第六节 向心加速度
【知能准备】
1．加速度是表示的物理量，它等于v 0表示初速度，v 表示末速度，则速度变化量Δv = 。加速度公式a = ，其方向与速度变化量方向 。
2．在直线运动中，取初速度v 0方向为正方向，如果速度增大，末速v 大于初速度v 0，则Δv =v －v 00（填“>”或“
3．在曲线运动中，速度变化量Δv 与始末两个速度v 0、v 的关系：_____________________________。 4．在圆周运动中，线速度、角速度的关系是 【同步导学】
1．研究匀速圆周运动向心加速度的方法
(1) 观察分析自然现象以及日常生活中的匀速圆周运动实例，研究做匀速圆周运动的物体的受力情况，将牛顿第二定律迁移到匀速圆周运动这一曲线运动中来，获得向心加速度的大小和方向。
(2) 根据加速度的定义a =
∆v
，求出匀速圆周运动中速度的增量Δv 的大小和方向，运用微积分的思∆t
想，求出向心加速度的大小和方向。
2．曲线运动速度增量Δv =v 2-v 1的求法
(1) 将矢量减法转化为矢量加法计算：如Δv 2=v 2-v 1=v 2+(-v 1)(-v 1就是与矢量v 1大小相等方向相反的量) ，运用平行四边形法则可以求得。
(2) 矢量三角形法：将表示v 1、v 2的两个矢量，保持原来的大小和方向，使它们的始端重合，然后从初态矢量v 1的箭头端向末态矢量v 2的箭头端做一有向线段，此有向线段就是所要求的矢量Δv =v 2-v 1。
3．向心加速度
⑴ 定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
⑵ 方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻在改变，不论加速度a n 的大小是否变化，a n 的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速度的运动。
⑶ 几种表达式：
v 2除了教材P51介绍的a n =、a n =r ω2外，向心加速度还有另外几种形式：
r
4π22π2
联系ω==2πf ，代入a n =r ω可得：a n =2r 和a n =4π2f 2r ，再根据v =ωr可得：a n =v ω
T T
至此，我们常遇到的向心加速度表达式有以上五种。
由向心加速度的表达式和匀速圆周运动的特点可知：匀速圆周运动是一个加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动。
例1 一质点沿着半径r = 1 m的圆周以n = 1 r/s的转速匀速转动，如图，试求： (1) 从A 点开始计时，经过1s 的时间质点速度的变化；
4(2) 质点的向心加速度的大小。 解析 (1) 求出
1
s 的时间连接质点的半径转过的角度是多少；
4
（例1）
(2) 求出质点在A 点和
1
s 末线速度的大小和方向。 4
(3) 由矢量减法作出矢量三角形。
(4) 明确边角关系，解三角形求得Δv 的大小和方向。
v 2
(5) 根据a n =或a n =ω2r 求出向心加速度的大小。
r
答案 (1)Δv =22π m/s 方向与OA 连线成45°角指向圆心O (2)a =4π2m/s2 例2 一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R ，向心加速度为a ，则（ ） A ．小球相对于圆心的位移不变 B ．小球的线速度为Ra
C ．小球在时间t 内通过的路程s =a /Rt D ．小球做圆周运动的周期T =2π
R /a
解析 小球做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变
v 2
由a =得v 2=Ra ，所以v =Ra ， 在时间t 内通过的路程s =vt =t Ra
R
做圆周运动的周期T =答案：BD ⑷ 物理意义：
因为向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变其大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量。
例3 关于向心加速度，下列说法正确的是（ ） A ．它是描述角速度变化快慢的物理量 B ．它是描述线速度大小变化快慢的物理量 C ．它是描述线速度方向变化快慢的物理量 D ．它是描述角速度方向变化快慢的物理量
解析 (1) 从匀速圆周运动的特点入手思考，匀速圆周运动其角速度不变，线速度的大小不变，线速度方向总是与半径垂直在不断变化，半径转过多少度，线速度的方向就改变多少度。故答案为C
2π
=
2πR 2πR
==2πv Ra
R
a
v 2
思考 从公式a n =看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式a n =r ω2看，向心加速度与半
r
径成正比，这两个结论是否矛盾？
v 2
分析 我们注意到，在公式y =kx 中，说y 与x 成正比的前提条件是k 为定值。同理，在公式a n =中，
r
当v 为定值时，a n 与r 成反比；在公式a n =r ω2中，当ω为定值时，a n 与r 成正比。因此，这两个结论是在不同的前提下成立的，并不矛盾。
思考 如图1所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A 、B 、C
。其中哪两点向心加速度的关系适
（图1）
用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？作出解释。
v 2v 2
分析 大、小齿轮用链条相连，因此两轮边缘上的点线速度必相等，即有v A =v B =v 。又a A =，a B =，
r A r B
所以A 、B 两点的向心加速度与半径成反比。
小齿轮与后轮共轴，因此两者有共同的角速度，即有ωB =ωC =ω，又a B =r B ω2，a C =r C ω2，所以B 、C 两点的向心加速度与半径成正比。
4．匀速圆周运动的向心加速度的大小与线速度、角速度、圆周半径的关系。
v 21
(1) 由a n =知：r 一定时，a n ∝v 2；v 一定时，a n ∝；a n 一定时，v 2∝r ；
r r
(2) 由a n =r ω2知：r 一定时，a n ∝ω2；ω一定时，a n ∝r ，a n 一定时，ω∝
2
1
。 r
例4 如图所示为质点P 、Q 做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P 的图线是双曲线，表示质点Q 的图线是过原点的一条直线。由图线可知（ ）
A ．质点P 线速度大小不变 B ．质点P 的角速度大小不变 C ．质点Q 的角速度随半径变化 D ．质点Q 的线速度大小不变
（例4）
解析 根据图象提供的曲线的性质建立起质点做匀速圆周运动的向心加速度a 随半径r 变化的函数关系，再根据这个函数关系，结合向心加速度的计算公式作出判断。答案：A
点评 在利用图象解决物理问题时，要注意充分挖掘图象中所携带的信息，如：一个量随另一个量如何变化；变化的确切数量关系；斜率多大，其物理意义是什么? 截距、面积各有什么意义等。同时还要注意把物理图象和具体的物理情景结合起来，考虑应该选取哪一个规律或公式解决问题。
例5 如图所示，一球体绕轴O 1O 2以角速度ω旋转，A 、B 为球体上两点。下列说法中正确的是（ ）
A ．A 、B 两点具有相同的角速度 B ．A 、B 两点具有相同的线速度 C ．A 、B 两点具有相同的向心加速度
D ．A 、B 两点的向心加速度方向都指向球心
解析 A 、B 都随球体一起绕轴O 1O 2旋转，转一周所用时间相等，故角速度相等，有ωA =ωB =ω，A 做圆周运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆心，故A 的轨道半径r A =OA sin60°，同理，B 的轨道半径r B =OB sin30°，所以两者的线速度 v A =r A ω=
两者的向心加速度 a A =r A ω=
2
（例5）
1
OA ω ，v B =r B ω=OB ω ，显然，v A >v B 。 22
2212
OA ω ， a B =r B ω=OB ω ，显然，两者的向心加速度也不相等，22
又两者的向心加速度指向各自的圆心，所以并不指向球心。答案：A
例6 如图所示，O 、O 1为两个皮带轮，O 轮的半径为r ，O 1轮的半径为R ，且R >r ，M 点为O 轮边缘上的一点，N 点为O 1轮上的任意一点，当皮带轮转动时（设转动过程中不打滑），则（ ）
A ．M 点的向心加速度一定大于N 点的向心加速度 B ．M 点的向心加速度一定等于N 点的向心加速度 C ．M 点的向心加速度可能小于N 点的向心加速度
（例6）
D ．M 点的向心加速度可能等于N 点的向心加速度
解析 因为两轮的转动是通过皮带传动的，而且皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度
v 2
大小一定相等。在大轮边缘上任取一点Q ，因为R >r ，所以由a =可知，a Q
r
向心加速度的大小，因为Q 、N 是在同一轮上的两点，所以角速度ω相等。又因为R Q >R N ，则由a =ω2r 可知，a Q >a N ，综上可见，a M >a N ，因此A 选项正确。
【同步检测】
1．由于地球的自转，地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以（ ） A ．地球表面各处具有相同大小的线速度 B ．地球表面各处具有相同大小的角速度 C ．地球表面各处具有相同大小的向心加速度 D ．地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心 2．下列关于向心加速度的说法中，正确的是（ ） A ．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 B ．向心加速度的方向保持不变
C ．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D ．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
3．由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则（ ） A ．它们的角速度之比ω1∶ω2=2∶1 B ．它们的线速度之比v 1∶v 2=2∶1 C ．它们的向心加速度之比a 1∶a 2=2∶1 D ．它们的向心加速度之比a 1∶a 2=4∶1
4．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是（ ） A ．由a =v 2/r ，知a 与r 成反比 B ．由a =ω2r ，知a 与r 成正比 C ．由ω=v /r ，知ω与r 成反比 D ．由ω=2πn ，知ω与转速n 成正比
5．A 、B 两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A 球的轨道半径是B 球轨道半径的2倍，A 的转速为30r/min，B 的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为（ ）
A ．1：1 B ．2：1 C ．4：1 D ．8：1
6．如图所示皮带传动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A 是大轮边缘上一点，B 是小轮边缘上一点，C 是大轮上一点，C 到圆心O 1的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑。则A 、B 、C 三点的角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ，向心加速度大小之比a A ∶a B ∶a C
（第6题）
7．如图所示，定滑轮的半径r =2 cm ，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a =2 m/s2做匀加速运动。在重物由静止下落1 m的瞬间，滑轮边缘上的P 点的角速度ω=_____ rad/s，向心加速度a =_____ m/s2。
（第7题）
（第8题）
· P
8．如图所示，摩擦轮A 和B 通过中介轮C 进行传动，A 为主动轮，A 的半径为20 cm ，B 的半径为10 cm，则A 、B 两轮边缘上的点，角速度之比为_____；向心加速度之比为_____。
【综合评价】
1．做匀速圆周运动的物体，下列哪个物理量是不变的( )
A ．线速度 B ．加速度 C ．角速度 D ．相同时间内的位移 2．匀速圆周运动特点是( )
A ．速度不变，加速度不变 B ． 速度变化，加速度不变
C ．速度不变，加速度变化 D ．速度和加速度的大小不变，方向时刻在变 3．关于向心加速度，下列说法正确的是（ ） A ．向心加速度是描述速率变化快慢的物理量 B ．匀速圆周运动中的向心加速度恒定不变
C ．向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量 D ．向心加速度随轨道半径的增大而减小
4．关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是( ) A ．在赤道上向心加速度最大 B ．在两极向心加速度最大 C ．在地球上各处向心加速度一样大
D ．随着纬度的升高向心加速度的值逐渐减小
5．关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ） A ．它们的方向都沿半径指向地心
B ．它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴 C ．北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D ．北京的向心加速度比广州的向心加速度小
6．如图所示的皮带传动装置中，轮A 和B 同轴，A 、B 、C 分别是三个轮边缘上的质点，且r A =r C =2r B ，则三个质点的向心加速度之比a A ：a B ：a C 等于( )
A ．4:2:1 C ．1:2:4
B ．2:1:2 D ．4:1:4
（第6题）
7．如图所示为绕轴O 转动的偏心轮，则轮上各点（ ） A ．线速度大小均不相同
B ．向心加速度与到轴O 的距离成正比 C ．角速度均不相同 D ．向心加速度大小相同
8．如图所示为一皮带传动装置。右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，距小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则（ ）
A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度相等
（第8题）
（第7题）
9．一物体在水平面内沿半径 R=20 cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度v =0.2m/s，那么，它的向心加速度为______m/s2，它的角速度为_______ rad/s，它的周期为______s。
10．一圆环，其圆心为O ，若以它的直径AB 为轴做匀速转动，如图所示，圆环上P 、Q 两点的线速度大小之比是_______；若圆环的半径是20cm ，绕AB 轴转动的周期是0.01s ，环上Q 点的向心加速度大小是________。
（第10题）
（第11题）
11．如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图象，其中甲的图线为双曲线，由图象可知，甲球运动时，线速度大小 （填“变化”或“不变”、下同），角速度 ；乙球运动时，线速度大小 ，角速度 。
12．物体以30m/s的速率沿半径为60 m的圆形轨道运动，当物体从A 运动到B 时，物体相对圆心转过的角度为900，在这一过程中，试求： (1) 物体位移的大小； (2) 物体通过的路程；
(3) 物体运动的向心加速度的大小．
（第13题）
13．如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S 离转动轴的距离是半径的1/3 ，当大轮边缘上的P 点的向心加速度是0.12m/s2时，大轮上的S 点和小轮边缘上的Q 点的向心加速度各为多大？
第六节 向心加速度知能准备答案
1．速度改变快慢 速度的改变跟发生这一改变所用时间 v －v 0 v －v 0 相同 2．> 相同
t
3．从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v 0和v ，从初速度v 0的末端作一个矢量Δv 至末速度矢量v 的末端，所作的矢量Δv 就等于速度的变化量 4．v =ωr
第六节 向心加速度同步检测答案
1．B 2．A 3．BC 4．D 5．D 6．1∶3∶1 ，3∶9∶1 7．100 ， 200 8．1∶2，1∶2
第六节 向心加速度综合评价答案
1．C 2．D 3．C 4．AD 5．BD 6．A 7．B 8．CD 9．0.2，1，2π 10
4000π2m/s2 11．不变 变化 变化 不变 12．⑴602 ⑵ 30πm ⑶a =15m /s 2 13．0.04m/s2 ，0.24 m/s2