数学竞赛典型题目（一）
1.(2004美国数学竞赛) 设a 1, a 2, , a n 是整数列, 并且他们的最大公因子是1.
令S 是一个整数集, 具有性质:
（1）a i ∈S (i =1, 2, , n )
（2） a i -a j ∈S (i , j ∈{1, 2, , n }), 其中i , j 可以相同
（3）对于x , y ∈S ，若x +y ∈S ，则x -y ∈S
证明：S 为全体整数的集合。
2．(2004美国数学竞赛) a , b , c 是正实数，证明：
(a 5-a 2+3)(b 5-b 2+3)(c 5-c 2+3) ≥(a +b +c ) 3
1003．(2004加拿大数学竞赛)T 为2004的所有正约数的集合，求集合T 的子集
S 中的最大可能的元素个数。其中S 中没有两个元素，一个是另一个的倍数。
4．(2004英国数学竞赛) 证明：存在一个整数n 满足下列条件：
（1）n 的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0；
（2）2004能整除n .
5．(2004英国数学竞赛) 在0和1之间，用十进制表示为0. a 1a 2 的实数x 满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，a k a k +1 a k +2003(1≤k ≤2004) ，证明：x 是有理数。
6．(2004亚太地区数学竞赛) 求所有由正整数组成的有限非空数集S ，满足：如果m , n ∈S ，则m +n ∈S (m , n )
7．(2004亚太地区数学竞赛) 平面上有2004个点，并且无三点共线，S 为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S 中有奇数条直线分离这两点。
⎡(n -1)! ⎤8．(2004亚太地区数学竞赛) 证明：⎢2(n ∈N *) 是 偶数。 ⎥⎣n +n ⎦
9．(2004亚太地区数学竞赛) x , y , z 是正实数，证明：
(x 2+2)(y 2+2)(z 2+2) ≥9(xy +yz +zx )
10．（2003越南数学竞赛）函数f 满足f (cotx ) =cos 2x +sin 2x (0
11．（2003越南数学竞赛）定义p (x ) =4x 3-2x 2-15x +9, q (x ) =12x 3+6x 2-7x +1，证明：
（1）每个多项式都有三个不同的实根；
（2）令A 为p (x ) 的最大实根，B 为q (x ) 的最大实根，证明：A 2+3B 2=4
12．（2003越南数学竞赛）令F 为所有满足f :R +→R +且f (3x ) ≥f [f (2x )]+x 对任意x ∈R +成立的函数f 的集合。求最大实数A 使得f (x ) ≥Ax 对所有f ∈F , x ∈R +都成立。
13．（2003美国数学竞赛）证明：对于每个n ，我们可以找到一个n 位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被5n 整除。
14．（2003美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长都是有理数。
15．（2003巴尔干数学竞赛）一个矩形ABCD 的边AB =m , AD =n , 其中m , n 是互质的奇数。矩形被分成了mn 个单位正方形，对角线AC 交单位正方形于点
AC A 1=A , A 2, A 3, , A N =C ，证明：A 1A 2-A 2A 3+A 3A 4- +(-1) N A N -1A N =mn
16．（2002美国数学竞赛）S 为含有2002个元素的集合，并且P 是Ｓ所有子集的集合，证明：对于任意n (0≤n ≤P ) ，我们可以将Ｐ的n 个元素染成白色，其余染成黑色，使得Ｐ的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。
17．（2002美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实值函数满足：f (x 2-y 2) =xf (x ) -yf (y ) 对于任意实数x , y 成立。
18．（2001美国数学竞赛）非负实数x , y , z 满足x 2+y 2+z 2+xyz =4，证明：
xyz ≤xy +yz +zx ≤xyz +2
19．（2002巴尔干数学竞赛）数列
{a n }:a 1=20, a 2=30, a n +1=3a n -a n -1，求所有n 使5a n a n +1+1是完全平方数。
20．（2002巴尔干数学竞赛）Ｎ为正整数的集合，求所有f :N →N 使得
f (f (n )) +f (n ) =2n +2001或2n +2002
21．（2009年协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。
22．（200１巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且５个角相等，证明：它是正五边形。
23．（200１巴尔干数学竞赛）正实数a , b , c 满足abc ≤a +b +c ，证明：a 2+b 2+c 2≥abc
24．（200１加拿大数学竞赛）A 0, A 1, A 2位于半径为１的圆上，并且A 1A 2不是直径，点列{A n }定义如下：A n 是∆A n -1A n -2A n -3的外心，证明：A 1, A 5, A 9, A 13 共线，并求所有的A 1, A 2使得A 1A 1001是一个整数的５０次幂。 A 1001A 2001
25．（2002年越南数学竞赛）n 为正整数，证明：方程1111+2+ +2=有唯一的解x n >1，且n →∞时，x n →4 x -12x -1n x -12
26．（2001年越南）对于实数a , b 定义如下数列：x 0, x 1, x 2, . 由x 0=a ，x n +1=x n +b sin x n 确定
（1）若b =1. 证明：对于任何a ，数列有极限;
（2）若b >2. 证明：对于某些a ，数列没有极限.
27．（2000年越南）定义一个正实数序列：x 0, x 1, x 2, . x 0=b ，x n +1=c -c +x n . 求所有实数c ，使得对所有b ∈(0, c ) ，数列存在极限.
2k 是正整数，28．（2002波兰数学竞赛）数列{a n }:a 1=k +1, a n +1=a n -ka n +k ，
证明：数列中的任两项互质。
29．（2001波兰数学竞赛）数列{x n }:x 1=a , x 2=b , x n +2=x n +1+x n ，一个数c 如果在数列中出现的次数超过１次，就称它是“重复的”，证明：我们可以选择a , b 使数列中有超过２０００个重复值，但没有无穷多个重复值。
30．（2001波兰数学竞赛）a , b 都是整数，使得2n a +b 对所有非负整数n 都是完全平方数，证明：a =0
31．（2001波兰数学竞赛）数列{a n }定义如下：a 1和a 2为素数，a n 为a n -1+a n -2+2000的最大素因子。证明：数列{a n }有界.
32．（2001波兰数学竞赛）p (x ) 是一个多项式，次数为奇次，满足p (x 2-1) =p 2(x ) -1对所有x 成立。证明：p (x ) =x
}分成六个不同的集合33．（1978年国际数学竞赛）将集合S ={1, 2, 3, , 1978
A i (i =1, 2, 3, 4, 5, 6) ，即S =A 1⋃A 2⋃ ⋃A 6且A i ⋂A j =Φ，求证：在某个A i 中存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的２倍。
34．（1999年国际数学竞赛）设n 是一个固定的正偶数. 考虑一块n ⨯n 的正方板，它被分成n 2个单位正方格. 板上两个不同的正方格，如果有一条公共边，就称它们为相邻的. 将板上N 个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格（作上标记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻. 确定N 的最小值.
35．一个9⨯9方格能否被15个2⨯2方格和6个Ｌ型方格（由3个小方格组成）和3个单位方格覆盖？
36．已知边长为n 的正方形及其内部的(n +1) 2个点，其中无3点共线，证明：必存在3个点，以其为顶点的三角形的面积不大于1。 2
37．已知x 是循环节为p 的纯循环小数，y 是无限小数，其小数点后的第n 位与数x 小数点后的第n n 位的数字相同，问：y 是否是有理数？
38．求所有的正整数a , b 使得a b 2+b +1, b a 2+a +1
39．{x n }:x 0=1, x 1=3, x n +1=6x n -x n -1，证明：除第一项外，{x n }中无完全平方数。
40．f (x ) =ax 2+bx +c 是实系数多项式，且对于任何整数x 0, f (x 0) 是完全平方数，证明：f (x ) =(ex +d ) 2，其中e , d 是整数。
41．能否找到含有1990个正整数的集合Ｓ，使
（1）S 中任意两个数互质；
（2）S 中任意k (k ≥2) 个数的和是合数。
42．（1998年越南数学竞赛）是否存在α(0
n a n , (n =1, 2, ) .
43．一个整数有限序列a 0, a 1, , a n 称为一个二次序列，如果对于每个i ∈{1, 2, , n },a i -a i -1=i 2；
（1）证明：对于任何两个整数b , c ，都存在一个正整数n 和一个二次序列使a 0=b , a n =c ；
（2）求满足下列条件的最小正整数n ，使a 0=0, a n =1996
44．x , y , z 是正实数，求证：
(xy +yz +zx 1119++) ≥ 2224(x +y ) (y +z ) (z +x )
45．用16个1⨯3矩形和一个1⨯1正方形拼成一个7⨯7正方形，求证：1⨯1正方形要么在大正方形中心，要么在大正方形边界上。
46．环形公路上有n 个加油站，每个加油站有汽油若干桶，n 个站的总存油量够一辆汽车行驶一周，证明：必存在一站，从该站起，汽车逆时针行驶（每到一站装上所有汽油）可回到原站。
47．正实数a , b , c 满足abc =1，求证：
1a (c -b ) 2b (c -a ) 2c (b -a ) 2
[++] 4c +b c +a b +a 1113＋++≥333a (b +c ) b (c +a ) c (a +b ) 2
48．x i ∈R +(i =1, 2, , n ) ，证明：
x n x 1x 1++ +≤222221+x 11+x 1+x 21+x 1+ +x n
2n a n 149．数列{a n }:a 1=, a n +1=2，证明：∑a k
50．求方程x ! +y ! =x y 的正整数解
51．求所有三次多项式p (x ) 使得对任意的非负实数x , y 有p (x +y ) ≥p (x ) +p (y )
52．S ={x 2+2y 2|x , y ∈Z }，对于整数a ，若3a ∈S ，证明：a ∈S 53．{x n }:x 0=1, x n +1=3x n +x n 5，已知x 1=5, x 2=26, x 3=136, x 4=712，求[]
x 2007
54．（波兰）数列{a n }由a 0=-1, a n +
a n >0(n >0)
55．非负实数x , y , z 满足x 2+y 2+z 2=1，证明：1≤x y z ++≤2 1+yz 1+zx 1+xy a n -1a a + 1+0=0(n ≥1) 确定，证明： 2n n +1
56．圆周上有7个点，将他们两两连线，求这些直线在圆内部交点个数的最小值。
57．是否存在一个能被103整除的正整数n ，满足2n +1≡2(modn )
58．正实数x , y , z 满足xy +yz +zx =x +y +z ，证明：
111++≤1 222x +y +1y +z +1z +x +1
59．（2009
塞尔维亚数学竞赛）求能被
整除且数字和是的最小的正整数。
60．对2007⨯2007方格染色，使得任意2⨯2方格中最多有2个方格被染色，问：最多可以将多少个方格染色？
61．空间中有9个点，其中任意4点不共面。在这9个点间连接若干条线段，但图中不存在四面体，问：图中三角形最多多少个？
62．（2009加拿大数学竞赛）由一个纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成个相等的扇形，且每个圆的个扇形涂成白色的，另个扇形涂成黑色的。将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合。
求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有个扇形位于大圆的同色扇形上。
2n 63．（2009年印度尼西亚数学竞赛）n 是大于１的奇数，证明：8n +4|C 4n
64．（2009年英国数学竞赛）求定义在实数集上的函数使f (x 3) +f (y 3) =(x +y )(f (x 2) -f (xy ) +f (y 2))
65．（2009年英国数学竞赛）将不大于２５００的正整数写成二进制，其中以１开头的数字串所表示的整数的不同个数记为b (n ) ，求证：n ≤2500时，b (n ) ≤39，并确定取等条件。
66．一个圆桌周围有n 个位置，第一个人任意坐下，第二个人从第一个人逆时针开始数2个位置坐下，即第二个人坐在第一个人旁边，第k +1人从第k 个人逆时针开始数k +1个位置坐下。如果按照这种坐法，n 个人恰好坐满n 个位置，求n 得所有可能值。
67．（2009加拿大数学竞赛）已知为完全平方数，求所有的有序整数对。
68．求所有的质数p , q 使pq |(5p +5q )
69．求所有的质数p , q 使pq |(5p -2p )(5q -2q )
70．数列{a n }:a 1=k , a 2=5k -2, a n +2=3a n +1-2a n ，其中k 是常数。
（1）求所有k 使数列收敛；
（2）若k =1，求证：a n +22⎡7a n ⎤+1-8a n a n +1=⎢⎥ 1+a +a n n +1⎦⎣
71．数列{y n }:y 1=y 2=1, y n +2=(4k -5) y n +1-y n +4-2k ，求所有的正整数k ，使得数列中的每一项都是完全平方数。
72．求证：数列a n =n 2中有无穷多个完全平方数。
73．a n =[](n -1) 2+n 2 ]
（1）证明：存在无穷多个m 使得a m +1-a m >1；
（2）证明：存在无穷多个m 使得a m +1-a m =1。
74．（2006全国高中数学联赛）设f (x ) =x 2+a , 记f 1(x ) =f (x ), f n (x ) =f (f n -1(x )), n =2, 3 ，M ={a ∈R |f n (0) ≤2, ∀n ∈N *} 1证明：M =[-2,] 4
122+(n =0, 1, 2 ) ，证明：a n +5≥a n 75．实数列{a n }(n =0, 1, 2 ) 满足a n +1≥a n -5 5
76．Ｐ为边长为１的正四面体内一点，证明：Ｐ到各个顶点的距离和至多为3。 77．x ≥y ≥1，证明：x
x +y +y
y +1+1
+x ≥y
x +y +x
x +1+1
y +1
78．x i ∈R +(i =1, 2, , n ) 是否一定有
x x x x x 1x 2x 2x 3++ n -1n +n 1≥x 1+x 2+ +x n x 3x 4x 1x 2
79．证明：a 5n +a n +1(a , n ∈N *) 是合数。
80．f 1=f 2=1, f n =f n -1+f n -2(n >2) ，若正整数a , b 满足
f n f n +1f f a ,
81．把一个实数用与它相岭的两个整数之一代替称为“整化”，证明：对于给
定的n 个实数，存在一种整化方式，使得这些数中任意若干个数的和与这些数n +1整化后对应的和之差不大于。 4
82．（1997美国数学竞赛）求证：存在无穷多个正整数n ，使得n 19+n 99可以用两种不同的方式表示为两个平方数的和。
83．（1996年保加利亚）数列{a n }：a 1=1，a n +1=
2n ≥4时，[a n ]=n . a n n +，(n =1, 2, ) 证明：n a n
84．在正三角形三个顶点上各放置一个整数使得：三个数的和是整数，若某个顶点上的数x
85．（2003年德国数学竞赛）数列{a n }：a 1=1，
a 2=1, a 3=2, a n +3=1(a n +1a n +2+7) ，证明：a n 是正整数． a n
86．（2004年克罗地亚数学竞赛）求使数列：cos α, cos 2α, cos 22α, , cos 2n α 每一项均为负数的所有实数α.
87．（2003瑞典数学竞赛）求所有实数x 满足方程x 2-2x +2[x ]=[x ] 2[]
88．（2004俄罗斯数学竞赛）求所有的正整数n 使得不等式s i n nA +s i n nB +s i n nC
c 29，证明：89．（2004台湾数学竞赛）正实数a , b , c 满足a b ≥
1
+a +1
+b +1
+c ≥
+a b c 3
⎡n (n +1) ⎤⎡n +1⎤90．（2003克罗地亚数学竞赛）对于大于２的整数n ，证明：⎢ =⎢⎥⎥4n -24⎣⎦⎣⎦
91．数列{a n }(n =0, 1, 2 ) 满足a m +n +a m -n =
1(a 2m +a 2n )(m , n =0, 1, 2 ) ，若2
a 1=1，求a 2003
292．数列{a n }定义如下：a 1=2，a n +1=2a n -1. 证明：对所有n 有(n , a n ) =1.
93．求整数c ，使-2007≤c ≤2007. 且存在x ∈N ，使x 2+c 是22007整数倍.
94．（2003年德国竞赛）证明：存在无穷多个正整数a , b 使
（1）a |b 2-5，（2）b |a 2-5，（3）(a , b ) =1.
95．已知射线y =(4+) x (x ≥0). 现将该射线绕O 点逆时针转动α角，形成一个区域D ，试证：无论α多么小，区域D 中总存在无穷多个格点(m , n ) 满足：
（1）1+6mn 与1+10mn 均为完全平方数；
（2）n |m 2-1，m |n 2-1.
96．（2003保加利亚数学竞赛）求实数a ，使得等式4[an ]=n +[a [an ]]对于任意的正整数n 成立。
97．（2002芬兰数学竞赛）设n 是大于2的整数，a n 是最大的n 位数，满足其既不是两个数的平方和也不是两个数的平方差。
（1）求a n ；
(2)求n 的最小值，使a n 的各位数字的平方和是一个完全平方数。
98．设a , b , c 是一个三角形的三边长，且a +b +c =1，若n ≥2，证明：a +b +b +c +c +a
99．（200212+x n ，令年芬兰数学竞赛）{x n }:x 1=, x n +1=x n 3
S =111，求[S ] ++ +x 1+1x 2+1x 2002+1
100．设正数a , b , c , x , y , z 满足cy +bz =a , az +cx =b , bx +ay =c ，求 求函数
x 2y 2z 2
的最小值. f (x , y , z ) =++1+x 1+y 1+z
101. 正实数a i (i =1, 2, 3, , n ) 满足:a 1a 2a 3 a n =1, 证明:
111++ +≤1 n -1+a 1n -1+a 2n -1+a n
102. a , b , c 是正实数, 证明:a +3c 4b 8c +-的最小值. a +2b +c a +b +2c a +b +3c
103.S 是至少有4个元素的实数集, 对任意x , y ∈S (x ≠y ), 有
对于所有这样的集合S, 存在x ∈S 使2001
104. 在∆ABC 中, 求f =sin A +sin B +5sin C 的最大值 x +y ∈S , 求证:x -y
105. 已知正整数a , b , x , y 满足ax +by 是a 2+b 2的倍数, 若p =x 2+y 2是质数, 证明:p a 2+b 2
a 2b 2c 2
++≥3(a 2+b 2+c 2) 106. 正实数a , b , c 满足a +b +c =1, 证明:b c a
107. 在一个m ⨯n 的方格表中填上互不相等的mn 个数, 并且把每列数值交大的前a (≤m ) 个数作上标记, 在把每行数值交大的前b (≤n ) 个数作上标记, 证明:至少有ab 个数作了两次标记.
108. 在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字，则称它“好数码”（如，等），则长度不超过（为正整数）的所有“好数码”有多少个？
109.(2008罗马尼亚数学竞赛) 存在无穷个
使不能整除．
11 ，存在无穷多个
使
110. 设n ≥4是一个给定的正整数, S ={P 1, P 2, , P n }是平面上的n 个点, 无三点共线, 无四点共圆, 设a t 是使∆P i P j P k 的外接圆包含P t 的∆P i P j P k 的个数, 记m (s ) =a 1+a 2+ +a n , 证明:存在一个仅依赖于n 的函数f (n ) , 使得S 中的点为一个凸多边形的顶点当且仅当m (s ) =f (n )
111. 定义a (modm ) ={a +mk |k ∈Z }, 设m 1, m 2, , m 10是大于1的10个正整数, 且他们两两的最大公约数都不相同但都大于1, 求证:存在整数a 1, a 2, , a 10使a i (modm i ) 互不相同.
112.(1)n 1, n 2, 是每项都大于等于2的正整数列，数列{q n }满足：q i ∈{1, 2}，证明：数列a k =n 1q 1+n q 2+ +n k k 收敛，并且它的极限在(1, 2]
(2) 证明：对x ∈(1, 2]存在满足条件（1）的数列，其极限是x .
113. （1998年印度）设正整数n , p 满足3≤p ≤n ，一个正n 边形有p 个顶点2
⎡p ⎤涂红色，其余涂蓝色，证明：存在两个至少有⎢⎥+1个顶点的全等多边形满⎣2⎦
足：一个多边形全是红顶点，另一个多边形全是蓝顶点。
114. 考虑1, 2, , n 每个数正偶数因子的个数，并且相加得到一个数，类似考察每个数的正奇数因子得到另一个数，证明：这两个数的差至少是n 。 115.(1998年波兰数学竞赛) 数列{a n }:a 1=1, a n =a n -1+a ⎡n ⎤(n =2, 3, ) ，证明：⎢2⎥⎣⎦
数列中有无限项是7的倍数。
116. （1995年保加利亚数学竞赛）已知n ≥2且0≤x i ≤1(i =1, 2, , n ) ，证明：
⎡n ⎤x -x x ≤∑∑i i i +1⎢2⎥（x n +1=x 1） ⎣⎦i =1i =1n n
π117. （2002年俄罗斯数学竞赛）正整数n >m ，证明：对一切x ∈(0, ) ，都有2
12
2sin n x -cos n x ≤3sin m x -cos m x
⎧x +y =z +u x 118. 正整数x , y , z , u 满足⎨，求最大的常数m 使得m ≤，这里y ⎩2xy =zu
(x , y , z , u ) 是满足上面方程组得解且x ≥y
=8，证明：119. （2005亚太数学竞赛）正实数a , b , c 满足a b c
a 2
(1+a 3)(1+b 3) +b 2
(1+b 3)(1+c 3) +c 2
(1+c 3)(1+a 3) ≥4 3
120. （2006罗马尼亚）证明：数列{a n }:a n =n 2+n 3中有无穷多个偶数，也有无穷多个奇数。
[][]
13