数学分析复习题
一、计算下列二重积分 1. sin x dxdy ，D 由y =π-x , x =π, y =π围成； ⎰⎰x D
x dxdy ，D =[0,1]⨯[0,1]． ⎰⎰1+xy D 2.
3. ⎰⎰D xy dxdy , D ：x 2+y 2≤a 2；
4. 3x 22,D 由曲线dxdy xy =1, xy =3, y =x , y =3x 所围成； 23⎰⎰y +xy D
5 I =
7
．I =
9.
10. ⎰010dx ⎰e x 1-y 2dy ； 6 I =⎰dx ⎰x 2e -y dy ； 0x 2222D , ：； π≤x +y ≤4π⎰⎰D 112y y 2sin x 2dx
8. 22D 是圆x +y ≤x +y 的内部； (x +y ) dxdy , ⎰⎰D 4422D 是由x +y =1围成的区域； (x +y ) dxdy , ⎰⎰D
二、计算下列三重积分
1.
2.
3. 22222V (x +y +z +1) dxdydz ：； x +y +z ≤a ⎰⎰⎰V 22V zdxdydz , 由曲面z =x +y , z =1, z =2所围成； ⎰⎰⎰V 2⎰⎰⎰(x
V +y 2) 2dxdydz ，V 由曲面z =x 2+y 2, z =4, z =16围成；
4. ⎰⎰⎰V 3dxdydz , V 由曲面x 2+y 2=9, x 2+y 2=16, z 2=x 2+y 2, z ≥0
5. ⎰⎰⎰V
V 2dxdydz , V 由x +y +z 5222=2z 围成； 6. ⎰⎰⎰x dxdydz ，V 由x
222+y 2=z 2, x 2+y 2+z 2=8围成． x 2+y 2x 2+y 2
, z =, xy =c , xy =d , y =αx , y =βx 围7. ⎰⎰⎰x y zdxdydz ，V 由z =a b V
成的立体，其中0
8. 设H (x ) =
i , j =1∑a 3ij i 其中A =(a ij ) 为三阶正定矩阵，求I =x x j ，H (x ) ≤1⎰⎰⎰e dx 1dx 2dx 3.
三、计算下列曲线积分
1.
2.
3. ⎰(x L 2+y 2) ds ，其中L 是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形；
⎰⎰，其中L 是圆周x 2+y 2=ax ；
L (xy +yz +zx ) ds ，其中L 为球面x 2+y 2+z 2=a 2与平面x +y +z =0的交线； 4
3434. (x +y ) ds ，其中C 是星形线x +y =a ；
C ⎰232323
5. 设曲线L 的方程为：x =e cos t , y =e sin t , z =e (0≤t ≤t 0) ，
它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它的质量．
6. t t t ⎰(2a -y ) dx +dy ，其中L 为摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t ),(0≤t ≤2π) 沿t L
增加的方向；
7. ⎰L ydx -xdy +(x 2+y 2) dz ，L 为曲线x =e t , y =e -t , z =at 从(1,1,0)到(e , e -1, a ) ； 22x 2y 2
8. xy dy -x ydx 其中L 为椭圆2+2=1，取正向 a b L
9. e
L y sin xdx +e -x sin ydy L 为矩形a ≤x ≤b , c ≤y ≤d 的边界，取正向；
10．(y 2+z 2) dx +(z 2+x 2) dy +(x 2+y 2) dz ，其中 L
L 为x +y +z =1与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则
四、计算下列曲面积分
1. ⎰⎰(x
S
S 2+y 2) dS ，其中S
≤z ≤1的边界曲面； 32.
3.
4. ⎰⎰|x 2S y 2z |dS ，其中S 为曲面z =x 2+y 2被z =1割下的部分； ⎰⎰z dS ，其中S ：x =u cos v , y =u sin v , z =v (0≤u ≤a ,0≤v ≤2π) ； 222222S (x +y ) dS ，是球面． x +y +z =R ⎰⎰S
x 2y 2z 2
5. ⎰⎰yzdzdx ，S 为2+2+2=1的上半部分的上测 a b c S
6. ⎰⎰x dydz +y dzdx +z dxdy ，S 为球面x
S
223332+y 2+z 2=a 2的外测； 7. ⎰⎰xz dydz +(x
S y -z 2)dzdx +(2xy +y 2z )dxdy ，S
是上半球面z =的上侧
8. 222222S x dydz +y dzdx +z dxdy ，其中为锥面x +y =z (0≤z ≤h ) ，下侧． ⎰⎰S