等差数列的有关概念公式与性质

等

一、知识要点：

1．等差数列的概念（1）一个数列{a n }：若满足a n +1-a n

=d (d 为常数），则数列{a n }叫做等差数列

a +b

。 2

（2）等差数列的证明方法：定义法a n +1-a n =d (d 为常数）或2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) 。（3）等差中项：若a , A , b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且A =2. 等差数列主要公式：（1）等差数列的通项公式：a n

=a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；

n (a 1+a n ) n (n -1)

=na 1+d （2）两项之间的关系式：a n =a m +(n -m ) d （3）前n 项和公式为：S n =

3. 等差数列主要性质

（1）若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d

=a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有a m +a n =2a p

（3）若{a n }是等差数列，S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也成等差数列，公差D=n （4）在等差数列{a n }中，当项数为偶数

。

2n 时，S 偶－S 奇=nd ；项数为奇数2n -1时，S 奇-S 偶=a 中，

S 2n -1=(2n -1) ⋅a 中（这里a 中即a n ）；S 奇：S 偶=n :(n -1) 。（S 2n -1=(2n -1)a n ）

（5）若等差数列{a n }、{b n }的前n 和分别为

A n ，B n , 且A n =f (n ) ，则a n =(2n -1) a n =A 2n -1=f (2n -1) .

n n 2n -1

(6)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组⎨（7）若{a n }为等差数列，则数列C 二、典型例题：

例1．(1)在等差数列{a n }中，a 1+3a 8+a 15=120，则2a 9-a 10=（）

a n

{}（c >0, c ≠1) 为等比数列，公比为C

⎧a n ≥0⎧a ≤0

或⎨n 确定出前多少项为非负（或非正）；

a ≤0a ≥0⎩n +1⎩n +1

A . 24 B . 22 C . 20 D . -8

（2）已知等比数列{a m }中，各项都是正数，且a 1，

1a +a a 3, 2a 2成等差数列，则910=

2a 7+a 8

A. 1

B. 1

C. 3+

D 3-（3）等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1=-11, A ．－11

B ．11

C.10

S 10S 8

-=2，则S 11= （） 108

D ．－10

例2．（1）若两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为A n 和B n , 且满足

a 11A n 7n +1

（）的值是=(n ∈N +) 则

b 11B n 4n +27

3 2

4 3

78 71

（2）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=-6, S 18-S 15=18, 则S 18=（） A.36

B.18

C.72 D.9

（3）已知等差数列{a n }的公差d

A.57 B.45 C.40 D.5

例3．（1）在数列{a n }中，a 1=1，并且对于任意n ∈N ，都有a n +1=

a n 1

．（I ）证明数列{为等差数列，

2a n +1a n

1000

的最小正整数n 2011

并求{a n }的通项公式；（2）设数列{a n a n +1}的前n 项和为T n ，求使得T n >

（2）已知{a n }是公差不为零的等差数列, a 1=1, 且a 1, a 3, a 9成等比数列

求数列{a n }的通项;

例4. 设数列{a n }的前n 项和为S n =4-

求数列2

{}的前n 项和S

a n

(n ∈N ) ，数列{b n }为等差数列，且b 1=a 1，a 2(b 2-b 1) =a 1. n -14

（I ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（II ）设c n =a n b n , 求数列{c n }的前n 项和T n .

四、巩固练习

1．若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且S 11=A

22π

，则tan a 6的值为（） 3

． C

． D

．2．等差数列{a n }中, 若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120, 则a 9-

a 11的值是（） 3

A ．14 B ．15 C ．16 D ．17

3．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且

A n 7n +45a

，则使得n 为整数的正整数n =

B n n +3b n

的个数是（）A ．2 B．3 C．4 D．5

4．（2010福建理）3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 1=-11, a 4+a 6=-6, 则当S n 取最小值时,n 等于（） A ．6 B．7 C．8 D ．9

5．等差数列{a n }中，a 4+a 5=15，其前n 项和为S n ，且S 7-S 6=15, 则a 2=（） A ． -3 B．1 C． 0 D． 2

6．等差数列{a n }中，a 1>0，前n 项和为S n ，若S 10=S 17，则数列{S n }中最项是（）

A ．S 14

B ．S 13或S 14

C ．S 14或S 15

D ．S 15

7．在{a n }中，a 1=15，3a n +1=3a n -2 n ∈N ，则该数列中相邻两项的乘积是负数的项是（）

()

A ．a 21和a 22 B ．a 22和a 23 C ．a 23和a 24 D ．a 24和a 25

8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知S 6=36，S n =324，S n -6=144(n >6)，则n 等于（） A ．15 B．16 C．17

D．18

9．两个等差数列{a n }和{b n }, 其前n 项和分别为S n , T n , 且

S n 7n +2a +a 20

等于 =, 则2

T n n +3b 7+b 15

93779149

B. C. D. 481424

10．等差数列{a n }中, a 1>0, a 2003+a 2004>0, a 2003⋅a 20040成立的最大自然数n 为 A. 4005 B. 4006 C. 4007 D. 4008 11．已知等差数列｛a n ｝满足a 1+a 2+a 3+ +a 101=0, 则有（） A . a 1+a 101>0

B . a 2+a 100

12. 数列{a n }中，a 1=1, a 2=

A. a n =(

) 3

2112, 且n ≥2时，有=, 则（） +3a n -1a n +1a n

2n －1 22

B. a n =() C. a n = D. a n =

3n +2n +1

13．已知lg (7-2x )，lg (4x -5)，lg (x +

1)成等差数列，则log x

=______．

14．已知S n 是公差为d 的等差数列{a n }(n ∈N *) 的前n 项和, 且S 6>S 7>S 5，则下列四个命题：①d

②S 11>0；③S 120中为真命题的序号为15. （2008四川）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10, S 5≤15，则a 4的最大值为

16. （2010山东）已知等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26，{a n }的前n 项和为S n ．（Ⅰ）求a n 及S n ；（Ⅱ）b n =

17（2010江苏）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22+a 32=a 42+a 52, S 7=7。（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）试求所有的正整数m ，使得

18．已知函数f (x ) =log a x (0

(n ∈N ) ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 2

a n -1

a m a m +1

为数列{a n }中的项。 a m +2

2a 42na 2n +4

1-a 1-a

等比数列的有关概念公式与性质

a n +1

=q (q 为常数），则数列{a n }叫做等比数列 a n

a n +1a n a n +1

q ≠0, a ≠0=（2）等比数列的证明方法：定义法，其中或 (n ≥2) 。 =q (q 为常数）n

a n a n -1a n

（3）等比中项：若a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只

有同号两数才存在等比中项，且有两个由此得非零实数a , A , b 成等比数列⇔A =ab

一、知识要点：1．等比数列的概念（1）一个数列{a n }：若满足2. 等比数列主要公式

a 1n

⋅q (n ∈N *) ；（2）两项之间的关系式：a n =a m q n -m q

⎧a 1-a n q ⎧a 1(1-q n )

, q ≠1, q ≠1⎪⎪（3）前n 项的和公式为：S n =⎨1-q 或S n =⎨1-q

⎪na , q =1⎪na , q =1

⎩1⎩1

n -1

（1）等比数列的通项公式：a n =a 1q =

3. 等比数列的判定方法（1）用定义：a n +1=qa n 或

a n +1

=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列（2）等比中项：a n +12=a n a n +2 a n

（3）通项公式：a n =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列（4）前n 项和：当q ≠1时，S n =3. 等比数列的性质：（1）当m +n =

-a 1n a 1

q +=aq n +b ，这里a +b =0，但a ≠0, b ≠0⇔{a n }为等比数列 1-q 1-q

p +q 时，则有a m . a n =a p . a q ，特别地当m +n =2p 时，则有a m . a n =a p 2

(2)若{a n }是等比数列，且公比q ≠-1，则数列S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也是等比数列，公比Q =q n ；当q =-1，

且n 为偶数时，数列S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n , „是常数数列各项均为0，它不是等比数列. (3) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n , a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列（4) 当q

≠1时，S n =-a 1q n +

1-q a 1

=aq n +b ，这里a +b =0，但a ≠0, b ≠0，这是等比数列前n 项和公式特征. 1-q

(5) 在等比数列{a n }中，当项数为偶数2n 时，S 偶

且a 1⋅a 2⋅a 3⋅ a 2n -1

=qS 奇；项数为奇数2n -1时，S 奇=a 1+qS 偶.

=a n

2n -1

(6) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列{

a k

, {k ⋅a n }, {a n k }, {k ⋅a n ⋅b n }{n } (k为非零常数) 均为等比数列.

b n a n

(7) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列（8）若{a n }是正项等比数列，则数列（9）若{a n }为等差数列，则数列C 二、典型例题：

例1（1）设等比数列{ a n }的前n 项和为S n ，若

{}（c >0, c ≠1) 为等比数列，公比为C

a n

{log c a n }（c >0, c ≠1）为等差数列，公, 差为log c q 。

S 6S

=3 ，则9=（） S 3S 6

A ． 2 B.

C. D. 3 33

（2）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则

S 5

= S 2

A . 11 B . 5 C . -8 D . -11

（3）等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 12=64，则a 4a 6的值为（） A ．16 B．24

C．48 D．128

（4）已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=

，则a 1a 2+a 2a 3+ +a n a n +1=（） 43232-n -n -n -n

A.16（1-4） B.16（1-2） C.（1-4） D.（1-2）

（）

11m 2+n 222

（5）三个数, 1, 成等差数列, 又m , 1, n 成等比数列, 则的值为

m n m +n

A ．－1或3 B．－3或1 C．1或3 D．－3或－1

(6) 等比数列{a n }中，S 4=1，S 8=3，则a 17+ a 18+ a19+ a20的值等于（）

A.12 B.14 C.16 D.18

(7) 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7＝18，则log 3a 1+log 3a 2+ +log 3a 10＝

A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋log 35

(8）在等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+a 3=1，a 4+a 5+a 6=-2，则该数列前15项的和S 15=例2．已知等比数列{a n }满足a 3=12, a 8=

, 记其前n 项和为S n . 8

（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若S n =93, 求n .

例3. 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+a 2=2

⎛11⎫⎛11⎫

+⎪, a 3+a 4=32 +⎪. ⎝a 1a 2⎭⎝a 3a 4⎭

（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a n +log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .

例4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3+S 6=2S 9，求公比q 。

四、巩固练习

1. 在等比数列{a n }中，a 1=1，公比q ≠1. 若a m =a 1a 2a 3a 4a 5，则m =（）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12

⎧1⎫

s 2. 已知{a }是首项为1的等比数列，n 是{a }的前n 项和，且9s =s ，则数列⎨⎬的前5项和为（）

n n 36⎩a n ⎭

（A ）

158或5 （B ）313115

16或5 （C ）16 （D ）8

3．各项均为正数的等比数列{a n } 的前n 项和为S n 为，若S n =2，S 3n =14，则S 4n 等于（）

A . 80 B . 30 C . 26 D . 16

4. 等比数列{a n }满足a n >0, n =1,2, ，且a 5⋅a 2

5n -=22n (n ≥3) ，

则当n ≥1时log 2a 1+log 2a 3+ +log 2a 2n -1=（ A. n (2n -1) B. (n +1) 2

C. n 2

D. (n -1) 2

5. 设{a n }是有正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和。已知a 2a 4=1, S 3=7, 则S 5= A ．

152 B． 3133174 C．4 D．2

6. 正项等比数列{a n }满足a 2a 4=1, S 3=13, b n =log 3a n , 则数列{b n }的前10项和是( ) A ．65 B ．－65 C ．25 D. －25 7. 已知数列{a n }的前n 项和S n =p ⨯2n +2，若{a n }是等比数列，则( )

A. p =1 Bp =2 C.p =-1 D.p =-2

8. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个) ，经过3个小时，这种细菌由一个可繁殖成（A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个

9．已知S a 2+a 3

n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1, S 2, S 4成等比数列，则

a 等于（） 1

A. 4 B. 6 C.8 D.10

10．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 10=60, 则S 8等于

A ．28 B ．32 C ．36 D4．0

11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=2S 2，则公比为（） A.1 B.1或－1 C.

12或-1

D.2或－2 12．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 3=4, a 5=16，则数列{a n }的前5项和为

A ．15 B ．31 C ．32 D ．41

）

13．在等比数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3+a 4=

1591111，a 2a 3=-，则+++等于( ) 88a 1a 2a 3a 4

C ．-

A ．

B ．

3 5

5 3

D ．-

3 5

14. {a n }为公比q >1的等比数列，若a 2004和a 2005是方程4x -8x +3=0的两根，则a 2006+a 2007= 15. 等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，则q 的值为 16. 设等比数列{a n }的前n 项和为s n 。若a 1=1, s 6=4s 3，则a 417．等比数列{a n }的公比q >0, 已知a 2=1，a n +2+a n +1=6a n ，则{a n }的前4项和S 4= 18．等比数列{a n }的前n 项和S n =a ⋅2+a -2，则a n

19. 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1(n =1,2, ) ，若数列{b n }有连续四项在集合

{-53, -23,19,37,82}中，则6q = .20. 在等比数列{a n }中，S 3=

22. 在等比数列{a n }中，a 1>1, 公比q >0，设b n =log 2a n ，且b 1+b 3+b 5=6, b 1b 3b 5=0. （1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{b n }的前n 项和S n 及数列{a n }的通项公式；

23．例4．数列{a n }是首项为1000，公比为

7198, S 6=, ，求a n ． 22

的等比数列，数列{bn }满足b k =(lga 1+lg a 2+ +lg a k ) 10k

（1）求数列{bn }的前n 项和的最大值；（2）求数列{|bn |}的前n 项和S n '． (k ∈N *) ，

18．在等比数列{a n }中，a n >0（n ∈N ），公比q ∈(0,1)，且a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25，

a 3与a 5的等比中项为2。（1) 求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n 当

S S 1S 2

++∙∙∙+n 最大时，求的n 值。 12n

19. 数列{a n }是首项为a 1=

, 公比q =的等比数列，设 b n +2=3log 1a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n =a n ⋅b n 444

（1）求证：{b n }是等差数列；（2）求数列{c n }的前n 项和S n ；（3）若c n ≤

数列求和问题

一、主要方法：

1．基本公式法：（1）等差数列求和公式：S n =

m +m -1对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围。 4

n (a 1+a n )n (n -1)

=na 1+d 22

q =1⎧na 1,

n (n +1) n (n +1)(2n +1) 2222

n 1+2+3+4+ +n =1+2+3+ +n =（2）等比数列求和公式：S n =⎪（3）： ⎨a 1(1-q )26, q ≠1⎪1-q ⎩

2．错位相减法：设{a n }成等差数列，{b n }成等比数列。则{a n b n }的前n 项和可采用此法。 3．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。

4．裂项相消求和：把一个数列的通项拆成两项差的形式已达到求和目的.

常用裂项形式有：

1111=-； ②

=(-) ； ③一般的有：=(-) ；

(2n -1)(2n +1) 22n -12n +1

11111

=(-) （d 是公差） =； ⑤一般的{a n }是等差数列，则 a n ⋅a n +1d a n a n +1k

①

5. 倒序相加法：

二、典型例题分析：

例1．求下列数列前n 项和：

⋅⋅⋅2； (1) 1⨯4，2⨯7，3⨯30，„，n (3n +1)； (2)2，22，222，„，22

n 个2

(3)1⨯3，2⨯4，3⨯5，„，

111

1；（4

）a n =

n (n +2) (5)已知函数

4x 121232010

f () +f () =f (x ) =. 则 ① ②f () +f () +f () + +f () x

[***********]2+4

（6）S n =1+

1110123n

++⋅⋅⋅+；（7）求和W =C n +4C n +7C n +10C n + +(3n +1) C n

1+21+2+31+2+3+ +n

三、巩固练习

1. 在数列{a n }中，a n =A.9

1n +n +1

B.10

, 若其前n 项和S n =9，则项数n 为（）

C.99

D.100

22323n -1

, 的前n 项和等于（） 2. 数列数列 1, 1+2, 1+2+2, 1+2+2+ +2

()()()

A ．2

n +1

-n B．2

n +1

-n -2 C．2-n -1

D．2-n -2

3. 设S n =1-2+3-4+ +(-1) n -1⋅n , 则S 17+S 33+S 50=（） A ．－1

B．0

C．1

D．2

222

4. 数列{a n }的前n 项和S n =2n -1, 则a 1（） +a 2+ +a n =

A ．(2n -1) 2

B ．(2-1)

C ．4-1

D ．(4-1)

5．设y =f (x ) 是一次函数，若f (0) =1, 且f (1), f (4), f (13) 成等比数列，则f(2)+f(4)+„+f(2n)等于（）

A ．n(2n+3)

B ．n(n+4)

C ．2n(2n+3)

D ．2n(n+4)

6. 已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1+b 1=5，a 1, b 1∈N *．设

c n =a b n （n ∈N *），则数列{c n }的前10项和等于

A．55 B．70 C ．85 D．100

6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =n 2-14n ，令T n =a 1+a 2+ +a n ，则T 30=

7．已知log 3x =

-123

? x n =．，求x +x +x +鬃

log 23

8．数列{an }：a 1=1, a 2=3, a 3=2, a n +2=a n +1-a n ，则S 2002 9．数列1, 3, 5 (2n -1+10. 在数列{a n }中，a n =

1214181

) 的前项和S n 2n

12n 2++„+，又b n =，则数列{b n }的前n 项和为 n +1n +1n +1a n ⋅a n +1

11. 数列

1111

，，，，„的前n 项和S n 12+222+432+642+8

(2n ) 2

12．已知数列{a n }的通项公式a n =，则它的前n 项和S n (2n -1)(2n +1)

13．已知数列a n =

12n

求a 200. 8++ +

2! 3! (n +1) !

012n

14．求证：C n +3C n +5C n +⋅⋅⋅+(2n +1) C n =(n +1) 2n

数列通项公式的求法：

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈，能否顺利求出数列的通项公式是解决数列综合题的关键所在。

类型1：已知数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项a n 。方法：a n =例1．设数列{a n }满足a 1+3a 2+3a 3+…+3

n -1

{

S 1,(n =1)

S n -S n -1,(n ≥2)

a n =

n *，a ∈N ．（1）求数列{a n }的通项； 3

（2）设b n =

，求数列{b n }的前n 项和S n ． a n

类型2 ：a n +1=a n +f (n ) 变形为：a n +1-a n =f (n ) ，用累加法求得：a n =a 1+f (1)+f (2)+ +f (n -2)+f (n -1) （n ³2) 。例2. 已知数列{a n }满足a 1=

类型3：a n +1=f (n ) a n 变形为：（n ³

11，a n +1=a n +2，求a n 。 2n +n

a n +1

=f (n ) ，用累乘法求得：a n =a 1⋅f (1)⋅f (2) f (n -2)⋅f (n -1) a n

2) 。

例3. （1）已知数列{a n }满足a 1=，a n +1=

类型4：已知a 1=a ，a n +1=ca n +d

3n -1n

a n (n ≥1) ，求a n 。a n ，求a n ；（2）已知a 1=3，a n +1= 3n +2n +1

(c ≠0, c ≠1, d ≠0) ，求通项a n 。

方法—构造新数列设存在实数b 使得(a n +1-b ) =c (a n -b ) 成立, 整理得a n +1=ca n +b (1-c )。对比已知等式得：

b =

d d d ⎫⎧

q a -，因此新数列⎨a n -为等比数列，公比为=，首项为。 c ⎬1

1-c 1-c 1-c ⎩⎭

例4. 在数列{a n }中，若a 1=1, a n +1=2a n +3(n ≥1) ，该数列的通项a n

练习1. 已知函数f (x ) =(x -2) 2, f '(x ) 是函数f (x ) 的导函数，设a 1=3, a n +1=a n -

f (a n )

. f '(a n )

（I ）证明：数列{a n -2}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（II ）令b n =na n , 求数列{b n }的前n 项和

S n .

类型5：已知a 1令b n =

=a ，a n +1=ca n +dt (dct (c -1)(t -1) ≠0) ，在等式两边同除以t

n +1

a n +1c a n d

得n +1=⋅n +t t t t

，

c d a n

，问题转化为类型3 即：，再按类型3的方法求解。 b =b +n +1n

t t t n

例5. 在数列{a n }中，a 1=3，a n +1=3a n +3n +1．

(1)设b n =

n +1

+2a n ，练习1. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=3，求a n ．

a n

．证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ． n 3

2. 已知数列{a n }中，a 1=

511n +1

, a n +1=a n +() ，求a n 。 632

11111

, a n =a n -1+⋅n (n ∈N *且n ≥2) （Ⅰ）证明：{a n +n 是等比数列； 62233

（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n

3. 在数列{a n }中，a 1=

类型6：已知a 1

=a ，a n +1=ca n m (a n >0, c >0且c ≠1, m ≠0的常数），两边取相同底的对数得：

令b n

log c a n +1=m log c a n +1

=log c a n 得b n +1=mb n +1，再按类型3的方法求解。

例6. 设正项数列{a n }满足a 1=1，a n =2a n a n }的通项公式. -1(n ≥2). 求数列{

练习1。已知a 1=2，点(a n , a n +1) 在函数f (x ) =x +2x 的图象上，其中n ∈N

（1）证明数列{lg(1+a n ) }是等比数列；（2）设T n =(1+a 1)(1+a 2) (1+a n ) ，求T n 及数列{a n }的通项；

22．数列{a n }满足a 1=2, a n +1=a n +6a n +6(n ∈N *).

(1) 设C n =log 5(a n +3) ，求证{C n }是等比数列；(2) 求数列{a n }的通项公式;

类型7. 已知a 1=a ，a n +1=ca n +tn +b

(c ≠0, c ≠1, t ≠0) ，求通项a n 。

方法—构造新数列：设存在函数f (n ) 使得[a n +1-f (n +1) ]=c [a n -f (n ) ]成立, [其中f (n ) 是关于n 的一次函数], 整理得f (n +1) -cf (n ) =tn +b , 求出f (n ) ，因此新数列{a n -f (n ) }为等比数列，公比为q =c ，首项为a 1-f (1) 。例7 .(07年天津文) 在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=4a n -3n +1，n ∈N ．（1）证明数列{a n -n }是等比数列；

（2）求数列{a n }的前n 项和S n ；（3）证明不等式S n +1≤4S n ，对任意n ∈N 皆成立．

1. 已知数列｛a n ｝中，a 1

1*=、点（n 、2a n +1-a n ）在直线y =x 上，其中n ∈N 2

(1)令b n =a n +1-a n -1，求证数列{b n }是等比数列；（2) 求数列{a n } 的通项；(3)设S n 、T n 分别为数列{a n }使得数列⎨{b n }的前n 项和, 是否存在实数λ，、试求出λ若不存在, 则说明理由

⎧S n +λT n ⎫

⎬为等差数列？若存在，n ⎩⎭

类型8：已知a 1

=a ，a 2=b ，a n +2=pa n +1+qa n （其中p ，q 均为非零常数）。

s +t =p ⎩st =-q

，

⎧

方法——构造新数列把原递推公式转化为a n +2-sa n +1=t (a n +1-sa n ) ，其中s , t 满足⎨

再应用前面类型3的方法求解。

例8. 已知数列{a n }中，a 1=1, a 2=2, a n +2=

a n +1+a n ，求a n 。 33

练习题1. 数列{a n }满足a 1

2. 已知数列{a n }满足a 1

=2, a 2=5, a n +2-3a n +1+2a n =0，求数列{a n }的通项公式。

=1, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N *). （1）证明：数列{a n +1-a n }是等比数列

（2）求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{b n }满足4b 1-14b 2-1...4b n -1=(a n +1) b n (n ∈N *), 证明{b n }是等差数列。

类型9：形如a n =

a n -1

的递推数列都可以用倒数法求通项。

ka n -1+b

例9. 数列{a n }中，a n >0，a n ≠1，且a n +1=

3a n 3

（n ∈N *）．（I ）若a 1=，计算a 2，a 3，a 4的值，并

42a n +1

⎧p +a n ⎫

⎬成等比数列．

⎩a n ⎭

求出数列{a n }的通项公式；（II ）若a 1=a ，求实数p （p ≠0），使得数列⎨

练习题1。已知数列{a n }的首项a 1=

22a n ，a n +1=，n =1,2,3, „． 3a n +1

（1）证明：数列{

-1}是等比数列；（2）数列{的前n 项和S n ． a n a n

类型10：已知S n 与a n 的关系，求通项a n 。方法一、采用消和法求解；方法二、采用消项法

例10. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，对于任意正整数n ，都有等式：a n +2a n =4S n 成立，

求{a n }的通项a n .

例11. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n S n -1=0 (n ≥2), a 1=（1）求证：

1． {1

是等差数列；（2）求a n 的表达式；（3）若b n =2(1-n ) ⋅a n (n ≥2) ，求证：b 22+b 32+ +b n 2

练习1．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，并且S n +1=4a n +2(n =1,2, ), a 1=1， ⑴设数列b n =a n +1-2a n (n =1, 2, ) ，求证：数列{b n }是等比数列；⑵设数列c n =证：数列{c n }是等差数列；⑶求数列{a n }的通项公式及前n 项和。

a n

, (n =1, 2, ) ，求2n

2．设数列{a n }的前n 项的和S n =

412

a n -⨯2n +1+，n =1,2,3,

333

，证明：∑T i

S n 2i =1

类型11：形如a n +1=

pa n +q

解法：适当变形后再取倒数。

ra n +h

1⎫，数列例12．已知F (x )=3x -2, ⎛{a n }满足a 1=2, a n +1=F (a n )求数列{a n }的通项公式。 x ≠ ⎪.

2x -1⎝2⎭

练习1。数列{a n }满足a 1=1且8a n +1a n -16a n +1+2a n +5=0(n ≥1). 记b n =

11a n -

(n ≥1).

（1）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（2）求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n .

2．已知数列{a n }满足：a 1=3，a n +1=

⎧a -1⎫3a n -2

，n ∈N *．（Ⅰ）证明数列⎨n ⎬为等比数列，并求数列{a n }a n ⎩a n -2⎭

的通项公式；（Ⅱ）设b n =a n (a n +1-2) ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n

类型11：(1) a n +1+a n

=pn +q

(2)a n +1+a n =pq n (3)a n +1⋅a n =pq n

解法：这种类型一般可转化为{a 2n -1}与{a 2n }是等差或等比数列求解例13．（1）在数列{a n }中，a 1

（2）在数列{a n }中，a 1

（3）在数列{a n }中，a 1

7．设{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N ，都有a 1

=1, a n +1=6n -a n ，求a n

=1, a n a n +1=3n ，求a n

=1, a n +a n +1=2n ，求{a n }的通项公式。

3332+a 2+a 3+ +a n =S n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和。

（1）求证：a n =2S n -a n ；（2）求数列{a n }的通项公式；

（3）设b n =3n +(-1) n -1⋅λ⋅2a n （λ为非零整数，n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意n ∈N ，都有b n +1>b n 成立。

数列综合题练习

1. （2009全国卷Ⅰ理）在数列{a n }中，a 1=1, a n +1=(1+) a n +（1）设b n =

2．已知函数f (x ) =

1n n +1

a n

，求数列{b n }的通项公式（2）求数列{a n }的前n 项和S n n

2x +1

(x ≠-2，x ∈R ) ，数列{a n }满足a 1=a (a ≠-2，a ∈R ) ， x +2

（Ⅱ）当a 1=2时，记b n =a n +1=f (a n )(n ∈N *) （Ⅰ）若数列{a n }是常数列，求a 的值；证明数列{b n }是等比数列，并求出通项公式a n ．

a n -1

(n ∈N *) ， a n +1

3．在数列{a n }中，前n 项和为S n . 已知a 1=, a 2=2 且S n +1-3S n +2S n -1+1=0(n ∈N + , 且n ≥2). （1）求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{n ⋅a n }的前n 项和T n .

n -1

5.(2009湖北卷理) 已知数列{a n }的前n 项和S n =-a n -() +2（n 为正整数）。

（1）令b n =2n a n ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）令c n =

6．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=a (a ≠-3) ，S n +1=2S n +n +1，n ∈N*。（1）求数列{a n }的通项公式；（2）当a =1时，若b n =

4．（2010江苏卷）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2=a 1+a 3，数列

n +15n

a n ，T n =c 1+c 2+........ +c n 试比较T n 与的大小，并予以证明。 n 2n +1

，证明T n ＜2（ n ∈N*）。 , 设数列{b n }的前n 项和T n ，

a n +1-a n

S }是公差为d 的

等差数列。（1）求数列{a n }的通项公式（用n , d 表示）；（2）设c 为实数，对满足m +n =3k 且m ≠n 的任意正整数m , n , k ，不等式S m +S n >cS k 都成立。求证：c 的最大值为

。 2

7. （2009天津卷文）已知等差数列{a n }的公差d 不为0，设S n =a 1+a 2q + +a n q n -1

T n =a 1-a 2q + +(-1) n -1a n q n -1, q ≠0, n ∈N *

（1）若q =1, a 1=1, S 3=15 ,求数列{a n }的通项公式；（2）若a 1=d , 且S 1, S 2, S 3成等比数列，求q 的值。（3）若q ≠±1, 证明（1-q ）S 2n

2dq (1-q 2n )

-(1+q ) T 2n =, n ∈N * 2

1-q

8. （2008天津）在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=λa n +λn +1+(2-λ)2n (n ∈N *) ，其中λ>0．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ；

2。在数列{a n }中，a 1=

1111

, a n =a n -1+⋅n (n ∈N *且n ≥2) 6223

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明：a n ≤3. 设f (x ) =

1. 6

(a ≠0) ，令a 1=1，a n +1=f (a n ) ，又b n =a n ⋅a n +1，n ∈N +． x +a

⎧1⎫

（１）判断数列⎨⎬是等差数列还是等比数列并证明；（２）求数列{a n }的通项公式；

a ⎩n ⎭

（３）求数列{b n }的前n 项和．

练习．数列{a n }满足a 1

数列综合练习

1. 若满足a 1=2，

a n n

=(n ≥2) ，则a 4= a n -1n +1

=2,2a n -a n a n +1=1, 求数列{a n }的通项公式。

（）

4 3

B.1 C.

2 3

n *

2. 在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2且a n +2-a n =1+(-1) (n ∈N ) ，则S 100=（

）

A.150 B.5050 C.2600 D.251+48

n -1

+a n -1(n ≥2) ，则通项公式a n = ． 7. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n =3

8. 设数列{a n }满足a 0=a , a n +1=ca n +1-c , c ∈N *, 其中a , c 为实且c ≠0 （1）求数列{a n }的通项公式（2）设a =

9. 数列{a n }的前n 项和记作S n ，满足S n =2a n +3n -12，(n ∈N *) ．(1)证明数列{a n -3}为等比数列；并求出数列{a n }的通项公式．(2)记b n =na n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．

10. 在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +2n ．（1）设b n =

, c =，b n =n (1-a n ), n ∈N *, 求数列{b n }的前n 项和S n ； 22

a n

．证明：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ． n -1

12. 已知数列{a n }的前n 项和S n

=2a n -2n ,

11111+) ，a 3+a 4+a 5=64(++) a 1a 2a 3a 4a 5

(1)求a 3、a 4；(2)证明：数列{a n +1-2a n }是一个等比数列。(3)求{a n }的通项公式。 15. （2010全国Ⅱ）已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+a 2=2(

（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =(a n +

) ，求数列{b n }的前n 项和T n 。 a n

16. 正数数列{a n }中，a 1=1, S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意n ∈N ，有2S n =2pa n +pa n -p (p ∈R )

⑴求常数p 的值； ⑵求数列{a n }的通项公式； ⑶记b n =

。

13. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n -2=(b -1)S n

4S n

⋅2n ，求数列{b n }的前n 项和T n n +3

n -1

（1）证明：当b =2时，a n -n ⋅2是等比数列；（2）求{a n }的通项公式

{}

14. 已知数列

{a n }满足a

=2，对于任意的n ∈N ，都有a n >0，且(n +1)a n +a n a n +1-na n +1=0，又知数

列{b n }:b n =2n -1+1。(1)求数列

{a n }的通项a

以及它的前n 项和S n ；(2)求数列{b n }的前n 项和T n 。

16．已知各项都不相等的等差数列{a n }的前六项和为60，且a 6为a 1和a 21的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ；（2）若数列{b n }满足b n +1-b n =a n (n ∈N ), 且b 1=3, 求数列{

17．数列{a n }满足:a 1=1, a 2=, a n +2=a n +1-a n (n ∈N ). (1)记d n =a n +1-a n , 求证:{d n }是等比数

}的前n 项和T n b n

323212

列;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)记b n =3n -2, 求数列{a n ⋅b n }的前n 项和S n . 18

．已知函数f (x ) =

x >0) ，数列{a n }满足a 1=1，当n ≥2时，a n =f (a n -1)

（1）求a n ；（2）若b n =，若S n =b 1+b 2+ +b n ，求S n

a n +a n +1

等差等比数列补充练习题

1. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P =

a 3+a 9

, Q =a 5a 7, 则P 与Q 的大小关系是（） 2

A. P >Q B.P

2n +1-12n +1-222n -122n -2A. B. C. D.

3333

3. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）

A.5 B.4 C. 3 D. 2

4. 已知等差数列{a n }，S n 表示前n 项的和，a 3+a 9>0, S 9

5. 若互不相等的实数a , b , c 成等差数列，c , a , b 成等比数列，且a +3b +c =10，则a =（） A ．4 B．2 C.－2 D.－4

6．{a n }是实数构成的等比数列，S n 是其前n 项和，则数列{S n } 中（）

A ．任一项均不为0 B．必有一项为0 C．至多有一项为0 D．或无一项为0，或无穷多项为0

7. 在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n +1-a n +a n -1=0(n ≥2) ，则S 2n -1-4n =（）

A. -2

B.0

C.1 D.2

8. {a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80，则a 11+a 12+a 13=( ) A ．120 B．105 C．90 D．75

9. 在等差数列{a n }的公差d ＜0且a 12=a 112, 则数列{a n }的前n 项和S n 得最大值的项数n 为（） A.5 B.6 C.5或6 D.6或7 二、填空题：10. 在等差数列{a n }中，已知a 3

+a 5=40，则S 17＝．

11. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n +1，则数列{a n }的通项公式。

12. 在等差数列{a n }中, a p =q , a q =p , 则a p +q = 在各项为正的等比数列{a n }中, a m +n =p , a m -n =q , 则a m =13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 已知S 6=36, S n -6=144(n >6), S n =324, 则a n 14. 已知函数f (x ) =2x , 等差数列{a x }的公差为2. 若f (a 2+a 4+a 6+a 8+a 10) =4, 则

log 2[f (a 1) ⋅f (a 2) f (a 3) ⋅ ⋅f (a 10)]=15．已知等差数列{a n }的公差d ≠ 0，且a 1, a 3, a 9成等比数列，则

a 1+a 3+a 9

的值是．

a 2+a 4+a 10

16．由正数构成的等比数列{a n }，若a 1a 3-a 2a 4+2a 2a 3=49，则a 2+a 3=．三、解答题：

17．已知实数列{a n }是等比数列, 其中a 7=1, 且a 4, a 5+1, a 6成等差数列.

(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ) 数列{a n }的前n 项和记为S n , 证明: S n ＜128(n =1, 2, 3, „).

3n -1

已知数列{a n }满足a 1=1，a n =3+a n -1(n ≥2) , （1）求a 2, a 3；（2）证明：a n =

n -1

15．（2008天津文）在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n +1=(1+q ) a n -qa n -1（n ≥2, q ≠0）．（1）设b n =a n +1-a n （n ∈N ），证明{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式；

（3）若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N ，a n 是a n +3与a n +6的等差中项．

等差数列的有关概念公式与性质

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