7 × 105 K,并用图 10 的相关数据,可以运用MATLAB模拟得
−6
o
到图 9：.
3)
结论 与实际的钙钛矿型的图 10 比较, 可知,我们对于钙钛矿型 MWDC 的温度模型时比较合适,对于钙钛 矿一类的微波介质陶瓷存在一个介电常数的突变点(居里点),在居里点以下,介电常数随温度呈指数增 长;在居里点以上,介电常数随温度呈反比下降.
图 9: 介电常数温度曲线
图 10:BaTiO3 介电常数与温度关系
5 总论
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微波介质陶瓷的介电常数的精确计算模型是能够反映起内部电场分布的 MC-FET 模型,而其他模型 都存在较大的误差.在微波频带内,频率对介电常数的影响不大,微波介质陶瓷的介电常数几乎为一常数. 对于钙钛矿一类的微波介质陶瓷存在一个介电常数的突变点(居里点),在居里点以下,介电常数随温度呈 指数增长;在居里点以上,介电常数随温度呈反比下降.
参考文献
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