龙卷风等旋转流体的受力分析

龙卷风等旋转流体的受力分析

一、 摘要：

本文通过实物试验，和数值模拟验证了龙卷风的双漏斗对流结构的可行性。实物试验包括密闭容器中旋转液体的受力试验、密闭容器中旋转流体的出流试验，达到了模拟龙卷风漏斗形结构的目的。通过数值模拟试验，验证了实物试验与理论之间的正确关联，并且实现了将水模型与气体模型间的移植。实物试验中我们主要用到的是水的漩涡模型。流体的数值模拟我们主要用的是fluent 的二维单精度求解器，和三维双精度求解器。采用VOF 多相流模型求解，然后得到了试验各部分的压力、密度等数据。最后我们阐述双漏斗对流模型的结构，并对龙卷风的一些自然现象作出解释。

关键词：对流双漏斗结构，实物试验，数值模拟

二、引言：

如果说物质的绝对运动是宇宙中普遍存在的规律，那么物质的旋转运动，就是宇宙中物质运动的普遍运动方式。从微观的原子到宏观的宇宙天体，从自转到公转，各种各样的物质，都在做旋转运动。不同物质的旋转运动规律不同，但不同物质之间又存在着联系。本文以龙卷风为主要研究对象，研究旋转流体的运动规律。

大自然里的龙卷风诞生在雷雨云里。在雷雨云里，空气扰动十分厉害，上下温差悬殊。在地面，气温是摄氏二十几度，越往高空，温度越低。在积雨云顶部八千多米的高空，温度低到摄氏零下三十几度。这样，上面冷的气流急速下降，下面热的空气猛烈上升。上升气流到

达高空时，如果遇到很大的水平方向的风，就会迫使上升气流‚倒挂‛(向下旋转运动) 。由于上层空气交替扰动，产生旋转作用，形成许多小涡旋。这些小涡旋逐渐扩大。上下激荡越发强烈，终于形成大涡旋。大涡旋先是绕水平轴旋转，形成了一个呈水平方向的空气旋转柱。然后，这个空气旋转柱的两端渐渐弯曲，并且从云底慢慢垂了下来。对积雨云前进的方向来说，从左边伸出云体的叫‚左龙卷‛，从右边伸出云体的叫‚右龙卷‛；前者顺时针旋转，后者反时针旋转。伸到地面的一般是右龙卷，左龙卷伸下来的机会不多。

龙卷风的范围小，直径平均为200-300米；直径最小的不过几十米，只有极少数直径大的才达到1000米以上。它的寿命也很短促，往往只有几分钟到几十分钟，最多不超过几小时。其移动速度平均每秒15米，最快的可达70米；移动路径的长度大多在10公里左右，短的只有几十米，长的可达几百公里以上。它造成破坏的地面宽度，一般只有l-2公里。

在世界上的某些国家中，龙卷风带来的损失十分巨大。然而，龙卷风的寿命十分短暂，并且不能准确判断出产生地点，所以收集龙卷风本身就是一项难题，认识龙卷风更是人们迫切的愿望。

三、概述：

龙卷风的受力分析, 我们从以往对龙卷风的认识, 了解到龙卷风是由对流天气引发的小型天气系统，拥有极高的旋转速度。以往对龙卷风的认识，成功的解释了部分自然界中龙卷风的现象，但在诸多领域中，龙卷风依然存在着很多位臵的问题。

由于观测龙卷风是在拥有先进设备，和大量人力物力的前提下才能进行的工作，所以对于龙卷风测量数据的采集，我们多数参考书籍和论文。但是这并不对我们研究龙卷风造成影响 。

认识龙卷风，可以从生活中取材。一般龙卷风中的介质，来源于地面的热空气，和高空云层中的寒冷的冰晶、水蒸气。存在着温度，质量，密度等方面上的差距。但是龙卷风形成后所产生的漏斗形结构，却是生活中很常见的一中漩涡结构，利用水可以轻易的模拟。

要搞清楚龙卷风的结构，和其中的压力状况。我们必须先弄清楚龙卷风的形成动力源，和形成条件。所以我们用水为材料，分别做了两组实际试验，和数值模拟试验，来验证我们的龙卷风模型。第一个试验是密闭容器中旋转液体的受力试验，目的为了论证龙卷风的形成条件，同时为了与第二个试验做对比，解释说明在旋转状态下会加速气体或液体的对流。第二个试验是密闭容器中旋转流体的出流试验，目的是为了论证龙卷风的形成原因，形成过程，以及对龙卷风漏斗形结构的解释。最后我们陈述出我们自己的龙卷风模型，并用数值模拟得出龙卷风内部的压力，并用我们所建立的模型来解释一些龙卷风的自然现象。

四、密闭容器中旋转液体的受力试验

4.1实物试验

实验材料:圆形水瓶一个, 蓝色染色液, 刻度尺。

实验测量:测量水瓶的长度180mm ，水瓶直径70mm 。

实验步骤：向水瓶中加入一定量的水，使水平面刚好到达水瓶高

度的三分之一处，加一定量的染液，分别以不同的转速档旋转，观察瓶内液面形状以及液面深度。根据实验我们得到一下数据。

由于测量器械上的限制，rh 的大小x 应在以上数据上加减2，即： rh =x i ±2(i =1,2 5)

试验示意图如图1：

图1

4.2试验的理论分析

装有液体的容器绕垂直轴z 以角速度ω旋转。液体被容器带动而随容器旋转。待稳定后，液面呈现如图所示的曲面，液体如同刚体一样旋转，形成液体对容器的相对平衡。在这种情况下，除了重力以外，液体所受质量力还有因等角速度旋转运动而产生的离心惯性力，单位质

2ω量所受惯性力，单位质量所受惯性力的大小为：r ，其方向与向心

加速度相反。因此，液体中任一点单位质量流体所受质量力为：

f x =ω2x , f y =ω2y , f z =-g

代入式dp =ρ(f x dx +f y dy +f z dz ) 中得：

dp =ρ(ω2xdx +ω2ydy -gdz ) 或：p =ρ(ω2x 2

2+ω2y 2

2-gz ) +

C

r =式中：r 为液体中任意点到旋转轴的距离。

利用边界条件：r=0,z=0时，p =p 0, 可求得积分常数C =p 0，因此可得压强分布公式 ：

p =p 0+ρ(ω2r 2

2-gz )

该式表明，在同一高度上，液体的静压强与质点所在地半径的平方成正比。

将质量历代汝等压面方程式f x dx +f y dy +f z dz =0中，得

ω2xdx +ω2ydy -gdz =0

积分得：

ω2x 2

2+ω2y 2

2-gz =C ω2r 2

-gz =C 2或：

此方程是抛物面方程，不同的常数C 代表不同的等压面。故等角速度旋转容器中液体相对平衡时，等压面是一簇绕z 轴的旋转抛物面。 在页面上，r=0，z=0时，积分常数C=0；若令液面上任意点的垂直坐标为z s ，则液面方程为：

ω2r 2

2-gz s =0

将上式代入到p =p 0+ρ(ω2r 2

2-gz ) 中得到：

p =p 0+ρg (z s -z ) =p 0+ρgh

可见，式p =p 0+ρg (z s -z ) =p 0+ρgh 和p =p 0+ρgh 相同，表明液体内任意点的压强p , 也等于作用于该点处淹深为h 的单位面积上的液柱受重力作用所产生的压强ρgh 与由液面上的压强p 0之和。换言之，自由液面线共深度的面为等压面。

4.3数值模拟：

在100KPa 初始压力的情况下，vof 模型属于非稳态湍流，考虑不可压缩流动，湍流时均控制方程：

∂(ρu i ) ∂(ρu i u j ) ∂p ∂+=-+∂t ∂x j ∂x i ∂x j ⎡⎛∂u ∂u j 2∂u ⎫⎤∂i +2-δij k ⎪⎥+(-ρu i u j ) ⎢μ ⎪⎢⎣⎝∂x j ∂v 3∂x k ⎭⎥⎦∂x j 由于控制方程不封闭，故使用k-epsilon(2eqn)求解器。

边界条件：入口条件，出口条件，轴线上边界条件，固体壁面条件。其中壁面设为旋转壁面（rotational ），且壁面上满足无滑移条件，近壁区采用标准壁面函数法处理。

我们得到了预期中的结果，旋转抛物面结构如图2：

图2

得到的结果, 与实际结果基本一致, 根据实验和公式推导我们不难得出这样的结论：在这样一个，容器当中液体的旋转深度随旋转速ω2r 2

度的加快而变深即：2-gz s =0。自然界的龙卷风，也是如此，即只有达到一定的旋转速度，龙卷风才会形成，龙卷风尾部才会到达地面从而造成地面上的灾害。所以下一步我们要研究的就是龙卷风要到达地面需要的旋转速度。

五、 密闭容器中旋转流体的出流试验

5.1实物试验

龙卷风是由强烈对流引发的天气系统。所以龙卷风模型首先应该是对流模型。

实验设计： 1

在一体积固定的容器中装入一定量的液体（体积在容器的2以上），给容器旋转速度带动液体旋转，放开容器出口，使液体受重力从出口流出，观察现象, 如图3。

图3

通过观察，我们得到了我们想要的结果：漏斗形结构。本实验用例实质上是水漩涡，与龙卷风的动力源不同，水漩涡的动力是重力。从能量转化方面讲水漩涡是由重力势能转化为动能。但是在结构方面却和龙卷风十分相似。

5.2理论分析：

根据能量守恒、动量守恒我们：

∂(ρE ) +(ρVV ) =-∇p +∇ (τ) +ρg +F ∂t

∂(ρE ) +∇ (V (ρE +p )) =∇ (k eff ∇T -∑h j J j +(τeff V )) +S h ∂t j

结合出口条件，我们得到了漏斗形结构的形成和密度，压力（龙卷风上下气压差），出口直径，旋转速度之间的关系：

F +∑d i p (

i 1111+ρ1g ) -∑d i p (+ρ2g ) =∇ (+p ) -ρv ρv ρ2v ρ1F i

我们计算出：在大气压100KPa ，上下气压力差47。3KPa 在，龙

3ρkg /m 1卷风底部直径d 为50m ，空气密度为1。293，云柱区域密度ρ2

3kg /m 为1。8。不考虑温度影响的情况下，要形成能到达地面的龙卷

风，水平线速度v 要达到：至少150m /s 。

5.3漏斗形液体的数值模拟：

控制方程：

在100KPa 的大气压，流口直径0。6毫米。管口直径2。6毫米，的情况下，根据计算可得流口处流动为湍流，考虑到不可压缩流动，湍流是均控制方程用张量表达形式表示如下：

∂u ∂∂1∂p ∂(ρu i ) =0, i +(u i u j ) =-+∂x i ∂t ∂x j ρ∂x i ∂x j ⎛∂u i ⎫'v -u i u 'j ⎪ ∂x ⎪j ⎝⎭

VOF模型：

使用精度高的Geo-Reconstruct 格式，并选择k-epsilon （2eqn ）模型，选用标准的k -ε双方程湍流模型。输运方程的张量形式如下：

∂(ρκ) ∂(ρκu i ) ∂∂κ+=ακμeff +G k +ρε∂t ∂x i ∂x ∂x j

∂(ρε) ∂(ρεu i ) ∂+=∂t ∂x i ∂x j ⎡∂κ⎤ε2⎢ακμeff ⎥+G κ-ρ∂x j ⎥κ⎢⎣⎦

边界条件:压力入口，压力出口，轴上边界条件，固体壁面条件：避免上满足无滑移条件，近壁区采用标准壁面函数法处理。

5.4数值模拟分析：

由于采用的是VOF 模型，设臵的时间步长为0。002s ，总的迭代步数为1000步，每隔100个时间步保存一次data 文件。故我们根据所设定的边界条件得到了旋转流体的压力，速度，密度等数据共20组。副表内是绘制成的密度云图，随着时间的变化，液面呈漏斗形结构，这与实际试验，理论分析完全相符。证明了我们理论的正确性。图4是液体旋转漏斗形结构完全成形时的密度云图, 见图4。

图4

对各个部分的压力图如图5所示：

图5

5.5试验结果分析：

相比较于孔口出流模型，旋转流体的出流模型，在出口上压力明显变小，流速变快。

六、 传统漏斗形结构的解释

漏斗形结构的解释，含有气压梯度力、惯性离心力和粘性力得近似的大气动力学和热力学方程组的柱坐标(r , z , ) 形式为：

⎧dv v 21∂p '+F r ⎪r -θ=-dt r ρ∂r ⎪0⎪dv v v '⎪θ+θr =-11∂p +F θr ρ0r ∂θ⎪dt ⎪1∂p 'T '⎪dv z =-+g +F z ⎨ρ0∂z T 0⎪dt

⎪d ⎛T '⎫N 2⎪ ⎪+v z =F T dt T g ⎪⎝0⎭⎪⎪1⎛∂rv r +∂v θ⎫+∂v z =0 ⎪⎪r ∂r ∂θ⎝⎭∂z ⎩

（1） 其中v r =dr d θdz , v θ=, v z =dt dt dt 分别为径向、切向和垂直方向的速度ρo , T o 和p o 为基本场的密度、温度和气压；p ', T '为扰动气压和扰动温度。F r , F θ, F z , F T 分别为三个方向(r , θ, z ) 的粘性力和热传导项。N 为浮力频率d ∂∂V r ∂∂=+V r ++v z dt ∂t ∂r r ∂θ∂z

∂=0漏斗形结构是轴对称的，取∂θ轴对称对于摩擦的作用，我们取

一般的力学模型处理，即设(F r , F θ, F z ) =-v (V r , V θ, V z ), F T =-k T '

T 0若设V r , V θ只

T '

和r 有关，V z 只和z 有关，T 0随着r ，z 变化很小，则方程组变成 ∂V r V θ21∂p 'V r -=--UV r ∂r r ρ∂r o

（2）

（3） V z V r ∂V r V θV r +=-UV θ∂r r ∂V z 1∂p 'T '=-+g -UV z ∂z ρo ∂z T 0

（4） 1∂rV r ∂V z +=0∂z r ∂r

（5） N 2T 'V z =-κg T 0

（6）

其中，v , κ, g 分别是粘性系数、导热系数和重力加速度。方程（2）、

V θ2

（3）、（4）主要反映的是气压梯度力、粘性力和惯性离心力r 项的三力平衡，当然还有非线性平流项；方程（5）反映了r,z 方向的不可压缩性质；方程(6)反应浮力和热传导的平衡

从整体上, 龙卷风具有强烈的辐合上升运动, 并产生气旋式的旋转。 这种整体结构可以由方程组（2）~（6）加以定性解释。 根据连续性方程(5) ,由于水平辐合 由于地面D =∂V z 1∂rV r 0r ∂r ∂z ，则。由于地面V z |z =0=0, 所以产生上升运

2动。 由热力学方程(6) , 由于处于极不稳定的大气层结中N

为V z >0, 所以, T '>0 ，即内部为热的中心。 由(3)式

V r (1∂(rV θ) ) =-UV θr ∂r ，即V θζ=-UV θ因此, 北半球的逆时针向内旋转运动V θ>0, 且向中心运动V r 0, 即气旋性涡度。由（2）式看出，r 方向基本上是离心力和气压梯度力相平衡而形成的旋转风, V θ21∂p '∂p '-=->0r ρ∂r ∂r o 即，所以有这表示中心是低气压。这种分析说明, 方程组(2)~(6) 描述龙卷风是比较合适的。

为了求解方程组(2)~(6) ,了解对流云底产生的漏斗结构, 我们设对流云底为z =0 (云以下z

V z =2az (a >0, z

（7）

式中a 是一个正的常数, 将(7) 式代入连续方程（5）连续得到：

1∂rV r +2a =0r ∂r

rV r =-2a ⎰rdr =-ar 2

由此得出：

V r =-ar （8）

（8）式就是漏斗云内的径向速度场, 即径向风速的数值在中心附近随中心距离的增大而增大。 将(8) 式代入(3) 式得到

1∂rV θU U =-=rV θ∂r V r ar '

从而得到

V θ=br U -1a

若取黏性系数U =2a , 则

V θ=br , (9) 式中, b是一个积分常数, (9) 式就是龙卷风的切向速度场, 它表示θ=b , 即龙卷风漏斗云的旋转角速度为常数, 这是最简单的一种情形。

将（7）、（8）、（9）三式归纳在一起, 就是龙卷风漏斗云的三维速度场

V r =r =-ar （10a ）

V θ=r θ=br ,(a >0, b >0) （10b ）

V z =z =2az （10c ）

其中‘〃’代表对时间的微商。 也可以换为直角坐标系, 因为

+yy +rr =-ar 2, xx

从而得到：

=(x 2+y 2) x =-(ax +by ) r 2 r 2x

=(x 2+y 2) y =(bx -ay ) r 2 r 2y

所以, 龙卷风漏斗云三维速度场的直角坐标形式为

=(bx -ay ) r 2y

=-ax -by x

=-ay +bx y

=2az z

（11）

从(11) 式的三维速度场来看, 龙卷风的速度场可以看成是无涡

1, y 1, z 2, y 2, z 1) 2) 度急流(x 和无散度的涡度场(x 的叠加, 即

1=-ax ⎧x ⎪ 1=-ay ⎨y

⎪z ⎩ 1=2az 2=by ⎧x ⎪ 2=bx ⎨y

⎪z ⎩ 2=0

（12）

急流场使云底(z =0) 诱发的垂直速度的数值向下不断增加, 加上云滴的蒸发冷却使下沉运动得以维持 ,而涡度场使气流不断发生旋转。

两者叠加的结果使龙卷风产生从云底向地面的强烈旋转运动, 下面我们找出空间位臵(x , y , z ) 随时间t 的变化规律, 以便了解龙卷风的漏斗结构。 由（10a ）式得到

-at r =r e 0 (13)

其中r 0 为龙卷风的初始旋转半径。 (13) 式说明, 龙卷风的旋转半径随时间增加而不断减少, 这是漏斗结构的最基本情况。由(10b) 式得到从而得到

θ=b

（14）

(14) 式说明漏斗云以角速度b 作逆时针旋转。将(13) 和(14) 式化成直角坐标并积分(10c) 式得到

-yx =r 2θ=br 2 xy

x (t ) =r cos θ=r 0e -at cos bt

y (t ) =r sin θ=r 0e -at sin bt

2at z =e -1≈2at

（15）

(15) 式就是三维物理空间(x , y , z ) 以t 为参数的龙卷风漏斗结构的参数方程。其轨道见图2（z = 0 在对流运底, 漏斗v z

（16） rV r =-∂ψ∂ψ, rV z =∂z ∂r

将（10）式代入（16）式很容易求得：

2ψ=ar z

（17）

由（17）式看出，在平面(r , z ) 中，流函数ψ的等值线成漏斗状。

七、 龙卷风模型的解释及推导过程

7.1模型介绍：

通过对实验的充分认识，和对以往龙卷风模型的认真分析，我们建立出新型的龙卷风模型，龙卷风的双漏斗对流结构。

模型假设：

我们所要建立的模型是在20︒C ，高度5000米以下的由雷雨云所形成的龙卷风。

龙卷风云柱是由空气对流、气压拉力在高空云层与地面间拉扯形成的通过水平风力的推动，带动旋转，由于气压动力源的存在，压力势能主机转化为旋转动能，不断向下延伸，直到到达地面为止。

龙卷风分三层最外层是云柱区，是由高空中云或冷空气所形成，受气压和重力影响，向下运动，并作水平旋转运动。中间一层是受对流影响而向上运动的热空气，再向上运动的同时作和冷空气相同方向的水平旋转运动。最内层实质上是中间层的一部分，但是由于旋转速度很大，本身热空气密度计很小, 再加上外部密度大的云柱对内部的束缚作用，所以最内层由于旋转的离心力而形成了气压很低的低气压旋转区。

在龙卷风的高空云层处，存在着龙卷风的冷空气进口和热空气出

口的平衡系统，如图6、7所示，冷空气和热空气在龙卷风体内旋转方向相同，只不过在出口和入口出看似方向不同，但在这里要注意，他们的旋转方向相同。

图6 图7

同样在近地面区域存在着龙卷风的热空气进口和冷空气出口的平衡系统，并且在地面的影响下，显得更为复杂，在这里我们先不考虑地面对龙卷风出口与进口的影响。

龙卷风的树漏斗形三维结构示意图如图8：

图8

7.2龙卷风的数值模拟：

首先用gambit 建立龙卷风模型，如图9所示：

图9

上面的三个圆环从外到内名称及边界条件依次设定为：

(top2,pressure-inlet)

(top3,pressure-oulet)

(top4,outflow)

下三个圆环从外到内设定为：

(bot3,pressure-outlet)

(bot2,pressure-inlet)

(bot1, outflow)

三个侧面从外到内名称分别设定为：side2,side3,side4边界条件均设定为wall,side2设定为rotational wall旋转角速度设定为2rad/s。

我们用三维双精度求解器来求解龙卷风多项流模型。用Large Eddy Simulation（LES ）求解器求解。

边界条件：两个压力进口，分别是冷空气进口和热空气进口，同样两个压力出口，分别是冷空气压力出口和热空气压力出口。设定的旋转壁面的直径d=150m,所以当角速度ω=2rad /s 时，线速度为v =300m /s 。已经达到龙卷风在近地区域的平均风速。

控制方程：

用有限体积法一般形式的控制微分方程在控制体积内积分，也就是求解几分形式的守恒方程：

⎰∂(ρφ) d Ω+⎰∇ (ρφV ) d Ω=

Ω∂t Ω⎰∇ (Γφ∇) d Ω+⎰Sd ΩΩΩ

利用高斯散度公式转化为：

⎰∂(ρφ) Ω+⎰n (ρφV ) dA =n (Γφ∇) dA +Ω

Ω∂t Ω⎰Ω⎰Sd Ω

将边界条件代入到纳维尔-斯托克斯方程

∇2=∂2∂2∂2

∂x 2+∂y 2+∂z 2

⎧⎪∂u x +u ∂u x +u ∂u x +u ∂u x du x 1∂p 2

⎪∂t x ∂x y ∂y z ∂z =dt =f x -ρ∂x +v ∇u x

⎪⎨∂u y +u ∂u y ∂u y ∂u

⎪∂t x ∂x +u y ∂y +u y

z ∂z =du y

dt =f 1∂p

y -ρ∂y +v ∇2u y

⎪⎪∂u z

⎩∂t +u ∂u z

x ∂x +u ∂u z

y ∂y +u ∂u z

z ∂z =du z

dt =f 1∂p

z -ρ∂z +v ∇2u z

最后得到双漏斗对流结构的龙卷风模型结果。

下面是模拟结果的速度矢量图，见图10、图11：

图

10

图11

7.3结论分析：

表1是经过模拟后所得到的各个边界面上的压力、粘力、总力、压强系数、粘性系数、总系数。单位（标准国际单位）

表1

图12

由于对三维双精度模型进行计算，所得结果的数据量相当的庞大，所以我们只在少数几个面上做压力的结果分析。图12为side2面上所得的压力图。这张图表是的是虽这y 轴上，即竖直方向上高度的变化，side2面上压力大小的变化。根据图像所反映的，我们了解到在下方一定区域内压力值呈线性变化，为降低趋势，当达到一定高度后，由于热空气压力出口的原因，压力增大 。这也就是龙卷风呈漏斗形的一方面原因。

7.4用我们所建立的模型对实际现象的解释分析：

图13

经过对多个龙卷风进行分析后，我们仅以此为例解释龙卷风的现象。由此图片我们看到龙卷风在近地面区域形成的飞溅状尘埃。根据传统的对龙卷风的认识，很难解释这一现象。

而这一现象实质上是龙卷风的漏斗形结构在近地面由一个压力出口和一个压力进口所导致的。我们绘制出简易的结构示意图如下：

图14

最外层的云柱区在到达地面后垂直流动方向是向地面流动的，是压力出口，而热空气是由地面流向空中的，是压力进口。所以热空气在下，冷空气在上，热空气带动地面，同时由于巨大转速所产生的低气压，尘埃被吸入龙卷风，同时冷空气在上向下排出，冷热空气在近地面相遇及形成如图所示的结构。

根据我们所建立的模型，龙卷风强大的吸力，并不仅仅是因为旋转所产生的低气压，同时还是因为，在近地面由热空气向龙卷风内部流动所产生的巨大压力。

八、 附录：

九、 参考文献：

[1]Liu S K, Fu Z T , Liu S D , et al。 A theory on the funnel structure of tornado 。 Chinese J 。 Geophys 。 (in Chinese) ,2004 ,47 (6) :959～963

[2]周章根, 马德毅 基于Fluent 的高压喷嘴射流的数值模拟机械制造与研究2010 61-62

[3]于勇，张俊明，将连田 FLUENT入门与进阶教程 北京理工大学出版社 2008 159-173

[4]贾月梅 赵秋霞 赵广慧 流体力学 国防工业出版社 2006 125-137