第六章 质点组动力学
思6.1答：这个说法不对。应注意质心是空间的一个位置矢量为r C =m r 的几何点，质i i
M
图
s6.1 心速度为几何点的速度，并不是位于质心处的质点的速度。O 为固定点，只说明位于O 的质点速度为零，此时质心速度并不为零。
思6.2答：从本质上说， 质心是一个空间几何点，不是一个具有一定质量的质点。另一方面，我们为了使质点组整体运动的图像比较清晰和简化动量、角动量、动能的计算，我们假想一个质量为M =∑m 的质点位于质心，具有速度υ。这个假想质点的运动遵从质心运i c 动定理，它的动量即为质点组的总动量，它对固定点的角动量为r c ⨯M υc ，并具有动能1M υc 。引入假想质点是一种手段，它不反映问题的实质，所以并不意味着真有一个质点2
位于质心。
思6.3解：系统质心即为球心，按定义可知系统总动量 p =m υ
思6.4答：由于半圆柱在水平方向不受力，质心的初速度为0，所以质心C 的运动轨迹是一
条沿竖直方向的直线。
图
s6.4
思6.5答：初始时系统对Oz 轴的总动量L z =0，从开始跑动后，人绕Oz 轴作圆周运动，
角速度为ω1=ω1k ，盘则沿相反的方向转动，其角速度ω2=-ω2k 。圆盘
开始转动后，系统受轴承施与的摩擦力矩M z >0(系统所受其余外力对Oz
图s6.5 轴力矩均为零) 。在外力矩M z 的作用下，系统动量矩L z 由零开始逐渐增大，
到人停止跑动之时，L z 达最大值。人在停止跑动过程中，圆盘也逐渐停止
转动，人停止跑动后，人与盘一起将继续沿人跑动的方向绕Oz 轴转动。人停止跑动后，圆盘的转动方向改变了，所以受到的摩擦力矩的方向也变为M z '
的作用下，总角动量逐渐减小而趋向于零，因此，人与圆盘一起将逐渐趋于静止。
思6.6答： 由于圆盘与轴间的相互作用比较复杂, 把轴包括在质点组内, 这样轴和盘之间的相互作用就可看作是内力。
思6.7答：当轴承处无摩擦力时，系统所受外力对Oz 轴力矩为零，所以系统对Oz 轴的角动量守恒。所以人走盘动，人停盘停。
思6.8答：这两者并不矛盾。
以人、盘、轴为质点组。质点组角动量的变化与内力无关， 但质点组间的各质点之间可以进行动量变换。人与盘运动状态的改变即是由人与盘之间的动量变换引起的，而质点组间各质点之间的动量变换是由质点组的内力引起的。
思6.9证：由p =∑m υ i i
=M υc
可知υc =0
对惯性系中的任一固定点O ，L 0=r c ⨯M υc +L ' =L '
均等于质点组在质心系中对质心的角动量。
思6.10答：这种说法不对。啮合之后，轮1的角速度ω1=ω
2k ，而轮2的角速度ω2=-ω
2k ，
转动方向不同，在计算系统角动量时，要对同一条轴线进行计算，同时
注意轴矩为代数量，故啮合后系统对O 1z 轴角动量为
L 2z =I ⋅ω
2-I ⋅ω
2=0。可见角动量不守恒，在啮合过程中总角动量由
L 1z =I ω变为L 2z =0，变化的原因是在啮合过程受到外力矩的作用。应
图s6.10 注意在计算外力矩时，也必须对计算角动量的同一条轴线进行计算。在啮合时，轮1和轮2的接触部分有力相互作用，所以此时轮轴对轮的支持力不再沿铅直方向，N 1向左，N 2向右偏斜，因此在啮合过程中，N 2对O 1z 轴的力矩为一负数，正是在这个外力矩的作用下，系统对O 1z 轴的角动量由I ω变为零。
思6.11证：以两球及杆为系统，质心位于杆的中点。 初始时，球1速度为υ0，球2静止，故初始时质心速度υC =1υ0，由于系统所受外力矢量和为零，根据质心运动定理可知质心C 2
以υ0作匀速直线运动。因为系统所受对质心C 的外力矩矢量和为零，根据2对质心的角动量定理可知系统对质心的角动量为常矢量
图s6.11 足关系式υC =υυl l 1L ' =L ' t =0=-⋅m ⋅0k ' -⋅m ⋅0k ' =-lm υ0k ' 22222其中m 为小球质量，l 为杆长 所以系统绕质心旋转的角速度为常矢量，ω=-υ0l k ' ；而且ω与υC 之间满l l ω。因此小球的运动情况与半径为，轮心速度为υC ，沿直线轨道作无滑22
动的车轮边缘上一点的运动情况相同，故小球的轨迹为旋轮线。
思6.12答：不是。这个摩擦力f 对自行车不做功，因为无滑动。
思6.13答：不能成立。因一般的动坐标系不具有质心系的特点
υi =υC +υi' （平动） 和
∑m r ' =∑m υ' =0 （原点为质心） i i i i
思6.14答：系统为小球和杆，系统受的外力有小球的重力，杆的重力，水平轴在O 点对杆
的约束力N 0。一般情况下系统在O 点所受外力不沿铅直方向，所以系统
所受外力的矢量和不为零，所以动量不守恒，沿水平方向动量也不守恒。
在碰撞的一瞬间，可以认为小球和杆受到的重力作用线通过O 点，所
以系统所受对O 点的外力矩矢量和为零，因此系统对O 点的角动量守恒。
因碰撞是完全弹性碰撞，所以碰后小球与杆均不变形，系统内力做功
之和为零，碰撞过程中外力（N 0与重力）均不做功，可见系统机械能守
图
s6.14
思6.15答：上述看法不对。A 点原来有速度，在外力F 的作用下，要使A 点速度为零，则恒。
A 点在外力的方向上一定有位移d r A 。一般d r A 很小，但F 很大，
图
s6.15
F ⋅d r A 不能忽略，在本题讨论的极限情况下d r A →0，F →∞ ，但仍有F ⋅d r A ≠0。因此杆的机械能不守恒。