第三讲 分类讨论思想
所谓分类讨论，就是当问题无法得到统一结果，结论不确定，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答．实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏地分类讨论”．
1．分类讨论时必须遵循的原则
(1)施行分类的集合的全集必须是确定的；
(2)分类的标准必须是统一的；
(3)分类必须是完整的，不能出现遗漏；
(4)各子集域必须是互斥的，不出现重复；
(5)如需多级分类，必须逐级进行，不得越级．
2．分类讨论的步骤
(1)明确讨论的对象，确定对象的全体；
(2)确定分类的标准，正确进行分类；
(3)逐类进行讨论，获得阶段性的结果；
(4)归纳小结，总结出结论．
3．分类讨论的常见类型
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如ax+b>0的解集。函数的单调性（导数的正负）等．
(3)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置
需要分类：如角的终边所在的象限；
(4)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
题型一 概念分类讨论
【例1】 (2009·山东) 若函数f (x ) ＝a x －x －a (a >0且a ≠1) 有两个零点，则实数a 的取值范围是________．
解析：设函数y ＝a x (a >0且a ≠1) 和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x ) ＝a －x －a (a >0且a ≠1) 有两个零点，就是函数y ＝x
a (a >0且a ≠1) 的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点． 由图象可知，当0
当a >1时，
因为函数y ＝a x (a >1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是
a >1.
答案：a >1
1．设00且a ≠1，比较|loga (1－x )|与|loga (1＋x )|x
的大小．
解：∵01, 0
所以|loga (1－x )|－|loga (1＋x )|
＝log a (1－x ) －[－log a (1＋x )]＝log a (1－x 2)>0；
②当a >1时，log a (1－x )0
所以|loga (1－x )|－|loga (1＋x )|
＝－log a (1－x ) －log a (1＋x ) ＝－log a (1－x 2)>0.
由① 、②可知，|loga (1－x )|>|loga (1＋x )|. 2
题型二 运算需要分类讨论
x -a
例2．解关于x 的不等式x -a
解关于x 的不等式
2 ax 2+(a +1)x +1>0
题型三 参数取值分类讨论
【例3】 已知m ∈R ，求函数f (x ) ＝(4－3m ) x －2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．
44解：(1)当4－3m ＝0，即m 时，函数y ＝－2x ＋，它在[0,1]33
4上是减函数，所以y max ＝f (0)＝. 3
4(2)当4－3m ≠0，即m ≠时，y 是二次函数 . 3
4①若4－3m >0，即m 时，二次函数y 的图象开口向上，32
1对称轴x ＝，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点4－3m
得到(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系) ．
f (0)＝m ，f (1)＝2－2m .
424当m ≥2－2m ，又m ≤m
42当m
4②若4－3m
1又它的对称轴方程x
函数．于是y max ＝f (0)＝m .
由(1)、(2)可知，这个函数的最大值为
⎧2－2m ， m
拓展提升——开阔思路 提炼方法
(1)先对参数m 按f (x ) 的属性(是一次函数还是二次函
444
数) 分成m ＝m 两类，这是一级分类，然后对m ≠33344
按抛物线开口方向分成m 和m 两类，这是二级分类；最后
334242
在m 中，又按f (0)，f (1)的大小关系，又分成≤m 和m
3333类，这是三级分类，每次分类都有一个标准，要做到不重不漏．
4
(2)另外，在求最大值时，对于m ，即开口向上时，
3
也可按对称轴与区间的关系(对称轴在区间两侧，对称轴在区间中分两类) ．
(3)二次函数在闭区间上的最值问题是高考中的重点
内容，一定要熟练掌握．
题型四 根据图形位置或形状变化分类讨论
2
【例4】 如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底
a 面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱和四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．
解析：先考查拼成三棱柱(如图(1)所示) 全面积：
142
S 1＝2××4a ×3a ＋(3a ＋4a ＋5a ) ×＝2a
再考查拼成四棱柱(如图(2)所示) 全面积：
①若AC ＝5a ，AB ＝4a ，BC ＝3a ，则该四棱柱的全面积22
为S 2＝2×4a ×3a ＋2(3a ＋4a ) ×24a ＋28.
a
②若AC ＝4a ，AB ＝3a ，BC ＝5a ，则该四棱柱的全面积为
22
S 2＝2×4a ×3a ＋2(3a ＋5a ) ×24a ＋32.
a
③若AC ＝3a ，AB ＝5a ，BC ＝4a ，则该四棱柱的全面积2
为S 2＝2×4a ×3a ＋2(4a ＋5a ) ×24a 2＋36.
a
又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a ＋282
2
2
即
⎛
a 的取值范围是 0，
⎝
15⎫. 3⎭
⎛
答案： 0，
⎝
⎫⎪ 3⎭
拓展提升——开阔思路 提炼方法
将两个相同的直三棱柱可拼成一个三棱柱或四棱柱，
因此要分情况分别计算各种情况的几何体的表面积，然后根据
已知条件列不等式进行求解．
#4．长方形|BC |＝8，在BC 边上线段AP 的垂直平分
交点为Q 、R 时，用t 表示|QR |.
解：如图所示，分别以BC 、AB 所在的边为x 、y 轴建
立坐标系．
4t
∵k AP ＝－，∴k QR ＝4
t
ABCD 中，|AB |＝4，取一点P ，使|BP |＝t ，线与长方形的边的
又AP
⎛t ⎫
的中点的坐标为 ，2⎪，
⎝2⎭
t ⎛t ⎫
∴QR 所在的直线方程为y －2＝ x －. ①
4⎝2⎭
由于t 的取值范围的不同会导致Q 、R 落在长方形ABCD 的不同边上，
故需分类讨论：当|PD |＝|AD |＝8时，易知 |PC |＝|PD |2－|DC |2＝∴当0≤t ≤8－4时，Q 、R 两点分别在AB 、CD 上， 对方程①分别令x ＝0和x ＝8，
可得
⎛⎛t 2⎫t 2⎫Q 0，2－，R 8，2＋2t －⎪.
8⎭8⎭⎝⎝
这时|QR |＝2 ＋t 2，
当8－4t ≤4时，Q 、R 两点分别在AB 、AD 上，对 方程①分别令x ＝0和y ＝4， 可得
2
⎛⎛8t ⎫t ⎫
Q 0，2－，R ＋4⎪.
8⎭⎝⎝t 2⎭
8t ⎫2⎛t ⎫2 ＋ 2＋⎪；
8⎭⎝t 2⎭⎝
这时|QR |＝
当4
分别令y ＝0和y ＝4，
可得
Q ⎛t ⎝2－8t 0⎫⎪⎭，R ⎛ 8⎝t t 2，4⎫⎪⎭
. 这时|QR |＝4t 2＋16t
综上所述，当0≤t ≤8－时，当8－4t ≤4时， |QR |⎛ 8⎝t ＋t ⎫＝
22⎛t ⎫2⎭＋ ⎝
2＋8⎪⎭；
2
当4
t
QR |＝216＋t 2；|
第三讲 分类讨论思想练习
一、填空题 1．定义运算
⎧⎪x ， (x ≤y )x *y ＝⎨
⎪⎩y ， (x >y )
，若|m －1|*m ＝|m －1|，
1
则m 的取值范围是 ( ) m≥
2
2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为 ( )
解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情
8况．或 3
3．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R}，B ＝{x ||x －3|
解析：当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；
当a >0时，欲使
综上得a ≤1. ⎧⎪3－a ≥－4，B ⊆A ，则⎨⎪⎩3＋a ≤4， ⇒0
4．若定义在区间(－1,0) 内的函数f (x ) ＝log 2a (x ＋1) 满足f (x )>0，则a 的取值范围是 ( )
解析：∵－1
∴0
又f (x ) ＝log 2a (x ＋1)>0，
∴0
则a 的值是________．
a 解析：当a ＞1时，y ＝a 在[1,2]上递增，故a －a ＝，2x 2
3x 2得a ＝；当0＜a ＜1时，y ＝a 在[1,2]上单调递减，故a －a 2
a 1＝，得a ＝. 故a 2213或 22
6．若函数f (x ) ＝a |x －b |＋2在[0，＋∞) 上为增函数，则实数a ，b 的取值范围为________．
解析：①当a >0时，需x －b 恒为非负数，即a >0，b ≤0.
②当a
综上所述，由①②得a >0且b ≤0.
答案：a >0且b ≤0
三、解答题
⎧⎪x ＋1 x ∈[－2，－1)
7．已知函数f (x ) ＝⎪x ⎨－2， x ∈⎡⎢－11⎫
⎪⎣2⎪⎭
⎪⎡
⎩x －1x x ∈1⎫
⎣22⎪⎭ .
(1)求f (x ) 的值域；
(2)设函数g (x ) ＝ax －2，x ∈[－2,2], 若对于任意x 1∈
[－2,2]，总存在x 0，使得g (x 0) ＝f (x 1) 成立，求实数a 的取值范围．
1解：(1)当x ∈[－2，－1) 时，f (x ) ＝x ＋在[－2，－1) 上是x
增函数，此时
当⎡5⎫f (x ) ∈⎢－2⎪ ⎣2⎭⎡1⎫x ∈⎢－1，⎪时，f (x ) ＝－2， 2⎭⎣
⎡1⎤⎤1⎡1当x ∈⎢，2⎥时，f (x ) ＝x 在⎢，2⎥上是增函数，此时f (x ) ⎣2⎦x ⎣2⎦
⎡33⎤∈⎢－⎥. ⎣22⎦
⎡5⎤⎡33⎤∴f (x ) 的值域为⎢－2⎥∪⎢－⎥. ⎣2⎦⎣22⎦
(2)当a ＝0时，g (x ) ＝－2，对于任意x 1∈[－2,2]，
⎡5⎤⎡33⎤f (x 1) ∈⎢－，－2⎥∪⎢－，⎥，不存在⎣2⎦⎣22⎦x 0∈[－2,2]，使得
g (x 0) ＝f (x 1) 成立；
当a >0时，g (x ) ＝ax －2在[－2,2]上是增函数，
g (x ) ∈[－2a －2,2a －2]，
任给⎡5⎤⎡33⎤x 1∈[－2,2]，f (x 1) ∈⎢－，－2⎥∪⎢－，若存在⎣2⎦⎣22⎦
x 0∈[－2,2]，使得g (x 0) ＝f (x 1) 成立，
则⎡⎢⎣－522⎤⎥⎦∪⎡⎢⎣－32，3⎤
2⎥⎦⊆[－2a －2,2a －2]，
⎧－2a －2≤－5∴⎪⎨2，∴a ≥7⎪2a －2≥34；
⎩2
当a
g (x ) ∈[2a －2，－2a －2]，
⎧－2a －2≥3⎪2同理可得⎨5⎪2a －2≤－2⎩
综上，实数 7，∴a ≤－4⎛⎫7⎤⎡7a 的取值范围是 －∞，－⎥∪⎢⎪. 4⎦⎣4⎝⎭
28．已知f (x ) ＝x －2x ＋2，其中x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数
f (x ) 的最小值为t 的函数g (t ) ，试计算当t ∈[－3,2]时g (t ) 的最大值．
解：由f (x ) ＝x －2x ＋2，得f (x ) ＝(x －1) ＋1，图象的对22
称轴为直线x ＝1.
当t ＋1≤1时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的左侧，函数f (x ) 在x ＝t ＋1处取得最小值f (t ＋1) ；
当0
当t ≥1时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的右侧，函数＝t 处取得最小值f (t ) ． f (x ) 在x f (x ) 在x
⎧f (t ＋1)＝t ＋1， t ≤0，⎪综上，可得g (t ) ＝⎨1，0
2⎪⎩f (t )＝t －2t ＋2， t ≥1.
又t ∈[－3,2]，
当t ∈[－3,0]时，求得g (t ) 的最大值为f (－3) ＝10； 当t ∈(0,1)时，g (t ) 恒为1；
当t ∈[1,2]时，求得g (t ) 的最大值为f (2)＝2.
经比较，可知当t ∈[－3,2]时，g (t ) 的最大值为10. 2
15．已知，
⑴若a=2时，求f(x)的单调增区间；
⑵当a=-2时，求当x ∈[-1, t ]时，函数的最大值； f (x )=x (x +a )
[]x ∈-3, 1⑶当a