相干背散射的测量1
范书振，张行愚*，王青圃，张琛，丛振华，张晓磊，秦增光，张真
山东大学信息科学与工程学院，济南（250100）
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摘 要：相干背散射是研究弱光子局域化的重要手段，但是由于其信号非常微弱，测量艰难，常见的测量方法实验装置结构复杂且测量耗时。通过研究相干背散射的特征，给出了一种相对简易的相干背散射的实验方法，采用面阵CCD 作为探测设备，得到待测量样品的相干背散射图样。对取得的数据进行积分处理以提高信噪比，从而提高测量的精确度，然后利用公式对积分后的数据进行曲线拟合的办法得到了样品的光子平均自由程。基于相干背散射角分布的公式，固定参数，计算机生成了数值模拟的数据，并生成均匀分布的随机数作为噪声与信号叠加，经处理最后得到的参数同初始设置值符合较好，验证了理论的正确性和结果的唯一性。最后通过建立实际光路，记录了样品的相干背散射图像，处理后得到了测试实例。 关键词：相干背散射，相干后向散射，光子局域化，随机介质，CCD 中图分类号：O648.12+4，O436，O469
1. 引言
安德森局域化是从电子学领域的研究中提出的重要现象[1]，提出者安德森因其卓越的贡献而被授予诺贝尔奖。其主要特征是因介质性质的随机化分布而导致波的传播受阻。光子局域化是安德森局域化在光学领域中的类比，是当前研究的热点[2-17]。光在均匀无吸收介质中传播时，其透过率是介质厚度的反函数，呈线性衰减，类似于电子学的欧姆定律，但当介质内的折射率分布随机化到一定程度时，透过率将呈指数衰减，即为光子弱局域化的状态。相干背散射被认为是一种弱光子局域化现象，是一种自相干效应，其直观表现为对随机样品照射后，其散射光的强度在背散射方向的强度干涉相长，光强成锥形分布[3-5]。相干背散射具有非常重要的研究意义，是研究光子扩散领域中的光子传输平均自由程的重要手段，是研究光子局域化的重要方法之一[6-7]。
相干背散射的光能量非常弱，难以测量。现有的实验装置复杂或测量耗时[8-13], 国内仅有少量研究报道[14-16]。本文提供了一种使用面阵CCD 测量相干背散射的方法，相对快捷地获得平均自由程的数值。利用记录信息的二维特性，对数据进行一维积分，克服了实验结果噪声大的弊端，成功得到样品的平均自由程信息。
2. 测量方法
由于CCD 能够精确记录二维空间的信息，因此通过充分利用此二维信息，可以显著缩短测量的时间，降低测量的复杂度。使用CCD 测量相干背散射的实验光路图见图1所示，相干背散射的图像由CCD 记录可直接得到数据，简单快捷。但由于得到的数据有比较大的噪声，直接从中选取一维信息，如图2所示。可以看到，信号已经基本上湮没在噪声当中，无法测量相干背散射角的半高全宽，勉强进行曲线拟合也无法令人信服。已有的报道中多次测量累加或者延长CCD 积分时间的方法都有其局限性。由于CCD 记录的信息为二维信息，本文采用对其中一维进行积分的方法，利用本来丢弃的一维的信息，提高信噪比，从而得到有效的数据，还可以结合其他方法进一步提高测量精度。
基于光在随机介质中的传播理论，在扩散近似下，相干背散射的强度随角度分布方程符1
本课题得到国家自然科学基金（60478017）和教育部博士点研究基金([1**********])的资助。
- 1 -
合如下形式[14]：
I (θ) ∝1+
⎛1−exp (−2q n z 0)⎞2z 01
⎜1+⎟+, （1） 2⎜⎟l q n l 1+q n l ⎝⎠
其中，l 为传输平均自由程；q n ≈ 2πθ/λ；对于点散射体近似，z 0 ≈ 0.71l ；θ为角度，0
弧度时为背散射方向；λ为入射光在溶液中的波长。其形状如图3虚线所示。
2800
[**************]0
1800
1600
1400-0.010.000.010.020.030.040.050.060.07
Angle (Radian)
图 1 实验结构示意图
图2 取图像一维信息到的相干背散射数据
Fig.1 Experiment setup Fig.2 Measured CBS using 1-D data directly
对积分后的数据进行拟合的公式在考虑到以下因素后可以得到。首先，进行曲线拟合的数据是对相干背散射数据进行一维积分以提高信噪比。其次，积分无法去掉背景，还会累加背景的影响，用来拟合的公式中必须有对应背景的项。最后，背散射方向在CCD 上的位置虽然可以在测量系统响应的时候确定，但是不排除实验过程中可能有所变化，所以一个既方便又准确的方法就是利用拟合确定背散射方向。因此得到用来进行拟合的公式为：
I n t e n s i t y (A . U . )
2
I int (θx )=A ∫I ⎛⎜θx −θx 0+θy 2⎞⎟d θy +I i 0, （2）
b 1⎝⎠
其中A 为比例系数，b 1和b 2分别为积分的下限和上限，θx 和θy 为得到的二维图像的两个正交方向的坐标，θx 0为背散射方向在CCD 上的θx 坐标，I i 0代表了背景光的影响。要说明的是，因为需要对θy 方向进行积分，只要能确定b 1和b 2的数值，背散射方向在CCD 上的θy 坐标并不需要确定。在无噪声的情况下，其曲线示例见图3的实线部分。
1.1
N o r m . I n t e n s i t y
b 2
(b)
2
1.8
1.02.0
(a)1.51.0
-0.5
0.0
Angle (Radian)
0.5
1.6
1.4
1.2
1
40
图3 相干背散射理论曲线(虚线) 及积分后曲线(实
线)
Fig.3 the example of CBS (dashed line) and example
of integrated CBS(solid line)
- 2 -
b
2040
图4 R 同b 的关系
Fig.4 relationship between b and R
R
根据实验光路可以知道，透镜Lens 3的焦距和CCD 的像素信息决定了记录的图像的坐标，但积分的起止范围还取决于背散射方向在CCD 上的位置(即坐标零点) 。为了简化测量降低处理复杂度，采取如下方法：对数据进行数值积分的时候，积分的区域包含信号最强的区域，并大致关于信号最强点对称，积分的宽度设为2b ，则积分的范围可设定为-b 到b 。这个近似所带来的误差来自于相干背散射信号的边缘，随角度变化较小，对拟合的结果影响也因此比较小。另外，由图3可见，积分后中心最大值同边缘的比值R 比积分前会降低，比值R 同b 的关系见图4所示，其中b 的单位是λ/(2πl ) 。
在进行上述处理后，使用Levenberg-Marquardt 方法利用公式(2)对积分后的实验数据进行数据拟合，就可以得到平均自由程信息。
1000
I n t e n s i t y (A . U . )
17
016
I n t e n s i t y (A . U . )
500
16
15
14
-0.04-0.03-0.02-0.010.000.010.020.030.04
Angle(Radian)
图5 数值模拟产生的数据
上：剖面图；下：积分后 Fig.5 data from numerical simulation Upper: profile. Lower: After integration
-0.04-0.020.000.020.04 Angle (Radian)
图6 对数值模拟的数据进行拟合
Fig.6 Curve-fitting of the simulated data
A l I i 0
data 51.05.012.5
error ±2.4±0.4±0.1
3. 数值模拟验证
因为需要拟合的参数较多，为了验证所述方法的正确性和拟合结果的唯一性，采用计算机数值模拟的办法生成无噪声的相干背散射数据，再加上人工生成的均匀分布的随机数作为噪声，以模拟实际的数据情况，如图5所示，上部为数值模拟数据的截面图，下部为积分后的图形。初始设置的传输平均自由程为5µm，照射样品的波长设为0.44µm (He-Ne激光在甲醇中的波长), 比例系数A 为50，噪声幅度为20A 。拟合的结果见图6所示，图中所列误差为标准差(standard error)。可以看到，通过拟合得到的传输平均自由程与初始值基本一致。对同一图像进行多次处理，结果基本一致。从而证明了本文提出的方法的正确性和结果的唯一性。
4. 测试实例
实验使用的光源为输出功率约10mW 的He-Ne 激光器，干涉长度约为15cm ，偏振方向为竖直方向。输出的激光经过可调衰减器衰减后，由反射镜反射到透镜1、2及小孔组成的滤波扩束器，使得光束的发散角小于1mrad 。经过分束器，一束光照到样品上，另一束光进行消光处理。样品的散射光经过分束器，在透镜3的焦平面上的CCD 上干涉并被记录。本实验采用的透镜3的焦距为200mm 。CCD 是PHOTOMETRICS 公司的Quantix 1602E，分辨率1536*1024，像素间距9µm。样品为纳米TiO 2的甲醇溶液。纳米TiO 2粉末为山东正元纳米材料工程有限公司生产，电镜测量的结果显示其颗粒半径为40nm~60nm，由于团聚效
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应，实际溶液中的颗粒半径要远远大于这个数值。甲醇为山东禹王实业有限公司生产的色谱纯甲醇，折射率1.44。样品池是10mm*5mm*20mm的带塞石英比色皿。
2500
24
I n t e n s i t y (A . U . )
[**************]00.00
22
20
0.02
Angle (radian)
0.040.06
Angle (Radian)
图7 测量得到的系统分辨率（响应曲线） Fig.7 The measured system resolution (response
curve)
A l
I i 0
0.000.020.040.06
Angle (Radian) 图 8 实验结果及拟合曲线 Fig.8 Experiment results and the fitted curve
value 157.01.6614.0
error ±1.4±0.06±0.1
实验在暗室中进行，尽量屏蔽一切杂散光，以减少噪声的影响。消光部分进行了严格的处理，利用布儒斯特角倾斜的黑色玻璃片有效地消除透过分束器的偏振光，防止反射的光影响测量的结果。用一个平面镜代替样品，并调节衰减器到合适的光强，得到的图像就是整个系统的分辨率图，取一维信息，如图7所示。可见系统分辨率（系统响应）远远小于信号的宽度。换上样品后，去掉衰减，即可得到相干背散射图样。处理的结果见图8所示，图中灰色部分为得到的实验数据，黑色实线为拟合的结果。通过拟合，可以得到样品的平均自由程约为1.7µm。
5. 结论
相干背散射是研究光子局域化的重要手段，因信号微弱，难于测量。本文给出了简易测量相干背散射的方法，并使用数值模拟的办法进行了理论验证，确定了本文提出的方法的有效性和得到数据的唯一性。最后通过实际测量，应用本文提出的方法进行处理，得到了样品的传输平均自由程。
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Measurement of the Coherent BackScattering
Fan Shuzhen, Zhang Xingyu, Wang Qingpu, Zhang Chen, Cong Zhenhua, Zhang
Xiaolei, Qin Zengguang, Zhang Zhen
School of Information Science and Engineering, Shandong University, Jinan, Shandong,
P.R.China (250100) Abstract
Coherent Backscattering (CBS) is very important in studying the Photon Localization. But the signal is weak and it is difficult to obtain valid data. The measurements are usually complex and time-consuming. In this paper we present a method recording CBS with scientific CCD. The obtained image is integrated along one dimension to enhance the signal to noise ratio (SNR). Curve-fitting with presented equation is applied to get the photon transport mean path. Numerical simulation is employed to prove this method to be correct and the results are unique. Experiment is presented and the transport mean free path of a sample is measured as an example.
Keywords: Coherent Backscattering (CBS), Photon Localization, Random Media,CCD
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