高考数学选择题专题
一、数形结合
例. 设定义在实数集上的函数f (x ) 恒满足f (1+x ) =f (1-x ) ，且当x ≥1时，
x
）。 f (x ) =3-，则有（1
1
32
C、f ()
3
A 、f ()
321()
() D．f 2233()
练习1. 若P （2，-1）为圆(x -1) 2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）
A 、x -y -3=0 B、2x +y -3=0 C、x +y -1=0 D、2x -y -5=0
⎧x -y +2≤0
y ⎪
练习2. 已知变量x 、y 满足约束条件⎨x ≥1，则的取值范围是（ ）
x ⎪x +y -7≤0
⎩
A 、⎢,6⎥ B 、 -∞, ⎥ [6, +∞) C 、(-∞,3] [6, +∞) D 、[3,6]
55
⎡9
⎣⎤⎦⎛⎝
9⎤⎦
k 的取值练习3.
曲线y =1+x ∈[-2,2]) 与直线y =k (x -2) +4有两个公共点时，
范围是（ ）
A 、(0,
5115⎛53⎤
) B、(, ) C、(, +∞) D、 , ⎥ 124312⎝124⎦
练习4. 函数y =|x |(1-x ) 在区间A 上是增函数，则区间A 是（ ）
A 、(-∞, 0] B、⎢0, ⎥ C、[0, +∞) D、 , +∞⎪
22练习5. 曲线
⎡1⎤⎣⎦⎛1
⎝⎫⎭
|x ||y |
-=1与直线y =2x +m 有两个交点，则m 的取值范围是（ ） 23
x -a '
，集合M ={x |f (x ) 0}，若M ⊆P ，x -1
A 、m >4或m 3或m
则实数a 的取值范围是（ ）
A 、(-∞,1) B、(0,1) C、(1,+∞) D、[1,+∞)
练习7. 若圆x +y -4x -4y -10=0上至少有三个不同的点到直线l :ax +by =0的距离
2
2
为l 的倾斜角θ的取值范围是（ ） A 、⎢
⎡ππ⎤⎡π5π⎤⎡ππ⎤⎡π⎤
, ⎥ B、⎢, ⎥ C、⎢, ⎥ D、⎢0, ⎥ ⎣124⎦⎣1212⎦⎣63⎦⎣2⎦
练习8. 若非零向量a ，b 满足|a-b |=| b |，则（ ）
A 、|2b | ＞ | a-2b | B、|2b | ＜ | a-2b | C、|2a | ＞ | 2a-b | D、|2a | ＜ | 2a-b | 练习9. 方程cosx=lgx的实根的个数是（ ）
A 、1 B、2 C、3 D、4
练习10. 若A 、B 、C 为三个集合，A B =B C ，则一定有（ ）
A 、A ⊆C B、C ⊆A C、A ≠C D、A =Φ
练习11. 在R 上定义的函数f (x ) 是偶函数，且f (x ) =f (2-x ) 。若f (x ) 在区间[1，2]上是减函数，则f (x ) （ ）
A 、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B 、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C 、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D 、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数 练习12. 方程x =()
3
1
2
x -2
的解x 0的取值区间是（ ）
A 、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）
二、特值检验
例. 在各项均正的等比数列{a n }中，若a 5a 6=9，则l o g
31
a l o +g
32
a + l o g +
310
a =（ ）
A 、12 B、10 C、8 D、2+log 35 练习1. 若0
A 、sin x
π
2
，则下列命题中正确的是（ ）
2
π
x B、sin x >
4
7
10
2
π
x C、sin x
3n +10
3
π
x D、sin x >
3
π
x
练习2. 设f (n ) =2+2+2+2+ +2
A 、
(n ∈N ) ，则f (n ) =（ ）
2n 222
(8-1) B、(8n +1-1) C、(8n +3-1) D、(8n +4-1) 7777
练习3. 设三个平面向量a 1+a 2+a 3=0，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足| bi |=2| ai |，且
a i 顺时针旋转30以后与b i 同向，其中i=1、2、3则（ ）
A 、-b 1+b2+b3=0 B 、b 1-b 2+b3=0 C 、b 1+b2-b 3=0 D 、b 1+b2+b3=0 练习4. 若f (x ) =a x (a >0, a ≠1) ，f
A
、 B
、 C、 D、练习5. 若函数y =f (x +1) 是偶函数，则y =f (2x ) 的对称轴是（ ）
A 、x =0 B、x =1 C、x =
n-1
-1
(2)
1
D、x =2 2
1
2
n
n
n
n
练习6. 已知数列{an }的通项公式为a n =2，
其前n 和为S n ，
那么C n S 1+ C n S 2+„+ C n S n =（ ）
A 、2-3 B、3 -2 C、5 -2 D、3 -4
练习7. 直线y =2k 与曲线9k x +y =18k x （k ∈R , k ≠1）的公共点的个数是（ ）
A 、1 B、2 C、3 D、4 练习8. 如图，若D 、E 、F 分别是
三棱锥S-ABC 的侧棱SA 、SB 、SC 上的点， 且SD ：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平 面DEF 截三棱锥S-ABC 所得的上下两部分 的体积之比为（ ）
A 、4：31 B、6：23 C、4：23 D、2：25
22
2
2
n
n
n
n
n
练习9. △ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH =m (OA +OB +OC ) ，
则m 的取值是（ ）
A 、-1 B、1 C、-2 D、2
x 2y 2
练习10. 双曲线方程为+=1，则k 的取值范围是（ ）
k -25-k
A 、k >5 B、25
三、筛选判断
例. 设集合A 和B 都属于正整数集，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素，则在映射f 下，像20的原像是（ ）
A 、2 B、3 C、4 D、5
练习1. 将函数y =sin ωx (ω>0) 的图象按向量a=(-平移以后的图象所对应的函数解析式是（ ）
A 、y =sin(x +
π
6
,0) 平移以后的图象如图所示，则
π
) B、y =sin(x -
) 66π
C 、y =sin(2x +
π
) D、y =sin(2x -)
33
π
练习2. 如图，单位圆中 AB 的长度为x ，f (x ) 表示 AB 与弦 AB 所围成的弓形的面积的2倍，则函数y =f (x ) 的图象是（
）
练习3. 若椭圆的中心点为E （-1，0），它的一个焦点为F （-3，0），相应于焦点的准线方程是x =-
7
，则这个椭圆的方程是（ ） 2
2(x -1) 22y 22(x +1) 22y 2(x -1) 2(x +1) 22
+=1 B+=1 C+y =1 D+y 2=1 A 21321355
练习4. 不等式x +
2
>2的解集是（ ） x +1
A 、(-1,0) (1,+∞) B、(-∞, -1) (0,1) C、(-1,0) (0,1) D、(-∞, -1) (1,+∞) 练习5. 某地一年内的气温Q （t ）（℃）与时间t （月份）之间的 关系如右图，已知该年的平均气温为10℃。令C （t ）表示时间 段[0，t]的平均气温，C （t ）与t 之间的函数关系如下图，则 正确的应该是（ ）
A 、 B、 C、 D、
练习6. 集合M ={(2n +1) π|n ∈Z }与集合N ={(4k ±1) π|k ∈Z }之间的关系是（ ）
A 、M ⊂N B、M ⊃N C、M =N D、M ≠N
练习7. 当x ∈[-
4,0]时，a +≤
4
x +1恒成立，则a 的一个可能的值是（ ） 3
A 、5 B、
55
C、- D、-5 33
练习8. Q 是y 2=4x 上任意一点，点P （a ，0）都满足PQ ≥a ，则a 的取值范围是（ ）
A 、(-∞,0) B、(-∞, 2] C、[0,2] D、(0,2) 练习9. 函数f (x ) =cos x -2cos
2
2
x
的一个单调增区间是（ ） 2
A 、
⎛π2π, 33⎝⎛ππ⎫⎫⎛π⎫⎛ππ⎫
B、 C、 D、, 0, ⎪ ⎪ ⎪ -, ⎪
623⎝⎭⎭⎝⎭⎝66⎭
四、等价转化
例. 一给定函数
y =f (x ) 的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0,1)，由关系式
a n +1=f (a n ) 得到的数列满足a n +1>a n (n ∈N +) ，则该函数的图象是（ ）
A 、 B、 C、 D、
33
练习
1. 设t =sin α+cos α，且sin α+ cosα
A 、
[-2，0） B、[-2, 2] C、（-1，0）（-3，0） (, +∞) (1, 2 ] D、
x 22
练习2. F 1, F 2是椭圆+y =1的左、右焦点，点P 在椭圆上，则PF 1 PF 2的最大值是（ ）
4
A 、4 B、5 C、1 D、2 练习3. 若log a 2
A、0b >1 D、b >a >1 练习4. a , b , c , d ∈R , 且d >c ，a +b =c +d , a +d
A 、d >b >a >c B、b >c >d >a C、b >d >c >a D、b >d >a >c 练习5. 已知ω>0, 若函数f (x ) =sin 范围是（ ）
A 、 0, ⎥ B、 0, ⎥ C、(0,2] D、[2, +∞)
32
ωx
2
sin
π+ωx
2
在⎢-
⎡ππ⎤
⎥上单调递增，则ω的取值⎣43⎦
⎛⎝
2⎤⎦⎛⎝
3⎤⎦
练习6. 把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（ ）
332
A 、C 6 B、C 6 C、C 9 D、
12
C 9 2
练习7. 方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的正整数解的组数是（ ）
A 、24 B、 72 C、144 D、165
练习8. 从1，2，3，„，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取法数是（ ）
A 、35 B、56 C、84 D、120
ax 2+bx +1
=3，则b = （ ） 练习9. 已知lim
x →1x -1
A 、4 B、-5 C、-4 D、5
练习10. 异面直线m , n 所成的角为60，过空间一点O 的直线l 与m , n 所成的角等于60，则这样的直线有（ ）条
A 、1 B、2 C、3 D、4
2
练习11. 不等式a x +
b +x
0>c 的解集为{x -1
a (x 2+1) +b (x -1) +c >2ax 的解集为（ ）
A 、x 03 C、x -21
{}
{}{}{}
五、巧用定义
例. 某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增长7%，那么经过x 季度增长到原来的y 倍，则函数y =f (x ) 的图象大致是（ ）
、练习1. 已知对于任意x , y ∈R ，都有f (x ) +f (y ) =2f (则f (x ) 是（ ）
A 、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数 D、非奇且非偶函数 练习2. 点M 为圆P 内不同于圆心的定点，过点M 作圆Q 与圆P 相切，则圆心Q 的轨迹是（ ）
A 、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段
x +y x -y
) f () ，且f (0) ≠0，22
x 2y 2
+=1内有一点P 练习3. 若椭圆（1，-1），F 为右焦点，椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|43
最小，则点M 为（ ）
A
、331) B、(1,±) C、(1,-) D
、(1) 22x 2y 2
练习4. 设F 1, F 2是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一
a b
2PF 2
点，若的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
PF 1
A 、[2，3] B、（1，3] C、[3, +∞) D、(1,2]
练习5. 已知P 为抛物线y 2=4x 上任一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点A （4，5），|PA|+d的最小值是（ ）
A 、4 B
1 D
1 练习6. 函数y =f (x ) 的反函数f
-1
(x ) =
1-2x
，则y =f (x ) 的图象（ ）。 x +3
A、关于点(2, 3)对称 B、关于点(-2, -3)对称 C、关于直线y=3对称 D、关于直线x = -2对称
练习7. 已知函数y =f (x ) 是R 上的增函数，那么a +b >0f (a ) +f (b ) >f (-a ) +f (-b ) 的（ ）条件。
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、不充分不必要
练习8. 点P 是以F 1, F 2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（ ）
A 、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
222
练习9. 在平面直角坐标系中，若方程m （x +y+2y+1）=（x-2y+3）表示的是双曲线，则ｍ的取值范围是（ ）
A 、（0，1） B、（ 1，+∞） C、（0，5） D、（5，+∞）
六. 估值判断
例. 已知x 1是方程x +lg x =3的根，x 2是方程x +10x =3的根，则x 1+x 2=（ ） A 、6 B、3 C、2 D、1
练习1. 用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A 、24个 B、30个 C、40个 D、60个
练习2. 农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成，2003年某地农民人均收入为3150元，其中工资性收入为1800元，其它收入1350元。预计该地区农民自2004年起工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）元 A 、（4200，4400） B、（4400，4600）C 、（4600，4800）D 、（4800，5000）
练习3. 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）
A 、
16864π B、π C、4π D、π
399
3
，EF 与平面ABCD 2
练习4. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是 边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =
的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A 、
915 B、5 C、6 D、 22
练习5. 在直角坐标平面上，已知A （-1，0）、B （3，0），点C 在直线y =2x -2上，若∠ACB ＞90 ，则点C 的纵坐标的取值范围是（ ） A
、(-∞ +∞) B
、(1C
、( D
、(
练习6. 已知三棱锥P-ABC 的侧面与底面所成二面角都是60，底面三角形三边长分别是7、8、9，则此三棱锥的侧面面积为（ ）
A
、
、
、
、
练习7. 设F 为抛物线y =4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上的三点，若FA +FB +FC =0，
2
则FA +FB +FC 等于（ ）
A 、9 B、6 C、4 D、3 练习8. 如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i =1,2,3,
j =1,2,3) ，
从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
34113 B、 C、 D、 771414练习9. 连续投掷两次骰子的点数为m , n ，记向量b =（m ，n ）
A 、
π⎤与向量a =（1，-1）的夹角为θ，则θ∈⎛ 0, ⎥的概率是（ ）
⎝2⎦
A 、
练习10. 若a =
5175 B、 C、 D、 122126
ln 2ln 3ln 5
, b =, c =，则（ ） 235
A 、a
答案部分
一. 数形结合
例. 当x ≥1时，f (x ) =3x -1，f (x ) 的 图象关于直线x =1对称，则图象如图所示。 这个图象是个示意图，事实上，就算画出
f (x ) =|x -1|的图象代替它也可以。由图知，符合要求的选项是B ，
练习1. （提示：画出圆和过点P 的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A ） 练习2 . （提示：把
y
看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A 。） x
y =1+x ∈[-2, 2]) 的图象为
练习3.
（提示：事实上不难看出，曲线方程
x 2+(y -1) 2=4(-2≤x ≤2,1≤y ≤3) ，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。
直线y =k (x -2) +4过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D ）] 练习4. （提示：作出该函数的图象如右，知应该选B ）
练习5. （提示：作出曲线的图象如右，因为直线y =2x +m 与其有两个交点，则m >4或
m
练习6. （提示：数形结合，先画出f (x ) 的图象。f (
x ) =当a
'
由图象知，当a 1时函数f (x ) 在(1,+∞) 上递增，f (x ) >0，同时f (x )
x -
a x -1+1-a 1-a
==1+。x -1x -1x -1
(1,+∞) 的真子集，选C ）
练习7. （提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为
(x -2) 2+(y -2) 2=2，由题意知，圆心到直线
的距离d
应该满足0≤d ≤，在已知圆中画一个半
l :ax +by =0与小圆有公共点，∴选B 。）
练习8. （提示：关键是要画出向量a ，b
先把条件进行等价转换。|a-b |=| b |⇔|a-b |=
2222
| b |⇔ a+b-2a ·b= b⇔ a·
（a-2b ）=0⇔ a ⊥（a-2b ），又a-（a-2b ）=2b ，所以|a |，| a-2b |
， |2b |为边长构成直角三角形，|2b |为斜边，如上图， ∴|2b | ＞ | a-2
b |，选A 。
另外也可以这样解：先构造等腰△OAB ，使OB=AB， 再构造Rt △OAC ，如下图，因为OC ＞AC ，所以选A 。）
练习9. （提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx 与lgx 的图象，如图，
2
练习10. 成立，排除C 练习11. （提示：数形结合法，f (x ) 是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B ）
练习12. （提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数y =x , y =() 立刻知选B ，如上右图）
3
2
x -2
的图象，则
二、特值代验
例. 思路一（小题大做）：由条件有9=a 5a 6=a 1q a 1q =a 1q , 从而
10a 1⋅a 2⋅a 3⋅ ⋅a 10=a 1⋅q 1+2+ +9=(a 12q 9) 5=310，
4
5
29
所以原式=log 3(a 1a 2 a 10) =log 33=10，选B 。
思路二（小题小做）：由9=a 5a 6=a 4a 7=a 3a 8=a 2a 9=a 1a 10知原式
10
=log 3(a 5a 6) 5=log 3310=3，选B 。
思路三（小题巧做）：故取一个满足条件的特殊数列a 5=a 6=3, q =1即可，选B 。 练习1. （提示：取x =ππ, 验证即可，选B ） 63
练习2. （提示：思路一：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前n +4项的和， 2(1-8n +4) 2n +4=(8-1) ，选D 。这属于直接法。 所以f (n ) =1-87
思路2：令n =0，则f (0)=2+24+27+210=342⎡1-(2) ⎤1-22） =(84-1) ，只有D 成立。7
练习3. （提示：因为a 1+a2+a3=0，所以a 1、a 2、a 3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则b i 实际上是将三角形顺时针旋转30后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D 。） 练习4. （提示：抓住特殊点2，f -1(2)
练习5. （提示：因为若函数y =f (x +1) 是偶函数，作一个特殊函数y =(x -1) 2，则 y =f (2x ) 变为y =(2x -1) 2，即知y =f (2x ) 的对称轴是x =
n-11，选C ） 21练习6. （提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式a n =2求得和的公式S n ，再代入式子C n S 1+
2n C n S 2+„+ Cn S n ，再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令n=2，代入式子，再对照选项，选B ）
y 2
=1，这是两个椭圆，与直线y =2有4练习7. （提示：取k =1，原方程变为(x -1) +92
个公共点，选D ）
练习8. （提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC 是棱长为3的正三棱锥，K 是FC 的中点，V 1, V 2V 1, V 2分别表示上下两部分的体积 则V S -DEF S S -DEF 2h 2228V 8-44==() ⋅==，∴1=，选C ） V S -ABC S S -ABC 3h 3327V 227-8+423
练习9. （提示：特殊化处理，不妨设△ABC 为直角三角形，则圆心O 在斜边中点处，此时有 OH =OA +OB +OC ，m =1，选B 。）
练习10. （提示：在选项中选一些特殊值例如k =6,0代入验证即可，选D ）
三、筛选判断
例. 经逐一验证，在2、3、4、5中，只有4符合方程2+n =20，选C 。
练习1. （提示：若选A 或B ，则周期为2π，与图象所示周期不符；若选D ，则与 “按向量a=(-n π
6,0) 平移” 不符，选C 。此题属于容易题）
练习2. （提示：解法1 设∠AOB =θ，则x =θ，
则S 弓形=S扇形- S△AOB =11θθx ⨯1-2⨯sin cos 2222
=11(x -sin θ) =(x -sin x ) ，当x ∈(0,π) 时， 22
sin x >0，则x -sin x x ，其图象位于y =x 上方。所以只有选D 。这种方法属于小题大作。
解法2 结合直觉法逐一验证。显然，面积f (x ) 不是弧长x 的一次函数，排除A ；当x 从很小的值逐渐增大时，f (x ) 的增长不会太快，排除B ；只要x >π则必然有面积f (x ) >π，排除C ，选D 。事实上，直觉好的学生完全可以直接选D ）
练习3. （提示：椭圆中心为（-1，0），排除A 、C ，椭圆相当于向左平移了1个单位长度，
a 27-1=-，∴a 2=5，选D ） 故c=2，-c 2
练习4. （提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取x =2，代入原不等式，成立，排除B 、C ；取x =-2，排除D ，选A ）
练习5. （提示：由图可以发现，t=6时，C （t ）=0，排除C ；t=12时，C （t ）=10，排除D ；t ＞6时的某一段气温超过10℃，排除B ，选A 。）
练习6. （提示：C 、D 是矛盾对立关系，必有一真，所以A 、B 均假； 2n +1表示全体奇数，4k ±1也表示奇数，故M ⊇N 且B 假，只有C 真，选C 。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。
当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后观察两个集合的关系就知道答案了。）
练习7. （提示：若选项A 正确，则B 、C 、D 也正确；若选项B 正确，则C 、D 也正确；若选项C 正确，则D 也正确。选D ）
练习8. （提示：用逻辑排除法。画出草图，知a ＜0符合条件，则排除C 、D ；又取a =1，则P 是焦点，记点Q 到准线的距离为d ，则由抛物线定义知道，此时a ＜d ＜|PQ|,即表明a =1符合条件，排除A ，选B 。另外，很多资料上解此题是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较——
22y 0y 02-a ) 2≥a 2，整理得设点Q 的坐标为(, y 0) ，由P ≥，得y 0+(44
22y 0(y 0+16-8a ) ≥0，
22y 0y 0∵ y ≥0，∴y +16-恒成立，而2+的最小值是2，∴a ≤2，8a ≥0，即a ≤2+882
020
选B ）
练习9. （提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，选A 。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端点值其实是可以取到的，由f (-) =f () ，显然直接排除D ，在A 、B 、C 中只要计算两个即可，因为B 中代66
πππ2π) ，符合，选A ） 入会出现，所以最好只算A 、C 、现在就验算A ，有f ()
四、等价转化
例. 问题等价于对函数y =f (x ) 图象上任一点(x , y ) 都满足y x ，只能选A 。
练习1. （提示：因为sin α+ cosα=（sin α+ cosα）（sin α- sinαcos α+ cosα），
2233而sin α- sinαcos α+ cosα＞0恒成立，故sin α+ cosα
t =
sin α+cos α≤B 、C 、D ，选A ）
练习2. （提示：设动点P 的坐标是(2cos α,sin α) ，由F 1, F
2是椭圆的左、右焦点得F 1(
，F 2，则
PF 1⋅PF 2=|(2cosαα) (2cosαα) |=|4cos 2α-3+sin 2α|
=|3cos 2α-2|≤2，选D 。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——
|PF |+|PF |12PF 1⋅PF 2≤=a 2=4） 2
练习3. （提示：利用换底公式等价转化。
log a 2练习4. （提示：此题条件较多，又以符号语言出现，
令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”，
如图 ，用线段代表a , b , c , d , 立马知道选C 。当然
这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”， 分别用数字1，4，2，3代表a , b , c , d , 容易知道选C 。也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“a , b , c , d ∈R ”收严一些变为“a , b , c , d ∈R ”。
练习5. （提示： 化简得f (x ) =+1⎡ππ⎤sin ωx ，∵sin x 在⎢-, ⎥上递增， 222⎣⎦
∴-π
2≤ωx ≤π
2⇒-ππ⎡ππ⎤≤x ≤，而f (x ) 在⎢-, ⎥上单调递增 2ω2ω⎣43⎦
3⎡ππ⎤⎡ππ⎤，又ω>0, ∴选B ） ⇔⎢-, ⎥⊇⎢-, ⇒0≤ω≤⎥432ω2ω2⎣⎦⎣⎦
练习6. （提示：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下的7
2个球只要用隔板法分成3 堆即可，有C 6种，选B ；如果你认为难以想到在三个盒子中分别
放入只0，1，2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入只1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。）
练习7. （提示：问题等价于把12个相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球11空中插
3入3块隔板即可，答案为C 11=165，选D ）
练习8. （提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7个数的8
3个空中，那么问题转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为C 8=56，选B ）
练习9. （提示：逆向思维，分母（x -1）一定是存在于分子的一个因式，那么一定有
1a ax 2+bx +1=(x -1)(ax -1) =ax 2-(1+a ) x +1，∴必然有b =-(+) 且，ax 2+bx +1lim =lim(ax -1) ，∴a ⨯1-1=3⇒a =4, ∴b =-5，选B ） x →1x →1x -1
练习10. （提示：把异面直线m , n 平移到过点O
的位置，记他们所确定的平面为α，则问题等价于
过点O 有多少条直线与m , n 所成的角等于60，
如图，恰有3条，选C ）
2 2练习11. （提示：把不等式a (x +1) +b (x -1) +c 2ax 化为a (x -1) +b (x -1) +c 0，
其结构与原不等式ax 2+bx +c 0相同，则只须令-1
五、巧用定义
例. 由题设知，y =(1+0.07) x ，∵1+0.07>1，∴这是一个递增的指数函数，其中x >0，所以选D 。
练习1. （提示：令y =0，则由f (0) ≠0得f (0) =1；又令y =-x ，代入条件式可得f (-x ) =f (x ) ，因此f (x ) 是偶函数，选B ）
练习2. （提示：设⊙P 的半径为R ，P 、M 为两定点，那
么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数，∴由椭圆定义知圆
心Q 的轨迹是椭圆，选B ）
练习3.
（提示：在椭圆中，a =2, b =，则c =1, e =c 1=，设点M 到右准线的距离为a 2
|MN|，则由椭圆的第二定义知，|MF |1=⇒|MN |=2|MF |，从而|MN |2
|MP |+2|MF |=|MP |+|MN |，这样，过点P 作右准线的垂直射线与椭圆的交点即为所求
1) ，故选A ） 2PF 2(2a +PF 1) 24a 24a 2
==+PF 1+4a ≥8a ，当且仅当练习4. （提示：=PF 1，PF 1PF 1PF 1PF 1M 点，知易
M 6a ≥2c ，∴1
选B ）
练习5. （提示：d 比P 到准线的距离（即|PF|）少
1，∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而A 点在抛物线外，
∴|PA|+d的最小值为
1，选D ）
练习6. （提示：注意到f -1(x ) =1-2x 的图象是双曲线，其对称中心的横坐标是-3，由反x +3
函数的定义，知y =f (x ) 图象的对称中心的纵坐标是-3，∴只能选B ）
练习7. （提示：由条件以及函数单调性的定义，有
⎧a >-b ⇔f (a ) >f (-b ) a +b >0⇔⎨⇒f (a ) +f (b ) >f (-a ) +f (-b ) ，而这个过b >-a ⇔f (a ) >f (-b ) ⎩
程并不可逆，因此选A ）
练习8. （提示：如图，易知PQ =PF 2，M 是F 2Q 的中点，
∴OM 是FQ 的中位线，∴MO =1111FQ =(F P +PQ ) =(F 1P +F 2P ) ，由椭圆的定11222
义知，F 1P +F 2P =定值，∴MO =定值（椭圆的长半轴长a ）
练习9. （提示：方程m （x +y+2y+1）=（x-2y+3）可 222
(x -2y +3) 2
=变形为m =22x +y +2y +
1 =这表示双曲线上一点(x , y ) 到定点（0，-1）与定直线x -2y +3=0的距离之比为常数e =e >1，得到0
六. 估值判断
例. 我们首先可以用图象法来解：如图，在同一
坐标系中作出四个函数，y =10x ，y =lg x ，y =3-x ，
y =x 的图象，设y =3-x 与y =lg x 的图象交于点A ，其
横坐标为x 1；y =10x 与y =3-x 的图象交于点C ，其横坐标
3。因为y =10x 与y =lg x 为反函2
3数，点A 与点B 关于直线y =x 对称，所以x 1+x 2=2×=3，选B 。 2为x 2；y =3-x 与y =x 的图象交于点B ，其横坐标为
此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为x 1是方程x +lg x =3的根，所以2
1练习1. （ 提示：如果用直接法可以分两步：先排个位，在两个偶数中任取一个有C 2种方
2法；第二步在剩下的4个数字中任取两个排在十位与百位有A 4种，由乘法原理，共有
312=60个三位数，其中偶数不到一半，C 2A 4=24个，选B 。用估计法：五个数字可以组成A 5
选B 。）
练习2. （提示：由条件知该地区农民工资性收入自2004年起构成以a 1=1800, q =1+6%的等比数列，所以2008年工资性收入为a 6=1800(1+0.06) ≈1800⨯(1+5⨯0.06) =23405
元；其它收入构成以1350为首项，公差为160的等差数列，所以所以2008年其它收入为1350+160×5=2150元，所以2008年该地区农民人均收入约为2340+2150=4490元，选B 。） 练习3. （提示：用估计法，设球半径R ，△ABC 外接圆半径为
r =
则S 球=4πR ≥4πr =22， 16π>5π，选D ） 3
练习4. （提示：该多面体的体积比较难求，可连接BE 、CF ，问题转化为四棱锥E-ABCD 与三棱锥E-BCF 的体积之和，而V E -ABCD =6，所以只能选D ）
练习5. （提示：如图，M 、N 在直线y =2x -2上，
且∠AMB=∠ANB=90 ，要使∠ACB ＞90 ，点C 应该
在M 、N 之间，故点C 的纵坐标应该属于某一开区间，
而点C 的纵坐标是可以为负值的，选D ）
练习6. （提示：你可以先求出
ABC 的面积为
为你也可以先求出
ABC 的面积为之后求出P 在底面的射影到个侧面的距离，都是三棱锥P-ABC 的高的一半，再利用等体积法求得结果，但好象都不如用估值法：假设底面三角形三边长都是8
28=
再利用射影面积公式求出侧面面积为
，四个选项中只有B ） 练习7. （提示：很明显（直觉）三点A 、B 、C 在该抛物线上的图
形完全可能如右边所示（数形结合），可以估计（估值法） 到，FB +FC 稍大于MN （通径，长为4）， ∴FA +FB +FC =6，选B 。
当然也可以用定义法：由FA +FB +FC =0可知x A +x B +x C =3，由抛物线定义有
FA =x A +1, FB =x B +1, FC =x C +1，所以FA +FB +FC =6）
练习8. （提示：用估值法，至少有两个数位于同行或同列的反面是三个数既不同行也不同
3列，这种情况仅有6种，在总共C 9种取法数中所占比例很小，∴选D ）
练习9. （提示：用估值法，画个草图，立刻发现在
∠AOB 范围内（含在OB 上）的向量b 的个数
超过一半些许，选C ，完全没有必要计算）
练习10. （提示：注意到ln 2ln 4=，可知不能够用单调性法去判断。问题等价于24
a =lg 2lg 3lg 5, b =, c =的时候比较a 、b 、c 的大小，∵lg2=0.3010，lg3=0.4771，235
lg5=0.6990，∴ a=0.1505，b=0.1590， c=0.1398，选B 。当然，直接用作差比较法也是可以的。）