算术－几何平均值不等式的证明
平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据，特别是算术平均值－几何平均值不等式（以下简称算几不等式）的应用更是尤为广泛，许多极限问题的证明都要应用到这一不等式，而关于这一不等式的证明方法，常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明，下面介绍几种另外的证明方法。
１利用二项式定理
证明：首先，对于ａ，ｂ＞０由二项式定理，得
（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ
由数学归纳法，若ｎ－１时为真，对于ｎ，假设ａｎ≥ａｎ－１≥…≥ａ２≥ａ１≥０．又设ａ＝１ｎ－１
１
" ｘ，ｉｉ＝１ｎ－１ｉｎ
ｉ＝１ｂ＝１（ｘｎ－ａ），故有ａ，ｂ≥０及（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ" ｘ$＝
＝ｘｎ１" ｘｉ＝１ｎ－１ｉ&≥ｘｎ－１ｎ（ｘ１ｘ２…ｘｎ－１）ｎ即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ≥’１２ｎ（ｘｉ≥０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．
２利用不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）
ｎ证明：设Ａｎ＝ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ，Ｇｎ＝’１２…ｎ（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）由不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）可知，
ｘｉ－１对于每一ｉ，有ｅｘｐ≥ｘｉｎｎ&
求乘积，得
１＝(ｅｘｐ
ｉ＝１ｎｘ－１＝ｅｘｐｎ$ｘ－１≥ｘ＝Ｇ(%$$" $ｎｎｉｉｎｎｉ＝１ｎｉ＝１ｎ
ｎ故Ａｎ≥Ｇｎ，即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ≥" １２…ｎ（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．３利用泰勒公式
证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（０＜ａ＜１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝１＞０，将ｆ（ｘ）在点ｘ处展开，有０（ｘ）（（ｘ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆ″ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋ｆ′ｘ－ｘ０）２，! ＝ｘ０＋" （ｘ－ｘ０）（０＜" ＜１）
因此有ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０），
取ｘ０＝１ｎ
#ｘ（ｘ∈（ａ，ｂ），（ｉ＝１，２，…，ｎ），ｉｉ
ｉ＝１
则有ｆ（ｘｉ）≥ｆ１
ｎ
故
即ｎ’%ｘ(&ｘ－%ｘ(ｉ＝１２１１１＋ｆ′＋&＝ｎｆ%ｆｘ≥ｎｆｘ(ｘ(ｘ－%ｘ(%%%%ｘ(１ｆ≤１%ｆｘ．ｘ(%ｘｉ＋ｆ１%ｉ＝１ｎｉｎｎｎｉｉｉ（，，…，）ｉ＝１ｉ＝１ｎｎｎｎ（ｉ）ｎｉ＝１ｉｉｉｉｉ＝１ｉ＝１ｉ＝１ｉ＝１ｉ＝１ｎｉ（ｉ）
ｉ＝１ｉ＝１
因此有ｌｏｇａ１（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）≤１（ｌｏｇａｘ１＋ｌｏｇａｘ２＋…ｌｏｇａｘｎ）即１ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≥ｌｏｇａ１（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１
≥１ｌｏｇａ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）（０＜ａ＜１）ｎ故有ｘ＋ｘ＋…＋ｘ≥" １２…ｎ（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．４利用函数凹凸性
证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（ａ＞１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝－１＜０，故ｆ（ｘ）是上凸函数，因此有%ａ
ｉ＝１ｎｉｆ（ｘｉ）≤ｆ&%ａｘ(ｎｉｉ
ｉ＝１，取ａｋ＝１（ｋ＝１，２，…，ｎ），有１（ｌｏｇｘ＋ｌｏｇｘ＋…ｌｏｇｘ）≤ｌｏｇ１（ｘ＋ｘ＋…＋ｘ）ａ１ａ２ａｎａ１２ｎ即１ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≤ｌｏｇａ１（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１
≤ｌｏｇａ１（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）ｎ故有ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ≥" １２ｎ（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．